А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 22
Текст из файла (страница 22)
геодезическ я, то для произвольной ее вариации Ф(т, 1) производная функции длины 1(т) в на ьальный момент времени т = 0 имеет вид й!(0) = (д'(О), у(1㻠— (р'(О), у(уг», где р т) и о(т) концевые кривые вауиации Ф. Геодезические 116 5.2 Нормальные координаты С помощью геодезических на произвольном римановом многообразии ЛХ можно определить так называемые нор,мальньи координаты, которые. оказываются удобными для многих вычислений и являются аналогом нормальных координат на поверхностях. Итак, пусть Р -. произвольная точка риманова многообразия ЛХ, и ТрМ касательное пространство к ЛХ в точке Р. Пусть 1г произвольный касательный вектор из ТрЛХ.
Тогда, в силу следствия 5.1, существует и единственна геодезическая ск(в), удовлетворяющая начальным условиям ск(0) = Р, и б(,(0) = К (здесь штрихом обозначено дифференцирование по в). Пусть а произвольное вещественное число. Тогда для вектора а1' тоже существует геодезическая ~,г(в). Оказываетьл, как и в случае поверхностей, геодезические сь (в) и с и(в) отличвлотсл на перепараметризацию.
Лемма 5.3 В сделанных вылив обозначен'иях, (т (в) = С~ (ав) в общей области определения. Доказательство. Действительно, касательный вектор геодезической ~ь (ав) в точке Р = сь (О) имеет вид дсу (ав) = ~6 (0)и = а1; в=о поэтому. геодезическая бь (ив) удовлетворяет тем же начавьнылв условиям, что и геодезическая ст (в). Теперь утверждение леммы вытекает из следствия 5.1.
Определим экспоненциильное отображение ехрр некоторой окрестности нуля в касательном пространстве ТрМ в многообразие М так: ехрр. И ьь Сь(Ц. Ясно, что отображение ехрр - гладкое в области определения (в силу теоремы о гладкой зависимости решения задачи Коши от начальных условий). Оказывается, отображение ехрр является также регулярным в некоторой окрестности нуля. Предложение 5.2 Пусть Р произвольная точка риманова многообразия ЛХ. Тогди отображение ехрр задает локальные координаты в некоторой окрестности точки Р. Другими словами, отображение ехрр гладко и взаимно однозначно отображает некоторую окрестность нуля из ТрМ на окрестность точки Р в М, причем матрица Якоби этого отображения невырождена.
117 Геодезические Доказательство. Для доказательства предложения достаточно показать, что матрица Якоби отображения ехрр невырождена в точке О Е ТрЛХ. Действительно, если это так, то матрица Якоби невырождена и в некоторой окрестности нуля, и тогда утверждение предложения вытекает из теоремы о неявной функции. Итак, по определению, ехрр(И) = 51~(1). Фиксируем на М какие- нибудь регулярные координаты (и~,..., и"), и пусть и'(я, И) координатное представление геодезической Сг(а).
Если мы фиксируем какой-нибудь базис в ТгМ. и в этом базисе 1х = (и',..., и"), то координатное представление отображения ехрп в координатах (и1,..., и") на ТрМ и (и1,..., и"') на ЛХ имеет, очевидно, вид иг из(1 Р ) иг(1 и! ив) Пусть1 произвольное число. Поскольку, в силу леммы 5.3, См (я) = ~г(а), в координатах имеем и'(я, Л') = и'(аХ, И), Ж Продифференцируем соотношение (я) по Х и положим Л = О. Дифференцируя левую часть получим. ди'(я,1И) ~ ди'(а,1с') ди (я О) диэ, диэ ~=о С дру гон стороны, дифференцируя правую часть соотношения (*), имеем. ди'(зХ, 1') ди'(а1, И) ди'10,.
И) д® с=в дя с=.о Приравняв полученные выражения и положив в них я = 1, получим окончательно; ди'(1, О) диэ для произвольного вектора И. Поэтому матрица Якоби ) .„' ) отобра/а~*д,в Л жения ехрр в точке И = О равна единичной матрице и, в частности, невы- рождена. Предложение доказано. Определение.
Пусть в касательном пространстве ТрМ к риманову многообразию ЛХ фиксирован произвольный ортонормированный базис (е;), и (и',..., и") декартовы координаты в ТрЛХ, порожденные этим базисом. Локальные координаты в окрестности точки Р на ЛХ, порожденные отображением 1' = (е,..., и") ~-+ ехрр('с'), Геодезические 118 называются нормальными координатами с центром в точке Р, порожденными базисом (е,). Салла окрестность точки Р, в которой заданы нормальные координаты, а также соответствующая окрестность точки О в ТрМ называется нормальной окрестностью. Упражнение.
Построить нормальные координаты па стандартной двумерной сфере. Как устроена максимаяьпая нормальная окрестность точки сферьл? Из взаимной однозначности отображения ехрр в некоторой окрестности точки Р вытекает следующий результат. Следствие 5.9,Пюбьле две досплаточно близкие точки риманова много- образия можно соединить геодезичел.ко'й. 5.3 Лемма Гаусса и локальная минимальность геодезических Пусть в некоторой нормальной окрестности точки Р фиксированы нормальные координаты.
Рассмотрим в касательном пространстве ТрМ сферу Б" (е) радиуса е, великом лежащую в нормальной окрестности точки О Е ТрМ, Образ ехрр1Бь (е)) сферы Б" (е) при экспопеппиальпом отображении называется геодезической сферой с центром в точке Р и радиуса е. Предложение 5.3 1Лемма Гаусса) Пусть Л) -- произвольная точка геодезической сферы Е с центром в точке Р. Тогда целиком лежащая в нормальной окрестноспмл точки Р геодезическая, соединяющая точки Р и ье, единственнж Более того, зта геодезическия приходипл на геодезическую сферу Х под прямым углом.
Последнее означает, что геодезическая перпендикулярна любой регулярной кривой, проходящей через 1,) и лежащей в Е. Доказательство. Первое утверждение предложения вытекает из предложения 5.2, т.е. из взаимной однозначности отображения ехрр в пормаяьпой окрестности. Докажем второе утверждение. Пусть ?(1) геодезическая, соединяющая точки Р и Л,) и лежащая в нормальной окрестности точки Р, и пусть ал,т), т Е ~л-тв,гв), — произвольная регулярная кривая па геодезической сфере л.', такая что о(О) = се'.
Рассмотрим семейство геодезических Ь(1), целиком лежащих в нормальной окрестности точки Р и соединяющих Р с точкой а(т) Е Е. В силу первого утверждения предложения, каждая геодезическая Ь (л) однозначно определена. Ясно,. что семейство геодезических Ь 1л) определяет вариацию Ф(т,1) = у,1л) геодезической у(л) = ув1л). При зтоьл, по определению, одна коппевая кривая р(т) вариации Ф состоит из одной точки Р, а другая —— л?(т) совпадает с кривой алт).
Воспользуемся формулой первой вариации Геодезические 119 длины, см. следствие 5.8. Поскольку длины всех геодезических у,(1) равны между собой и равны радиусу сферы Х, имеем: 0= =(а(0), у), д1(0) где вектор скорости "у вычисляется в точке Ц, т.е.
геодезическая у перпен- дикулярна кривой а, лежащей на сфере Х. Доказательство закончено. Докажем одно важное следствие леммы Гаусса. Рассмотрим две геодезические сферы Е(е) и Е(е') с центром в точке Р. Пусть СУ Е Е(е) и Я' Е Е(е') две произвольные точки на этих сферах и у соединяющая их гладкая кривая. Следствие 5.10 Длина с(у) кривой Т не меньше разности радиусов г — е' геодезических сфер. При этом равенство достигается если и пшлько если, кривая у совпадает, (с точнотпью до параметризации) с геодезической, проходящей через центр Р обеих сфер. Доказательство.
Пусть в параметр на кривой у (не обязательно натуральный), 1) = у(во), и 1)' = у(в'). Поскольку все происходит внутри некоторой нормальной окрестности точки Р, для любого в существует единственное представление точки Т(в) в виде 0 (в) = ехрг (1х (в) ), где 1' е ТрМ -- некоторый, зависящий от точки у(в) касательный век- 1' (в) тор. Представим вектор 1'(в) в виде 1'(в) = [[Ъ'(в)[[ ), и обозначим [[1 (вп ' функцию [[1'(в)[[ через Х(в), а единичный вектор 1'(в)у'[[Ъ'(в)[[ через б(в). Тогда кривая у(в) запишется в виде у(в) = ехрн(ь(в)С(в)).
Пусть С(в), в Е [а,й), произвольная гладкая кривая на единичной сфере э" (1) с ТрЛХ. Введем в рассмотрение отображение Ф; [О, 1о) х [а, 6) — > М, положив Ф(1, в) = ехрг(1С(в)), где уо --- не слишком велико. Ясно, что образ Ф(1,[а,б]) отрезка [а,б) при фиксированнолв 1 это кривая на геодезической сфере Е(1), а образ Ф([ОДо), в) отрезка [О, Со) при любом фиксированном в это радиальная геодезическая, которая проходится с единичной скоростью б(в). Наша кривая 0(в) в терминах отображения Ф записывается так: у(в) = Ф(1(в), в). Для нахождения длины кривой О, вычислим ее вектор скорости: ду дФ сМ дФ вЂ” = — — + —.
де д1 дв дв Геодазическне 120 дф Вектор — касательный вектор к радиальной геодезической, а вектор ай дф — касательный вектор к геодезической сфере. По лемме Гаусса эти дв векторы перпендикулярны, поэтому, по теореме Пифагора, длина вектора кривой 0 скорости вычисляется так: ду з Пф з д1 з пф з Пф — + > дв д1 дв дв д1 дв сЬ дф так как норма вектора — равна единице. Поэтому д1 Р>о д„»о д1 Р>ь л1 сЯ = / — сЬ > / — дв > / — дв = ~11во) — 11во)~ = ~г — г ~ дв и дв дв >ь й> >о дф При этом равенство достигается если и только если — = О, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
