А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Каждой другой системе координат (х>,..., х" ) на >ь'" сопоставим набор функций (Г',„, ), вычисленных в соответствии с законом изменения символов Кристоффеля при замене координат: дх' дх> дхь д'х' дхг хь дх' дх>' дхн дх>'дтде дх> Проверить, задает ли построенное нами соответствие аффиннуи> связность на й", т.е. если (Г'„„) -- набор функций, сопоставленный нами системе координат (т>,...,х" ).,то справедяиво ли равенство дх дх> дх д х> дх > Я дхе дх>" дх"" дх>" дхь" дх>' ' „+ Другими словами, является ли транзитивным закон преобразования символов Кристоффеля при замене координат? Упражнение.
Какие еще бывают транзитивные законы преобразования, кроме тензорного и закона символов Кристоффеля? Пусть ЛХ произвольное гладкое многообразие с аффинной связностью Г. Рассмотрим соответствие й, сопоставляющее каждой локальной системе координат (х>,..., х") набор чисел й'.> — — Г'> — Г>~ ..
Лемма 4.4 В сделанных выше обозначениях, соответствие й задает на многообразии ЛХ тензорное поле типа (1,2). Доказательство. Действительно, зто немедленно вытекает из того, что нетензорная добавка в законе преобразований символов Кристоффеля симметрична по нижним индексам.
Лемма доказана. Тензорное поле й называется тензорож кручения афб>инной связности Г. Связность Г называется гилмен>ричной, если ее тензор кручения равен нулю. Пример. Евклидова связность на пространстве 2" является симметричной, так как ее символы Кристоффеля могут быть записаны в виде да в д > Г'ь —— дх>'дхь дяя симметричном по нижним индексам у и Л. Произвольная связность, отметим, вовсе не обязана быть симметричной. Упражнение. Пусть М -- гладкое многообразие с аффинной связностью Г, и Т произвольное тензорное поле на ЛХ типа (К 2). Сопоставим каждой системе координат (х~,..., х") набор функций (Г'„+ Т'.ь). Проверить, что в реву.льтате получится некоторая аффиннвя связность на ЛХ. Упражнение.
Привести пример несимметричной связности на К". 00 Ковариантное дифференцирование 4.3 Ковариантная производная по направлению Пусть Т вЂ” тензорное поле типа (р, д), и Х вЂ” — векторное поле, т.е. тензорное поле типа (1, 0) на многообразии Л1. Определение. Ковариантной производной ьсхТ полл Т вдоль вектор- ного полл Х называется следующее тензорное поле типа Ср, ц); ~с Т = С,'„(Х М ~ Т). Пусть (хс,..., х") — — локальные координаты на многообразии ЛХ. Тогда, по определению, компоненты тензорного поля 17хТ могут быть записаны в виде ('7хТ)";'," = Х С~„Т,.",-;*, где (Х',..., Х") компоненты векторного поля Х в координатах Сх~,..., х").
В частности, если поле Х совпадает с вектором д,. канонического базиса, то 1Tв „Т),",' '," = TьТ," ,',". Операция дифференцирования Л7в, вдоль векторного поля д ь называется ковариантным днфферснцнровссннем по И-ой координате и обозначается обычно для краткости просто через Tь. В этих обозначениях ковариантное дифференцирование вдоль векторного поля Х можно представить в локальных координатах (х',..., х") в виде Определение ковариантной производной вдоль векторного поля позволяет дать естественную интерпретацию символов Кристоффеля аффинной связности. Лемма 4.5 Пусть (хс,..., хп) - - произвольные локальные коорс)инаты на гладком многообразии ЛХ с афсринной свлзностпью Г.
Тогда ~в сб„= Г;П,. Доказательство. Действительно, запишем ковариантную производную векторного поля д„вдоль поля ди, По определению получим: ~~в, П„)" = ~ои.) С „~П,,)" = ~Пх,) ( . (П.,)'+ Гв'. (Пл,)'). Поскольку координаты (д,)" базисного вектора постоянны и равны 6", получаем (Сув д )ь — д"Гдь Ф вЂ” Гь откуда и вытекает требуемое. Лемма доказана. 91 Ковариантное дифференцирование Пусть т произвольная гладкая кривая на многообразии ЛХ.
Тогда ковариантной производной Чт Т гпензорноео поля Т вдоль Т называется ковариантная производная поля Т вдоль вектора скорости у' кривой у. Если [х',..., хл) -- произвольная локальная система координат, и х' = х'[1)-- координатное представление кривой у, то, по определению, компоненты тензорного поля T Т вычисляются так: н 4 ь дг дх г д Т.1 " '" + слагаемые с символами Кристоффеля) 61 дх" и м дх ( — Т '" ' + (слагаемые с символами КристофФеля). дь " 'з' дь Из полу.ченной формулы вытекает следующий факт.
Лемма 4.6 Ковариантная производн я тензорного поля Т вдоль кривой у зависит только от значения поля Т на кривой у. Замечание. Чтобы вычислить обычную ковариантнуи> производную в некоторой точке следует знать значение тензорного поля в некоторой открытой окрестности этой точки. Поэтому, с формальной точки зрения, если тензорное поле Т задано только в точках кривой Т, то производная Чз Т не определена, так как не определена производная Ъ~Т, входящая в определение производной по направлению. Чтобы выйти из этого затруднительного положения поступают следующим образом.
Пусть Р = у[1в) — — произвольная точка на кривой Т, Продолжим поле Т, заданное вдоль кривой, на малую окрестность ХХ точки Р в многообразии, т.с. построим поле Т, определенное в окрестности П и совпадающее с Т в точках кривой. Ясно, что такое продолжение существует [докажите!). Определим ковариантную производную ~ . Т[Р) полл Т вдоль у, положив 'й.,Т= й,Т. Стоящее справа выражение корректно определено, а из леммы 4.6 вытекает, что оно не зависит от продолжения Т поля Т за пределы кривой Т. В дальнейшем мы будем ковариантно дифференцировать вдоль кривых тензорные поля определенные только вдоль этих кривых без специальных оговорок.
Замечание. Значение ковариантной производной тензорного полн вдоль кривой т, вообще говоря, зависит от параметризации кривой. Действительно, пусть Т, [а,Ь) -+ ЛХ - гладкая кривая на многообразии ЛХ, и т: [с, д) — у [а, Ь) замена параметризации [т.о. некоторый диффеоморфизм отрезков). Обозначим через Х Е [а, Ь] параметр кривои вб через у = Т ь т— 92 Ковариантное дифференцирование кривую полученную из Т заменой параметра, и через в е [с, д) параметр кривой у.
Пусть (х~,...,хо) локальные координаты, и х'(С) координатное представление кривой Т. Тогда координатное представление х'(в) имеет вид х'[в) = т'(с[в)). Поэтому для произвольного тензорного поая Т имеелс д* дх й, й С~г;,~г,т = Ч Т = — ~У Т = — 'Чл,~г,т. дв ~Й дв дв Итак, доказана следующая лемма.
Лемма 4.7 При замене параметра й = т[в) кривой Яй), ковариантн л производная вдоль кривой умножается на производную дт(дл. 4.4 Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования Перечислим простейшие свойства операции ковариантного дифференциро- вания. Предложение 4.1 Пусть М . — гладкое многообразие с аффинной связностью Г, Р Е М --. некоторая его точка, и Х -- произвольное векторное поле, заданное в окрестности точки Р. Тогда операция ковариантного дифференцировегния в аффинной связности обладает следующими свойтпвами.
1) Операция л7 линейно; для любых постоянных о и д и тензорных полей Т и 5 типа [р,у) имеют место равенства г[оТ+,35) = охТ+ Д~д, и ьх[оТ+ Ю = олухТ+,Зчхд г) Результат ч Т применения операции ковариантного дифференцирован я к тензорному полю Т типа [р,д) является тензорным полем типа (р, у+1). Результат ь'хТ применения операции ковариантного дифференцирован я по направлению векторного поля Х к тензорному полю Т типа [р,й) является тпензорным полем того же типа [р у) 3) Результат применения операции 'Г к скалярной функции у совпадает с градиентом этой функции: в локальных координатах [х1,..., х") ду имеем: ч'ьу' = .
Результат применения операции 7гх к скалярной функции у' совпадает с производной этой функции по направлению поля Х: "ухУ = Х[г"). л) Опериция ьх удовлетворяет правилу Лейбница: для любых тензор- ных полей Т типа [р, у) и Я типа [г, в) имеет место равенство: ~хТЗЗ =~хТЗЯ+ТЗ~хд, Ковариантное дифференцирование о частности, о локальных координатах.
17 Т 'Я' =Я' 17Т '+Т х17Я' й~ 3' ...А в ..д.) д~...в. ь Зь.о„п" А я д~.А ' 57' Операция У7 перестанооочна с операцией свертки: если Т тензорное поле типа 1р, о), то для любых в и 1, где 1 < ч < р и 1 < й < о, то чс;(т) = с;~ят). Доказательство. Свойства (1) и 13) немедленно вытекают из опречеления ковариантного дифференцирования. Свойство (2) следует из закона преобразования символов Кристоффеля, который специально был подобран нами так, чтобы ковариантное дифференцирование было тензорной операцией.
Провести соответствующую выкладку оставляется в качестве обязательного упражнения (эта выкладка, фактически, была проделана в предыдущем пункте). Доказательство свойства (4) мы проведем для случая тензоров типа 11,1), оставляя более громоздкий общий случай в качестве упражнения. Итак, пусть Т" и о", компоненты тензорных полей Т и д типа (1,1) в локальных координатах (х1,..., ха), и Р"" = Т" .Я" .компоненты их д12 11 уч тензорного произведения.
Тогда, по определению операции ковариантного дифференцирования, в координатах 1х~,..., х") имеем: дри н дт," . ддм Ь дб мтб дх" " дхь + Т'Ягч1 +Т" Я Гп — Т" Б".Ге — Т" Я",Г'* . = и уч оь и уч чь а уа Ье и ч згь дТ,", д,'.-.( ", +туг'.,— т.'г„",)+ дд" ч- т,'; ( 'з + д,ч Г':ь - д.' Г;ч„) = д"17 Т" +Т"Я 5", ь 1, 1, ь что и требовалось. Докажем теперь свойство 15). Для простоты, приведем соответству- ющую выкладку для случая тензорного поля Т типа 12.2) и свертки С~я. Пусть 1х~,..., х") некоторые локальныс координаты, и Т",',; компо- ненты тензорного поля Т в этих координатах. Сначала возьмем тензорное поле С;, 1Т), компоненты которого имеют вид Туа,' и ковариантно продиф- ференцируем. Компоненты получающегося в результате тензорного поля типа 11,2) имеют вид: дтв' с~я)С1)т))чя = 'в + ТР Гп — Т '2Г з и д ь до аь йц вь' 94 Ковариантное дифференцирование С другой стороны, если мы сначала ковариантно продифференцируем тензорное поле Т, а затем возьмем свертку, то компоненты полученного тензора будут иметь вид: Легко видеть, что последнее выражение совпадает с предыдущим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
