А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для неориентируемых многообразий можно определить сте- пень отображения, складывая якобианы по модулю 2. Замечание. Отметим, что если найдется такая точка р Е Х, что прообраз '(р) пуст, то степень отображения / равна нулю (проверьте). 7.2 Основная теорема алгебры Мы сформулируем и докажем Основную Теорему алгебры в следуюьцсм виде. Теорема 7.2 Каждый комплексный мноеочлен степени и > 1 имеет по крайней мере один корень. Пусть Р(л) = за+по ье" ь+ . +ао произвольныйкомплексныйполинам степени и. Очевидно,.
он задает гладкое (даже комплексно-аналитическое) отображение из плоскости в плоскость; ю = Р(л). Однако, чтобы использовать понятие степени, нам нужно отображение компактных многообразий, поэтому продолжим Р до отображения /р сферы ЯЯ в себя так. Напомним, во первых, что сфера Я~ диффеоморфна комплексноой проективной прямой СР . Рассмотрим два экземпляра СР и фиксируем на каждом из них 1 1 однородные координаты (зо . з~) и (юо, юс) соответственно. Рассмотрим карты зо у'. -0 с координатой з = еь/зо и юо ф 0 с координатой ю = ю~/юо и зададим в этих картах отображение /р, положив ю = РЯ.
Покажем, что заданное так отображение действиельно продолжается до отображения /г. СР— > СР . Для этого заметим, что 1 1 зг+а -ьзь зо+. +тягло' +поза' ю = — = Р1з)— и юо ео и зададим /р в однородных координатах так; юс(зо: ~) = з~ +а~ — ~я~ ее+ +аязьео +поев, юо(ло: зь) = зо В картах (яо ~ О.,з = я~/зо), (юо ~ О,ю = иц/юо) отображение /г, как мы уже видели, имеет вид ю = РЯ и является комплексно-аналитическим.
Отметим, что эта пара, карт покрывает обе сферы СР, кроме точек зо = 0 1 Элементы дифференциыьной топологии 141 и юо = О, соответствующих бесконечности. В окрестностях бесконечно- стей РассмотРим ДРУгие каРты г' = го/г1 и ю' = юо/вб. Ясно,что юо го ю ь — 1 1о1 гп+ а„1г1" ' го+ .. +авен 1+ а„. 1г'+ . +по(г )и' поэтому при ~г'~ ( е координатное представление ю' = ю'(Р) является комплексно-аналитическим. Мы доказали следующую лемму. Лемма 7.2 Пошпроенное вьпие отображение ~р: СР— у СР, совпадаю- щее в конечной области с полиномом Р, является комплексно-аналитическим. Вычислим теперь степень отображенил (р. Для этого рассмотрим гомотетию Ро заданную в однородных координа,тах так: иб(го: г1 г) = г1 +1(а — 1/1 го+ '''+ а1г~го + посо), юо(го: г1) = го.
Очевидно, в конечной области отображение Ро имеет вид ю = г". Рассмотрим его значение ю = 1, и убедимся, что это регулярное значение, имеющее очевидно и прообразов примитивных корней из 1, имеет степнь п. Лемма 7.3 Пдтпь (: С вЂ” у С комплексно-аналитическое отображение. Тогда его якобиан неотрииателен. Доказательство. Пусть ю = 1(г) гладкое отображение плоскости в себя. Положив г = х+1д, запишем его ввиде 1" (х, д) = и(х, д) +1о(х, д), где и и о --- вещественная и мнимая части 1'(х, д). Тогда якобиан д отображения ( имеет, очевидно, вид ди до ди до ,7 = — — — — —. дх дд дд дх' С другой стороны, х = (г + г)/2, д = (г — 2)/2, откуда д 1 д д — = — ( — +ь — ), дг 2 дх дд ' и условие аналитичности функци (,т.е.
условие дД~дд = О принимает вид Коши-Римана: ди до ди до Б = Гд' Гд = Пххл откуда что и требовалось. Элелгенты дифференциальной топологии 142 Проверка регулярности значения щ = 1 оставляется в качестве обязательного упражнения. Итак, имеет место следующая лемма. Лемма 7.4 Степень отобиженнй г) равна лл. Осталось заметить, что так как степень отображения Хг) отлична от нуля, то множество Ег ~ по крайней мере не пусто, что и доказывает Основную Теорему алгебры.
7.3 Степень и интеграл Пусть Х: ЛХ вЂ” л Хл' гладкое отображение гладких компактных связных замкнутых многообразий одинаковой размерности н, и щ - — внешняя форма степени н на многообразии Лг. Тогда имеет место следующая полезная теорема. Теорема 7.3 В сделанных предположениях, д/ Х "го = (с1ей'Х) / щ.
Доказательство. Пусть д Е Хлг регулярное значение отображения Х. Тогда существует окрестность П точки у в Хлг, состоящая из регулярных значений отображения Х. Пусть 1хл,...,х ) —.. полный прообраз Х "су) точки у. Тогда окрестность ХХ может быть выбрана настолько малой, что Х-л(П) =Е; О "С1ХХт, х. Е ХХа, причем окрестности Гл точек хл попарно не пересекаются. Пусть сд,..., д") локальные координаты в окрестности ХХ на 1у, и (х~~,..., х") локальные координаты в окрестности Г на ЛХ. Так как все точки из Г„регулярные точки отображения Х, то по теореме об обратной функции ограничение отображения Х на П взаимно однозначно, т.е, диффеоморфизм.
Пусть ~р(у,..., д")ду' . л дда --. координатное представление формы щ в координатах Су,..., у"), и у = дСх ) — координатное представление отображения Х в координатах Схл,..., х") и Сд',..., д"). Тогда, по теореме о замене переменных под знаком интеграла, .имеелг: „Ц)ду ...дуя /' Щ(х ))деС ~д дх~...дхп .=/ = Йяпдес( „) / гр(у(х ))(дел )дх' дх„", дх„",г сг хаь откуда, В г г' В г Ййпг1ей( „) / гд1У)дд' ..г!У" =/ гго(д1х,))г1еь( я)дх'. гдх". ха и х,л' Элементы дифференциальной топологии 143 Воспользовавшись видом формы Х'ш и аддитивностью интеграла по непе- ресекающимся областям, получим, что По теореме Сарда множество критических значений отображения Х' — это множество меры О, .поэтому его вклад в интеграл Х . ш равен нулю. С другой стороны, прообраз этого множества, т.е.
множество критических точек отображения Х, также дает нулевой вклад в интеграл Х Х'ш, так как в этих точках форма Х'ш равна нулю. Таким образом, теорема вытекает из предыдущего равенства и аддитивности интеграла. 7.4 Теорема Гаусса — Бонне Пусть М" 1 С 2" — ориентируемая гиперповерхность в й", и пусть 11' поле единичных нормалей к поверхности ЛХ.
Рассмотрим гауссово отображение Х: М вЂ” ~ Я" 1, ставящее в соответствие каждой точке Р Е ЛХ вектор Х(Р), и пусть П Е П" 1(Яа 1) "- форма объема на стандартной сфере Я" ' радиуса 1. Обозначим через К гауссову кривизну гиперповерхности ЛХ, а через до форму объема на ЛХ для индуцированной из К" метрики. Ъ'тверждение 7.1 В сделанньх выше предположениях, имеем: Доказательство.
Пусть Р Е М произвольная точка. Рассмотрим в Ь" евклидовы координаты (х',..., х") с началом в точке Р, направив ось х" в направлении вектора Хг'(Р). Тогда поверхность М в окрестности точки Р можно представить в виде графика функции х" = Х(х,...,ха ). Очевидно, имеем Х,;(Р) = О, поэтому индуцированная метрика на ЛХ в точке Р совпадает с евклидовой метрикой б;, а гауссова кривизна К в точке Р равна определителю матрицы (Х..я.
(Р)). На сфере Я" 1 в окрестности точки гХ(Р) = (О,..., 1) выберем координаты (и,...,и" '), совпадающие с евклидовыми координатами горизонтальной плоскости объемлющего евклидова пространства. Тогда в точке Л'(Р) в этих коордтнатах метрика также евклидова, поэтому форма объема на 5" ' в точке ХУ (Р) имеет вид П = Ыи1 ." и" Далее, вектор Х в окрестности точки Р задается так: Элементы дифференциальной топологии 144 >х' п — 1) и, так как Х,,1Р) = О, то дифференциал сИ'1Р) отображения Л> в точке Р имеет вид дЛ = (Хх.„).
Следовательно, дх'дх>' что и требовалось. Следствие 7.1 1Теорема Гаусса-Бонне) Пусть ЛХ вЂ”.- замкнутая связ- ная ориснтируемал поверхность в йз. Тогда Кс1о = 4кЛ, м где Л . некоторое целое число 1равное степени гауссова отображения поверхности ЛХ) . Доказательство. Пусть Лс > М -+ ог --- гауссово отображение поверхности ЛХ. Как и выше, обозначим через К гауссову кривизну для ЛХ, а через до и Й формы плошади на ЛХ и Яг соответственно. Тогда КсЬ= 1 №Й = (с1ебЛ>) 1 Й = 4н с1еяЯ.
и 3м уж> Положив Л = с1ея Л>, получим требуемое. Замечание. Отметим, что двумерность поверхности в теореме Гаусса— Бонне не существенна. Для сяучая гиперповерхности изменится только множитель перед с1еяд>. Этот множитель, который мы обозначим через си 1, равен объему стандартной евклидовой сферы Яи Замечание. На самом деле, степень гауссового отображения не зависит ни от индуцированной на поверхности метрики, ни от способа вложения поверхности в й',г. Она зависит лишь от топологии поверхности.
Можно показать, что с1ея Лс совпадает с половиной эйлеровой характеристикой поверхности ЛХ. поэтому отображение тах в виде и>1х Лс; М вЂ > 5" ' записывается в локльных координа- дг с Л Л дх>"-' = дхп 1 дх> — 1 = с1ех( .)>Хх Л ° .
Л дхи = Кдт, и — 1 дх'дх> ) Элементы дифференциальной топологии 145 7.5 Теорема Брауэра Пусть à — область в К", такая что замыкание Ё' области П компактно, и граница дГ этой области замкнутое (и — Ц-мерное многообоазие. Пусть Х --- некоторое векторное поле в области Г. Точка Р Е Г называется особой для Л, если Х(Р) = О.
Особая точка Р поля Х называется изолированной, если в некоторой ее окрестности нет больше особых точек. Предположим,. что поле Х не имеет на дП особых точек. Тогда во весх точках из дП определено отображение 1ч' в Во ', ставящее в соответствие каждой точке Р е дГ точку Х(Р)ДХ(Р)~ из Яв Определение. Степень отображения Лс~вц: дГ -+ Я" с называется ин- дексом векторноео поля Х (в области П) и обозначается через шс1 Х. Пусть Р Е Г изолированная особая точка. Рассмотрим шаровую окрестность В С Г точки Р, не содержащук~ других особых точек.
Тогда на сфере дВ также определяется отображение Х: дВ -+ Яв '. Определение. Степень отображения йс~вн называется индексом особой точки Р поля Х и обозначается через 1пс1рХ. Теорема 7.4 Пусть поле Х имеет в области П лишь изолированные особые точки. Тогда индекс поля Х равен сумме 'индексов его особых точек. Доказательство.
Пусть Р; -- - особые точки поля Л, и Вс — - непересекающиеся шаровые окрестности точек Р,, причем каждая В, не содержит особых точек, отличных от Рг Обозначим чеРез Г область Г '1 (0,В;), и опРеделим на 1' отображение Дс, положив, как и выше, о'(Р) = Х(Р)ДХ(Р)~. Рассмотрим на В" ' стандартную форму объема Й. Так как форма Й замкнута, то (п — 1)-форма Лс*(Й) на 1х также замкнута, поэтому по формуле Стокса где ориентации многообразия дП и сфер дВ; согласованы с ориентацией области Г. С другой стороны, применяя теорему 7.3, получаем: Х'(Й) = с„с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
