А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Более того, М является подмногообразием в У. Воспользовавшись предложением о нормальной форме субмерсии, выберем в окрестности точки Р такие координаты (Х1,...,1' "ы) на ХХ, что функция Хь запишется в них так: Хь(Х1,..., Х" '" ' ') = 1'. В частности, множество ЛХ в этом случае совпадет с множеством (Х Е Х ~ с~(Х) = О), а множество Х П ЛХ с множеством (Х Е 1У ~ Х~(Х) > О). Но последнее в точности означает, что ограничение соответствующего координатного гомеоморфизма на Х П ЛХ задает гомеоморфизм нз, К" ьн . Таким образом,.
мы определим карты во всех точках края ЛХ. Остается проверить, что все функции перехода в объединенном атласе для внутренних и краевых точек многообразия ЛХ гладкие. Это почти очевидно, и оставляется в качестве упражнения. Теорема доказана. В дальнейшем нам будет полезен следующий результат. Теорема 3.2 Если М ориентируемое многообразие с краем, то его краб дМ пюисг ориеитируем. Доказательство. Воспользуемся определением многообразия с краем через обобщенные карты. Пусть ((ХХ„, ~р„), (Ио, фд)) ориентированный атлас на многообразии М, где карты Г„гомеоморфны К", а карты Ъд --- К". Тогда атлас на крае дЛХ строится как пересечение карт гд, гомеоморфных ЛЛ", с краем дЛХ.
Обозначим через (х1з,...,хо) локальные координаты, порожденные картой Ио. Тогда пересечение И'з = 1гз О дЛХ задается условием х' = О, сама карта 1д условием х' > О, з,(хз,...,.х") локальные координаты на дМ. Нам нужно показать,что якобиан мадх„' трицы перехода от Ига к Игз положителен. Рассмотрим матрицу ( — ) дхзз перехода от И к 1'з в точке Р Е Ил О И'д. Она имеет, по условию, положительный определитель, который мы обозначим через Ь„.
Поскольку 1 дха на краю дЛХ выполнено соотношение х = О, все производные вида хи Л = 2,..., и, равны нулю. Поэтому определитель б„равен произведению дх„' ", Л„м где Ь„1 якобиан матрицы перехода от И~„к ИЗ. Остаюсь дхд Внешние дифференциальные формы дх заметить, что производная , , не отрицательна, так как в 1~ и в Гд дхд' обе функции х' и х1 положительны. Поэтому Ь„ 1 больше нуля, что и требовалось доказать. Определение. Ориентация края дЛХ ориентированного многообразия ЛХ, противоположная построенной в доказательстве теоремы 3.2, называется согласованной с ориентацией многообразия ЛХ или канонической. Замечание. Геометрически, каноническал ориентация края дЛХ ориентированного многообразия ЛХ" устроена так. Рассмотрим в точке Р края дЛХ репер ем...,е„, где векторы ег,...,е„касаются края, а вектор е~ направлен от края дЛХ "наружу" многообразия ЛХ формально последнее означает, что, если (х~,...,х") локальные координаты в окрестности краевой точки Р, в которых край дЛХ задается условием х1 = О, то вектор е1 е ТрЛХ имеет отрицательную составляющую по координате х ).
Ориентация репера еа,.,., еа согласована с ориентацией края, порожденной ориентацией многообразия ЛХ, если и только если ориентация репера еы,..,е„ согласована с ориентацией многообразия ЛХ. Пример. На рис, 1 изображена ориентация края цилиндра двух окружностей, согласованная с ориентацией цилиндра, заданной репером (еы ег), где е1 вектор, параллельный меридиану, а ея вектор, параллельный параллели, см. рис.
1. Рис. 1: Ориентация цилиндра и его края. Замечание. Край неориентируемого многообразия может быть ориентируемым многообразием. Например, край неориентируемого листа Мебиуса -- ориентируемая окружность. Поэтому продолжить ориентацию с края на многообразие можно нс всегда. 54 Внешние дифференциальные формы 3.7 Интегрирование формы по подмногообразию.
сРормула Стокса В данном разделе мы докажем основную теорему интегрального исчисления, обобщающую многочисленные формулы интегрирования, известные из математического анализа. Однако сначала нужно определить интегрирование дифференциальной формы по подмногообразию. Пусть ЛХ .-- гладкое многообразие, и я,: Ъ'ь — ь Мь .- й-мерное гладкое подмногообразие в ЛХ. Пусть на ЛХ задана внешняя форма ш степени Л с компактным носителем. Тогда интегралом от формы ш по подмногообразию 'г' называется величина Отметим, что г*(ы) — это форма степени к на к-мерном многообразии 1', поэтому интеграл в левой части определен. Форму г*(1г) иногда обозначают через ы~ь и называют ограничением формы ш на аодмногообразие 1'.
Теперь все готово для формулировки основной теоремы данного раздела. Теорема 3.3 (<формула Стокса) Пусть М гладкое п-мерное ориентированное многообразие с краем дМ, и ш Е й" 1(ЛХ) внешняя дифференциальная форма степени (и — 1) с компактньм носителем. Тогда где ориентация края дМ согласована с ориентаииеб многообразия ЛХ. Доказательство. В силу аддитивности интеграла, теорему достаточно доказать для формы, носитель которой лежит внутри одной карты (ХХ, ф многообразия ЛХ.
Более того, из тех же соображений можно предполагать, что если (х~,..., хь) -- локальные координаты карты (Г, уь), то форма ш представляет собой моном вида ш = Х(х',...,хь)Йх' Л Л Йх" ' Л Йх""' Л . л Йх". Дифференциал формы ш в этом случае имеет вид Йш = (-1)"-' Йх' Л ". Л Йх". „,аХ ах Пусть сначала Щ ~р) --- "внутренняя" карта на М, т.е. ум ХХ -+ ХГ.
Покажем, что в этом случае интеграл от Йш по П равен нулю. Действительно, 56 Внешние дифференциальные формы поэтому Осталось залиетить, что ллгя рассматривали на краю ориентацию, противоположную канонической, поэтому в канонической ориентации знак "минус" последней формуле исчезнет, что и завершает доказательство теоремы Стокса. Пример. Пусть ЛХ вЂ” . замкнутое многообразие размерности п 1т.е, компактное и без края).
Пусть ш некоторая форма степени (и — 1) на ЛХ. Тогда Действительно, по теорелле Стокса ~ дло = Хзл ш = Д ~ = О. Приведем теперь некоторые следствия теоремы Стокса. Как было отмечено выше, г1 это форма объема. ХХнтегралом от функции Г по ориентированному компактному риманову многообразию ЛХ называется интеграл Х Е в 1 = ~ *Р', т.е., в локальных координатах (хл,..., х"), интеграл 1' Е Хддхл Л .
Л Йх". В частности, если ЛХ ориентируемое компактное подмногообразие риманова многообразия И', и Е; ЛХ вЂ” > К -- функция на М, то интеграл от Е по подмногообразило ЛХ -. это Х Г /ддх~ Л .. Л дх", где д определитель матрицы индуцированной на ЛХ метрики. Отметим, что для ориентируемого компактного риманова многообразия М интеграл ~ *1 является положительным числом и называется объеглозл этого многообразия.
Пример. Пусть ЛХ с В" неособая поверхность в Ь". Тогда, напомним, на ней определена первая квадратичная форма, которая превращает ЛХ в ориентированное риманово многообразие размерности (и — Ц. Очевидно, определенный нами объем яо1„, л (ЛХ) совпадает с определенным в прошлом семестре объемом поверхности ЛХ. Замечание. Аналогично можно определить интеграл от гладкой функции по области П С ЛХ и, соответственно, объем компактной области П ориентированного риманова многообразия.
В математическом анализе определенные только что интегралы от функций называют интегралами первого рода. Эти интегралы зависят от метрики, так как при их вычислении используется форма объема подмногообразия. В отличие от таких интегралов, интегралы от обычных дифференциальных форм называют интегралами второго рода. В качестве следствий из теоремы Стокса, получим классические формулы Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского, а также формулу вычетов. 57 Внешние дифференциальные формы 3.8 Формула Грина Пусть на плоскости йа задана регулярная замкну.тая кривая у: Ььвь 5) — ь м~, ограничиваьошая область П, и пусть 7(Ь) = (х(Ь),д(Ь)) координатное представление для 7 (здесь (х, у) --- стандартные декартовы координаты на плоскости).
Более того, предположим, что при движении по кривой 7 область П остается слева, т.е, ориентация кривой 7 такова, что репер (дь,ф) имеет положительную ориентацию (по отношению к стандартной ориентации плоскости). Здесь 7ь' — поле внешних нормалей к области П вдоль ее границы, т.е, вдоль кривой д, а ч -- вектор скорости кривой у. Х Рис. рл Формула Грина. Пусть Р(х, у) и О(х, д) .
"гладкие функции, определенные на замыкании области сь. Обозначим через Х = (Р, ьг) соответствующее векторное поле. Тогда определен интеграл Р(х,у)дх+ ®х,у)ду = ь ь = / ~Р(хСь),д(Ь)) хЬь) + Я(х(Ь),у(Ь)) д(Ь)1 Ф, = / (Х,7) аь, а а называемый циркуляцией векторного полл Х вдоль кривой 7. Классическал формульь Грина утверждает, что Покажем, что эта формула является следствием теоремы Стокса. Действительно, будем рассматривать область П как многообразие с краем, ориентированное с помощью стандартной ориентации плоскости: в каждоьи касательном пространстве ориентация задана стандартным репером (ем еа). Тогда 2 - зто край ВП многообразия сь. Каноническая ориентация края д .- - зто выбор того из двух направлений касательных к 7 векторов и, при котором (Х, и) положительно ориентированный репер на плоскости, где 58 Внешние дифференциальные формы >>> внешняя нормаль к Г>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
