А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Л именно, группы когомологий гомеоморфных многообразий изоморфны. Поэтому эти группы могут использоваться для доказательства негомеоморфности многообразий: если группы различны, то многообразия не гомеоморфны. Замечание. Построение групп когомологий многообразия с помошью дифференциальных форм это далеко не единственный подход. Более общие топологические конструкции (так называемые симплициальные и сингулярные гомологии и когомологии) можно найти, например, в замечательной книге А.
Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, "Курс гомотопнческой топологии", а общий алгебраический подход изложен, например, в классической книге Н. Стинрод, С. Знленберг, "Основания алгебраической топологии". 70 Внешние дифференциальные формы 3.12.1 Определение групп когомологий Пусть ЛХ вЂ” — гладкое многообразие, и ы — внешняя дифференциальная форма на ЛХ. Форма ш называется замкнутой, если ее внешний дифференциал Ао равен нулю. Форма ш называется точной, если существует форма Ы на ЛХ, такая что ш = дш. Ясно, что множество ь'~(ЛХ) всех замкнутых форм степени Й на ЛХ и множество Вь(ЛХ) всех точных форм степени к на ЛХ образуют (бесконечномерные) линейные подпространства в (бесконечно- мерном) линейном пространстве Й~(ЛХ) всех внешних форм степени Л на ЛХ.
Напомним (см. предложение 3.5, что д(д ~) = 0 для любой формы ы, поэтому каждая точная форма является замкнутои: В" (ЛХ) с Е~(ЛХ). Отсюда вытекает, что корректно определено фактор пространство пространства всех замкнутых форм степени Л по пространству всех точных форм степени Е Неожиданно оказывается, что это пространство конечномерно. Определение. Фактор пространство ьь(ЛХ)/Вь(ЛХ) называется й-ой груп- пой когомологий де Рама многообразия М и обозначается через Н" (ЛХ).
Нам будет удобно записать это определение в других обозначениях. Линейный оператор внешнего дифференцирования д действует, как мы знаем, из пространства Й~(ЛХ) внешних форм степени й в пространство Й~+~(М) внешних форм степени Л+ 1. Для удобства, будем обозначать оператор д через дь, указывая тем самым явно то пространство, на котором этот оператор в данный момент рассматривается. Тогда мы имеем следующую цепочку "сквозного действия" линейного оператора внешнего дифференцирования: — 4 Й" '(М) — ю Й" (М) — '~ Й" '" (М) — 4 В этих обозначениях, й-ая группа когомологий может быть определена так: Нь(ЛХ) = Кег(дь)71ш(аь ~), так как, по определению, Кег(дь) = ьь(ЛХ), а 1ш(дь ~) = В"(ЛХ).
Замечание. Мы определили группы когомологий НЯ(ЛХ) для Л ) 1. Удобно определить так же 0-ую группу Но(ЛХ), продлив цепочку "сквозного действия" операторов внешнего дифференцирования влево так; 0 — ~ Йо(ЛХ) — '-> Йг(ЛХ) — '+ Тогда группа Но(М) по определению полагается равной Кег(до)/ 1ш(д ~ ), т.е. Но(М) = Кег(до).
Замечание. На этой последней конструкции основан алгебраический подход к определению когомологий. А именно, если Й вЂ” — произвольные абеь левы гРУппы, и дь. Йа — ~ Й~ы гомомоРфизм, такой что дь.ь~ о дь = 71 Внешние дифференциальные формы О, то можно определить так называемые когомологии пенного комплекса (Йь,сХь Хь о, положив Нь = Кег(аг)/1ш(4. г). Однако, эта общая конструкция лежит за пределами нашего курса. Элемент ы + Вь(ЛХ) группы Нь(ЛХ) будем обозначать через Ц и называть К-мернььи классом когомологий. Две замкнутых внешних формы гог и огг, принадлежащие однолгу и толчу жс классу (ог), называются когомологичными. Ясно, что замкнутые формы огг и огг когомологичны если и только если их разность ыг — шг точна.
Пример. Пусть ЛХ связное многообразие. Вычислим группу Но(ЛХ). Для этого, по определению, нужно найти ядро Кег(г1о) оператора внешнего дифференцирования до на пространстве Йо(ЛХ) всех внешних форм степени О на многообразии ЛХ, т.е, на пространстве гладких функций на ЛХ. Очевидно, Ксг(с1о) это пространство всех постоянных функций на ЛХ, поэтому Н" (ЛХ) = Кг. Упражнение. Пусть М многообразие, состоящее из Л компонент связности.
Вычислить Но(М). Пример. Пусть М вЂ” это вещественная прямая К'. Вычислим группы когомологий многообразия Кг. Мы уже знаем, что Но(Кг) = Кг, так как прямая связна. Далее, так как гйш Кг = 1, пространства Йь(К") внешних форм степени Л на Кг тривиальны, т.е. равны нулю, при Л > 2. Поэтому Нь(Кг) = О при й > 2. Вычислим теперь Н (Кг) = Кег(дг)/Хгп(до). Так как дг . .Йг(Кг) — ~ О, то ядро Кег(аг) оператора с/г совпадает со всем пространством Й'(К') внешних форм степени 1 на К'. С друтой стороны, образ 1ш(до) оператора до так же совпадает с пространством Й'(К'). Действительно, произвольная форма из Йг(Кг) может быть записана в виде /(х) с1х, где Х(х) гладкая фу.нкция, и х стандартная координата на прямой.
Рассмотрим гладкую функцину д Е Йо(К ), определенную так: гх д(х) = / /(Х) ~. о Очевидно, 4>(д) = г(д = Ях, что и требовалось. Таким образом, ХХг(Кг) = Йг(Кг)/Йг(Кг) = О. Итак, нами доказано следующее утверждение. Утверждение 3.7 Грдппьг когомологий вещественной прямой Кг оыгля- дягп так: ХК' Нь(К') = ~ О прий>1. 72 Внешние дифференциальные формы Как видно из предыдущего примера, задача о вычислении первых когомологий многообразия М это в точности задача о разрешимости следующей системы дифференциальных уравнений в частных производных: ~„дх~ = Ид, т.е.
дд/дх~ = („, где у'„известные функции, а д -- неизвестная. Поскольку вторая производная дэд/дх дхд симметрична по а и д, для разрешимости этой системы необходимо, чтобы ду" /дхд = дуз/дх Отметим, что это в точности условие замкнутости формы ш = )„нх~. Действительно, сил= Пх дс1х =0 Е: дУ. „. ВУ„ВУ, дха д д- Когомологии Н'(ЛХ) равны нулю тогда и только тогда, когда это необхо- димое условие разрешимости является также и достаточным. Пример.
Пусть ЛХ это окружность Я . Вычислим группы когомологий 1 окружности. Точно так же, как и в случае прямой 1с~, очевидно Не(У) = 11', и Нь(У ) = 0 при Л > 2. Вычислим теперь группу Н (У). Так как с11ш(У) = 1, снова заключаем, что Кег(4) = й'(У). Осталось выяснить, как устроен образ 1ш(с(е) оператора с)е. Пусть ш Е й'(У) внешняя 1-форма на У, принадлежащая обРазУ 1ш(де). Это означает, что сУшествУет гладкаЯ фУнкциЯ д Е йе(У), такая что с1д = ш. Но тогда, так как окружность замкнутое многообразно, по теореме Стокса имеем: То есть имеет место следующее включение 1ш(сне) С (ь~ Е (1~(У) ! ш = 0).
ун1 Оказывается, верно и обратное. Действительно, пусть ш Е й1(У) такая внешняя 1-форма, что )и, ш = О. Пусть окружность У параметризована стандартным угловым параметром х Е (О, 2х). Тогда каждая 1-форма на окружности может быть записана в виде 7" (,р) дх, где 1" --. гладкая функция на окружности.
Последнее означает, что 7 порождает гладкую периодическую функцию на прямой с периодом 2х, которую мы будем обозначать той же буквой 7". В частности, 7" (у + 2х) = 7(р) для любого у Е й~. Запишем нашу форму ш в виде ш = ((ф асс. Рассмотрим функцию д(р) на М', определенную так; Внешние дифференциальные формы Функция д гладкая периодическая функция на прямой с периодом 2к. Действительно, -И-~-гч с' ст ' гч у~~р+ 2к) = / у"[1) с1с = / 1'[1) с11+ / 1ЯЖ = д(~с), в в и так как последний интеграл совпадает с интегралом от формы ш по окружности У, который, напомним, равен нулю в силу выбора формы ш. Итак, доказана следу ющая лемма.
Лемма 3.9 Форма ы Е й~[У) является точной если и только если ин- тггр л вт нгс по о' равен нулю. Рассмотрим теперь отображение 1: й'(У) -в К', переводящее форму ш из й~(У) в число 1, ш. Ясно, что отображение 1 является гомоморфизмом линейных пространств. Более того, в силу леммы 3.9, ядро Кег1 этого гомоморфизма совпадает с 1ш[дв). Кроме того, легко видеть., что образ гомоморфизма 1 совпадает со всем пространством 1ь~ (проверьте это!). Осталось воспользоваться теоремой о гомоморфизме; И' = 1шг' = й~(У)1Кег1 = Кем~)11ш[дв) = Н'[У).
Итак, нами доказано следующее утверждение. Утверждение Зл8 Группы квгомвлвгий окружности В выглядят так: /К' при в = 0 и 1с = 1, [О при й) 2. 3.12.2 Когомологии и отображения Пусть М и Х гладкие многообразия, и 1: М вЂ” ~ Л' гладкое отображение. Как мы уже знаем, отображение у порождает линейное отображение 1'* на пространствах внешних форм: у*: й~[Ж) — ~ й" [М). Более того, так как отображение у' перестановочно с операцией внешнего дифференцирования, см. предложение 3.5, оно, очевидно, переводит замкнутые формы в замкнутые, а точные в точные.
Поэтому отображение 1* корректно определено на группах когомологий. А именно, .если Ц е Нь [Х) произвольный класс когомологий многообразия Х, и ш --. некоторый его представитель, т.е. замкнутая форма из Ц, то определим 1*[Ц) равным [1'[ш)). Ясно, что п(1*[ш)) = 1'[вас) = 1'(0) = О, поэтому 1'(ш) замкнчтая форма, и [1 *[ш)] определен. Кроме того, если шо 1 = 1, 2, два разных представителя класса Ц, то, по определению, ип — шг = др для некоторой формы сс на Х.
Поэтому (в~1) т [~ ~2) У [~ 1 ш~г) У [счг) 4У [у ))~ 74 Внешние дифференциальные формы т.е. формы Х*(ьс1) и Х*(ьсэ) когомологичны или, друтими словами, ~Х*(ьс1)) = ~Х'(ьса)). Итак, доказано следующее предложение. Предложение Зс8 Пусть ЛХ и 71' гладкие многообразия, и Х: М -+ Лс гладкое отображение. Отображение Х*: Пл(М) -э йь(ЛХ) андуиирутп гомоморфизм групп когомологий Х': Нь(гч) — у Н~(М), Этот гомоморфизм определяется так: Х*([ш)) = [Х'(ьс)~, где ьс — произвольная замкнутая форма степени к на Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
