А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 12
Текст из файла (страница 12)
и свм ь' Покажем, что формула Стокса для поверхностей является частным случаем общей формулы Стокса. Для итого достаточно построить такую дифференциальную 1-форму ш на ЛХ, что ее ограничение на дЛХ совпадает с (Х, е) сЬ, а ее дифференциал сХсо имеет вид (гоу Х, Л') су ди' Л ди~. Пусть Т -- зто 1-форма в Кь, полученная из Х опусканием индекса. В качестве формы ю возьмем ограничение формы Т на поверхность ЛХ. Проверим, что такая форма удовлетворяет требуемым условиям. Пу.сть в нату.ральный параметр на кривой у;, выбранный так, как описано выше, и у, = Я, )Д, уз). Тогда со~.„, = Т~, = ~ Х~"~," дв = (Х, у,) сЬ = (Х, е) сЬ. Определим 2-форму сс, положив р = дТ; 1-форму ц, положив ц = *р:, и пусть У --- векторное поле, полученное из 1-формы ц поднятием индекса.
Устверждение 3.3 Поле У является ротором векторного поля Х. Доказательство. Действительно, гздхЛдх+3 1дхЛдг+124ХЛЙХ ОХ ОХз, ОХ' ОХ „дХг дХ' откуда немедленно заключаем, что У = гог Х, что и требовалось. 64 Внешние дифференциальные формы Заметим теперь, что *у = *ар = р = йТ, поэтому, по утверждению 3.2, (йТ) ~лл = ~лале = ву~лл = (у л Лл) л/у йи~ Л йи'. Утверждение 3.4 Имеет место следующее равенство: йал = (йТ) ~лы Доказательство. Действительно, дХ* йТ = . йх' Л йх', дхл дХлдлдл (йТ)~лл = —, йи" Л йи'. дхл диь длл' С другой стороны, вл = Т~лл = Хл йи, лде' с ди' откуда лдХл д~л дхл л дзхл л „, дХ' д~л дхл йал = (дле д ь, +Хл ьд л) йи" Лйи' =, „—,йил Лйи',. где последнее равенство имеет место, так как, в силу симметричности алел ~,.в,, и косой симметРичности йиЛ' Л йи' по й и 1, выРажениЕ див дал равно нулю.
Из утверждения 3.4 вытекает, что йш = (У~,дл) лллдйи Л йи, поэтому форма ш удовлетворяет всем требуемым свойствам. Упражнение. Записать выражение для ротора векторного поля в криво- линейных координатах. 3.11 Теорема о вычетах Пусть л (х, у) = и(х, у) + л и(х, у) комплекснозначная функция комплексного переменного з = х+л у, определенная в некоторой области Й С Пса св С. Напомним, что у = х — лу. Будем рассматривать и у как независимые переллснные. Выразим х и у через е и у и подставим в выражения для и и и. Получим (х+ у е — у) (е+ у з — у) 65 Внешние дифференциальные формы Определение. Функция 11г, й) называется комплексно-аналитической или голоморфной, если она не зависит от г.
Иными словами, Продифференцируем функцию 1(х,у) по у по правилу из теоремы о дифференцировании сложной функции. Получим ду(.,у) д;.+.— .—.-1 д Лг+.— ° —.-) = — и( ) + $ — о( ду ду ~ 2 ' 2! ! ду ~ 2 ' 21 ди1 ди 1 рди1 ди 11 = — — — — — +1( —— дх 2 ду 21 ~дх 2 ду 21,) 1 д .д, 1 д д = — ( — +1 — ) (и+1и) = — ( — +1 — ) У = 2 дх ду 2 дх ду Таким образом, д 1 д д — = — ( — +1 — ) дй 2 дх ду и условие голоморфности функции 1 равносильно выполнению следующей системы уравнений в частных производных, которая называется условиями Коши "Римана ди ди дх ду' ди до ду дх Пусть теперь ~(г) аг = '1и1х, у) + 1 и(х, у) ) (0х + 1 с)у) = = и(х,у) Йх — о(х, у) Иу+11и(х,у) фу+ о(х,у) дх) = аь +1ша комплекснозначная 1-форма, где шь = и 1х, У) ах — и(х, У) ф, ю = и1х, У) е)У + и(хч У) ах вешественнозначные 1-формы. утверждение 3.5 Функиил 1 — голоморфна, если и только если дифференциал 1-форм ыь и ша равен нулю.
Доказательство. Действительно, тди дит сЬ~ = — ( — + — ) Их Л ф, ду дх д д. дюа = ( — — — ) дхЛду, дх ду 66 Внешние дифференциальные формы откуда непосредственно видно, что равенство нулю дифференциалов форм ш, равносильно выполнению условий Коши — Римана. Доказательство закончено. Определим интеграл от формы у(я) сЬ вдоль гладкой кривой у: (а, Ь) — ~ Б~, уф = (х(1), у(в)), положив Г(я) вЬ = / ~р(х, у) йх — и(х, у) Йу~ -ь г / (и(х, у) Йу + и(х, у) дх1 = / т хз лт = / [и(х(Е),у(в)) Х(Е) — о(х(в),у(в)) у(Х)] сЫ+ + с / [и(х(~),у(а)) у(Ц+и(хЯ,уЯ) хф] а.
Пусть й С ВЯ произвольная компактная (вообще говоря, многосвязная, .т.е., возможно, с дырками) область с гладкой границей, состоящей из конечного числа регулярных замкнутых кривых у,. Выберем на каждой кривои ц направление обхода, при котором ограниченная ц область плоскости (это, как правило, не й) обходится против часовой стрелки. Для краткости, будем говорить, что такая кривая у,, ориентирована против часовой стрелки. Кривую и с противоположной ориентацией обозначим чеРез — б ь Отметим, что й двумерное многообразие с краем. Введем на крае дй = 0;~; каноническую ориентацию.
Пусть у1 та из кривых бе которая ограничивает область, содержащую все остальные уо Легко видеть, что при канонической ориентации дй каждая кривая "д проходится в таком направлении, что область й все вреъщ остается слева. Последнее означает, что (в терминах введенных выше ориентаций кривых ~;) канонически ориентированный край дй записывается так: дй = ц 0 ( — уя) 0.... Воспользуемся общей формулой Стокса (в действительности, естественным обобщением формулы Грина на многосвязные области). Имеем = ~' ( ) ~' ( ) Г гди дин Г гди дод ~(г)дя= — ~ ~ — + — ) ахдау+~ ( ( — — — ) ахдс(у,.
оп,/п~ду дх),/п(дх ду) поэтому, если функция у(х) голоморфна, то / Г(г) Ь = / ((з) гЬ+ ~ ~/ у(з) сЬ = О, дп н ю)2 Г(х) сЬ = ~ / ((я) сЬ. с)з Таким образом, мы доказали следующее утверждение. 67 Внешние дифференциальные формы Ъ"твержденне 3.6 Пусть у(г) голоморфния функция в компактной области Й с гладким краем дй, состоящим из конечного числа замкнутых регулярных кривых уь Пусть уь - - та из кривых з о которая ограничивает область, содержащую все остальные уь Ориентируем каждую кривую б, 1 = 1,2,..., против часовой стрелки. Тогда ~ 1(г) дг = ~~, /,((г) дг.
з1 ~>г В частности, если область П односвязна, т.е. дй состоят из одной кри- вой уь, то у"(г) дг = О. "~1 Рассыогрим функцию у(г) = г", н б Б. Если п > О, то эта функция определена и голоморфна на всей комплексной плоскости С, поэтому, в силу утверждения 3.6, для вложенной регулярной замкнутой кривой 7 на комплексной плоскости С (такие кривые будем для краткости называть контурами) интеграл ) гндг равен нулю. Есчи и < О, то для любого контура 7, не охватывающего О (ограниченная контуром 1 область не содержит О), также выполняется ( г" дг = О. Если жс контур 7 охваты- 7 вает О, то для п < О интеграл ) гчде не зависит от выбора контура, если только фиксировано направление обхода, скажем, против часовой стрелки. Действительно, для любых двух так ориентированных контуров 7~ и 7г, охватывающих О, выберем третий контур 7, также охватывающий О и не пересекающийся с 7,.
Ориентируем 7 так же, как и контуры 7,. Тогда при каждом 1 = 1, 2 контуры 7; и 7 ограничивают двусвязную компактную область Пм в которой функция Т(г) голоморфна. Из утверждения 3.6 вытекает, что откуда и получаем требуемое. Пусть У стандартная единичная окружность с центром в О, а 7 произвольный контур, охватывающий О. Ориентируем у и У против часовой стрелки. Тогда 68 Внешние дифференциальные формы Явные вычисления дают ггл гг" ходя = / е'"~де'" = / ео'"д(сов р+ьв1п~р) = в1 о о сал гя сгь = / ещт( — в|п~р+ ьсовр) йр = / е'""1е''лдр = / ь'ей'тфис)р = о о ,о сзю = 1 / сов(1 + пррдр — / в1п(1+ и)рдр, о о поэтому ~ 2ка, при и = — 1, и х (Й= 1 0 в противном случае. Делая замену координат г ~-~ г — а, а Е С, для контура б охватывающего точку а, получаем ~~-)- =1 п 27Г7' при и = — 1, и 1г — а)" дг = ~0 в противном случае. Имеет место следующая теорема, которая доказывается в курсе теории функций комплексного переменного.
Теорема 3.6 (О разложении функции в ряд Лорана) Пусть й С С некоторая область, а внутренняя точка области й, и Дг) голоморфная функция в й ~ 1а). Тогда существуют такие 0 < г < В, что в кольце К = (х ~ г < ~г — а~ < В) функция ~(х) может быть представлена в виде равномерно сходящегося ряда; Д~г) = ~ с,„(х — а)", который называется рядом Лорана. В силу равномерной сходимости, ряд Лорана можно почленно интегрировать и дифференцировать.
Определение. Коэффициент с 1 ряда Лорана называется вычетом функ- ции 1" в точке а и обозначаетсл через гев, 1". Из приведенных выше результатов вытекает следующий результат. Следствие 3.4 В предположениях теоремы З.б, для любого контура у, лежащего в К, охватывающего а и ориентированного против часовой стрелки, имеем: Дг) дг = ~~ / с„(г — а)" = 2кг' гев, 1(г). т и= — со Внешние дифференциальные формы Пусть Й С С некоторая компактная односвязная область с гладкой границей, состоящей из одного контура дй = у.
Пусть аы..., а„,, некоторые внутренние (не лежащие на э) точки из й, и 1(г) — — голоморфная функция на П 1 (ам.,., а~). Как всегда, ориентируем у против часовой стрелки. Следующая теорема сводит вычисление интеграла от формы 1(л) дс по контуру у к вычислению вычетов функции У в точках аю Теорема 3.7 (О вычетах) В сделанных вылив нреднвлвлсенилх, 1 —, / у(я) сЬ = ~ ~ген„, у. 2Я1 д'т Доказательство. Окружим особые точки аь малыми окружностями Яь, лежащими внутри й, и пусть Рь открытый диск, ограниченный Яю Обозначим через й' область, полученную из й выкидыванием всех дисков Рь.
Тогда й' компактная область с гладкой границей, и 1(х) голоморфная в П' функция. Ориентировав все Яь против часовой стрелки и воспользовавшись утверждением 3.6 и следствием 3.4, получаем: Теорема доказана. 3.12 Когомологии де Рама Одна из самых сложных и часто встречающихся топологических задач дифференциальной геометрии состоит в проверке гомеоморфности двух данных многообразий. Теория когомологий де Рама, которая обсуждается в этом разделе, позволяет построить по каждому многообразию ЛХ некоторый алгебраический объект группы когомологий, который оказывается топологическим инвариантом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
