А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Но тогда, по теореме Стокса, интеграл от формы По по компактному многообразию ЛХ будет равен нулю, что невозможно, так как существенная компонента формы й„ нигде нс обращается в нуль. Доказательство закончено. Упражнение. Покажите, что каждое симплектическое многообразие ори- ентируемо. Упражнение.
При каких и можно задать на сфере о'г" симплектическую структуру? 4 Ковариантное дифференцирование В предыдущем разделе мы построили теорию внешнего дифференцирования для дифференциачьных форм кососимметричных тснзорных полей. Цель настоящего раздела построить теорию дифференцирования для произвольных тензорных полей. Прежде всего отметим, что обычная операция взятия частных производных от компонент тензорного поля ТР"' ' не является тензорной. А й "м именно, имеет место следующая лемма. Лемма 4.1 Пусть Т - — произвольный тензорное поле типа (р, у) на гладком многообразии ЛХ. Соответствие, сопоставляющее локальным коордТн..з„ динатам (х',...,хп) набор чисел ~''"~', не является тензором.
Доказательство. Действительно, пусть (х',...,хо ) - - другая система локальных координат на ЛХ. Ей, по определению, соответствует набор чиз) ' 'ов сел „, . Воспользовавшись тензорным законом для компонент тензора дхь Коварнантное дифференцирование 84 Т, получим: А'" 1! дха' дх' дх" д:г' дх* дхд дх'~) дх!! дх~', дх!< Первое слагаемое это в точности тензорный закон. Второе слагаемое., вообще говоря, не равно нулю. Лемма доказана. Замечание. Отметим, что если замена координат линейная, то второе слагаемое — нуль.
Однако, оказывается, операцию частного дифференцирования можно слегка подправить так, что она станет тензорной. 4.1 Евклидова связность Мы начнем со случая евклидового пространства. При построении операции дифференцирования тензорных полей на Б'.", которую мы обозначим через ~7, будем исходить из следующих соображений. ° Операция !! должна быть тензорной.
Другими словами, если Т--- тензорное поле типа (р! й), то результат дифференцирования 1тТ должен быть тензорным полем типа (р! о+ 1). ° В декартовых координатах (з',..., г") на !а" компоненты (У7Т)" "", д'Т'""" тензора ЯТ должны совпадать с частными производными и "3 дза!е! компонент тензора Т. Результат применения операции 17 будем называть ковариантной произво!)ной тензора Т (в евнли!)овей связносгаи). Таким образом, чтобы найти компоненты тензора ГТ в произвольных координатах (х!,...,х"), следует перейти в декартовы координаты (х !,..., з" ), там выполнить обычное дифференцирование, а затем вернуться обратно.
Проделаем зто. Пусть Т""" -- компоненты тензора Т в (крив ~д волинейных) координатах (х',...,ха). Тогда его компоненты Т '": " в в! -в! декартовых координатах имеют вид дяа„дть дхв, Т!! !...!!Р в! .К дх!!! дхвр дз!з! дзе, в! лч „, Т,.. дх" дх"' дх' д тдх" '' 'дх' Мх" д."д» д. + дхб дхд дху! дх' дх" дх" ) Ковариантное дифференцирование Стд дт —, Т Последнее выражение удобно переписать в виде ДТ„'-,'" Дх ~Д; Д,-, Д, ° Дх, ('' -! Дх' Дгт! Дх" Дхм Дго' Дгр Дгго1 Дхс Дга~ Дгае Дхн Дхг, +Т"-' ( + М" К ~Дхю Дхс Дг ~ У Дх~- "Дхч Дгл1 Дгрч Дгх"' 1 Дг"' Дг Дхо' Дхг +Т"' -"1 + "Ь ~ДгВ~Д ~Дх~ Д °,Д в Д в, где многоточия обозначают слагаемые, отвечающие дифференцированию Дга Дхь других сомножителей вида и г по правилу Лейбница.
Дха Дгц '1тобы найти компоненты тснзора тУТ воспользуемся тензорным законом. Получим: Дх" Дх" дго' Дг" Дгт Дго' Дг'" Дхл Дтз дхг ДТ'"'' дг ю д ~ н" и Тюн...м дхь """ Дх' Дхь дг + Т.:"' + Дгхн Дго' Дгч +Т";'' +.. '""" Дг" Дгт Дхю Дх" (ГТ),", "'," „ Отметим, что в последнее выражение входят функции двух типов, выделенные снизу фигурными скобками. Оказывается., впрочем, что на самом деле это одна и та же функция. Лемма 4.2 Имеет место равенство Дгх' дг" дгв Дгг дх' дг"Дгг Дхт дх" дхздх" дго Доказательство.
Действительно, продифференпировав очевидное равендх' дг ство = 6' по х" получим: дг'" Дхг дгх' дгв дг дх' д'г 0 + Дг Дгр Дхь Дхг дг Дхздх" что и требовалось. Компоненты тснзора Я Т в декартовых координатах по определению равны обычным частным производным: Ковариантное дифференцирование Положим д-'х дх' дх дхь дх (*) Тогда компоненты тензора ~Т в координатах (х~,..., х") перепишутся в более компактном виде так: дТп...г„ н ..и Та|и..лр11 Тп..л„1арГы дхь ,Й,.о, тя м"..7д ьеь — Т",' ' Гз — .
— Т"." " ГУ ьыь "1ь йь А зо — чья 1ль ('УТ),*',.::,*", Отметим, что функции Г'и, определенные соотношением (е), не являются тензором. Лемма 4.3 Пусть (х',..., хо) и (х',...,х" ) стемы координат в 5Г. Пусть две криволинейных си- д2 ь д.ь дз ь д Е Г'. = а Г',ы —— дхздхь дх ' дху дхь дг" где (з1,...,. яо) декартовы координаты в И". Тогда дх' дхв дхь дахв дх' '" дх' дхр дхи дххдхи дхв ' Доказательство. Действительно, дх"' ),дхр ( дз'* д (дзо дх' дх' дх' дх"' ~ дхб дху / дх' дх'* ( ...,,,) дз а д, ь дхз д а дз 1 д е дхю + дхддх" дхи дху дхз дхрдхь') дх' де~ = ( ) дзха д г д е д У д Й д а дз У д,с дх~ , + ...."и-) ..'..: дх' дхб дх' д'х1 дх' Г'„,, + ~ь дх' дхх дхн дхудхи дхд ' что и требовалось.
Итак, нами получен следующий важный результат. Теорема 4 1 На пьензорных полях типа (р, д), заданных на К"', существует тензорная операция ь7, ставящая в соответствие каждому тензорному полю Т типа (р,у) тензорное поле TТ типа (р,д+ 1). Эта операция обладает следующими свойствами. Ковариантное дифференцирование ° В декартовых координатах (гь,..., г") операция ~7 совпадает с обычным частным дифференцированием, т.е. если Тп"" -- компоненть1 н -3, н.. Йр тензорного по я Т в декартовых координатах, то кояиаоненьпы Tт, в тензора Ят в декартовых координатах имеют вид с~т,'.*, ",.", = „(т," ,„'. ); ° В произвольных криволинейных координатах(х1,..., х ') компоненты тензоров Т и ~т связаны так: дТп"" " " +т""'. "Г" + "+Тп'"""-гяГ" ах м"3~ л ь н"зь юь — т"" ' г' — — т"" ' г' (~7Т),""',У где Г' гладкие функции на 2'", соответствующие системе локальных координат (х1,..., хв), и определенные соотношениями даг' дх' Уь Вхддхв Вгь' ° Соответствие Г: (х1,...,х") > (Г,' ), сопоставллющее координатам (х1,..., х") набор функций Г', не являетсл тензорным полем.
Функции Г'ь при замене координат преобразуются по правилу дх' дху дхь дгхз дх' '"' дх' дху дхи Вхудх"' дхд ' где Гх,и набор функций, соответствующих криволинейным коордпнатам (х1,...,х" ). Итак, нами доказана теорема существования тензорной операции дифференцирования в ьч". Отметим, что мы существенно использовали наличие в И" выделенной декартовой системы координат, в которых операция дифференцирования по нашему определению должна была выглядеть особенно просто. Прежде чем переходить к общему случаю, условимся о терминологии и обозначениях. Компоненту ~ЯТ) .
'"'." тензора б'Т принято обозначать н... ць или через ЯьТР"' ', или, особенно в физической литературе, через Т" "" „. н" 3» и..м л' Функции Г', называются символами Кристоффеля евклидовой связности, а их закон преобразования, установленный в лемме 4.3, законом преобразования символов Кристоффеля. Ковариантное дифференцирование 88 Ъ"пражнение. Чему равны символы Кристоффеля евклидовой связности в декартовой системе координат? зпражнение. Выписать формулы для компонент тензора ЯТ в случае, когда Т являетсл вектором, ковектором, линейным оператором, билиней- ной формой.
4.2 Аффинные связности Пусть теперь М произвольное гладкое льногообразие. дхь дхз дхь дзхв дхь 'ь дхь дхи дх"' дхддхь' дхз Функции Г'ь называются символ ми Кристоффеля аффннной связности Г, или ее комионеняьамьь в координатах (х',..., х"). Если на многообразии ЛХ задана аффинная связность Г, то на тензорных полях на многообразии ЛХ определена операция ~7 ковариантного дифференцирования относительно аффинной связности Г. А именно, если Т произвольное тензорное поле типа (р, о), то его ковариантной производной в связности Г называется тензорное поле г'Т, компоненты которого в произвольных координатах (х~,..., х") вычисляются так: дТ""'" +Т.""""Г" +.. +Т'"' ' 'Г'" дхь М ° ° зд ь1ь м. м ььь п..лр ь, б..л„ ьь Ть,~, о,Гць ''' Ти м,ььГ,,ь (~Т) ".
и ось Замечание. Пока, вообще говоря, не откуда, не вытекает, что на произ- вольном гладком многообразии ЛХ можно ввести хотя бы одну аффинную связность. Пример. Пусть М = 2". Тогда построенное нами в предыдущем пункте соответствие, сопоставляющее произвольным координатам в К" соответствующие символы Кристоффеля евклидовой связности, является, очевидно аффинной связностью на многообразии ьь". Таким образом, у нас имеется по крайней мере один пример многообразия с аффинной связностью.
Определение. Говорят, что на ЛХ задана аффинная гвлзность Г, есяи за- дано соответствие, сопоставляющее каждым локальным координатам (хь,..., х") в окрестности произвольной точки Р из М набор гладких функций Г', (хь,..., х"). При этом, если (хГ,..., х" ) друтие локальные координаты в окрестно- сти точки Р, то соответствующие им функции Г',„, связаны с функциями Г,'.„по следующему закону Ковариантное дифференцирование Упражнение. Пусть ЛХ = >к". Рассмотрим в К" произвольные криволинейные координаты (х>,..., х") и сопоставим им набор гладких функций (Г'ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
