А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 6
Текст из файла (страница 6)
«Ель Нам будут полезна следующая очевидная лемма. Лемма 2.14 Операции альтврнарованил и симмгтрированил линейны: А(о, Т,+ огТх) = опА(Т) + огА(Тз) а о(хТ, + охТг) = о1о(Т) + охК[Тх). Тензор Т типа (О, в) называется симметричным, если для любой перестановки и Е Кв имеет место равенство Т = «Т. Тензор Т типа (О, в) называется квсосимметричным, если для любой перестановки о Е Яа имеет место соотношение Т = ( — 1) Т.
Имеет место следующий результат. Лемма 2.15 Пусть Т .. произвольный танзер. Тогда тензор Б(Т) симметричен, а тгнзор .4(Т) антисимметрачен. Симметрирввание нв мвнлвт симметричных твнзарвв, и обращает в нуль любой квсвсимметричный тпензвр.
Аналогично, альтврнирвванив не. ,не лет квсосимметричных тензвров, и обращает любой симметричнь1й тензвр в нуль. Общее определение тензора 28 Доказательство. Докажем, например, последнее утверждение. Если Т симметричный тензор, то А(т) = —, ~ '(-1) т= —,( ~ 1+ ~ -1) =0, аале четная нечетная так как четных перестановок столько же, сколько нечетных, что и требо- валось. Остальные утверждения доказываются аналогично. Ясно, что линейная комбинация симметричных 1кососимметричных) тензоров представляет собой симметричный 1соответственно, кососимметричный) тензор. Поэтому множество всех симметричных 1кососимметричных) тензоров представляет собой линейное подпространство в пространстве всех тензоров данного типа. Упражнение. Верно ли, что любой тензор типа 10, д) может быть представлен в виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров типа 10ад)? Упражнение.
Найти размерности пространств симметричных и кососим- метричных тензоров типа 10, д). Замечание. Мы определили операциях симметрирования и альтернирования длл тензоров типа 10, д), хотя их можно аналогично определить и для тензоров типа 1р, О), а также и для тензоров произволыюго типа, проводя симметрирование или альтернирование по индексам одного типа. Замечание. В линейной алгебре часто шла речь о симметричных или кососимметричных линейных операторах.
Однако, поскольку как мы уже знаем, линейный оператор этот тензор типа 11, 1), понятие симметричности или кососимметричности для него неопределено. Чтобы получить аналог определение из линойной алгебры, следует фиксировать невырожденный тензор А типа 10,2). Тогда, если 1, — линейный оператор, то опустив сначала его индекс с помощьк> тензора А, можно говорить о его симметричности или кососимметричности в естественном, т.е. тензорном, смысле.
В линейной алгебре в качестве тензора А берут обычно евклидов метрический тензор,который, напомним, определяется тем,что в декартовых координатах его компоненты совпадают с символами Кронскера. Вообще, если фиксирована произвольная риманова метрика д;, то симметричность линейного оператора Т относительно этого невырожденного тензора типа 10, 2) эквивалентна, как легко проверить, следующему соотношению, выполненному для произвольных векторов 1г и Ит: (ТА1),И) =(1,г(И)), где (з ) — скалярное произведение, соответствующее римановой метрике деу Общее определение тензора 29 Упражнение.
Записать критерий кососимметричности линейного оператора относительно римановой метрики д, в терминах соответствующего скалярного произведения. Упражнение. Представить операцию взятия определителя линейного оператора в виде результата последовательного применения тензорных операций. 2.4.7 чХастнчное альтернирование. В дальнейшем нам также понадобится следующее обобщение понятия альтернирования. Пусть Т, как и выше, тензор типа (О,д), и предположим, что фиксировано некоторое подмножество Г группы перестановок оц (подчеркнем, что Г вовсе не обязано быть подгруппой). Тогда частичной альтернацией тпензора Т по Г называется тензор Ац(Т) следующего вида Ап(Т) = — ~~~ ( 1) цТ 1 )Г( где через ~Ц обозначено количество злементов множества Г. Имеет лцесто следующий полезный для нас факт. Лемма 2.16 Пусть Т - тензор типа (О,д)„и à — подмножество группы перестановок Яц.
Тогда А(Ап(Т)) = А(Т), т.е. альтернаи л "сьедает" любую частичную альтернаиию. Доказательство. Действительно, А(Ао(Т)) = А( — ~( — 1)' Т). ~Ч.„, В силу линейности альтернации, перепишем правую часть в виде —, ~(-1) А~.Т) = —, ~ ~ —,(-1) ~-1),(.Т). Обозначим композицию от через к.
Отметим, что для каждой фиксированной перестановки и, если т пробегает всю группу Яц, то и произведение от тоже пробегает о . В силу леммы 2.3, получим: — ~ —, ~ ~ ~-1)..Т) = — С ' А(т) = А(Т). Лемма доказана. 30 Внешние дифференциальные формы Сформулируем полезное слодствис. Следствие 2.1 Пусть Т и е„> —. произвольные тензоры типа (О,у) и (О,и) соответственно. Тоеда л(л(т) я О) = л(т в д). 3 Внешние дифференциальные формы на многообразии В данном разделе мы более подробно изучим кососимметрические тензорные поля типа (О, у).
Оказывается, для таких тензорных полей можно построить содержательную теорию дифференцирования и интегрирования. Сам термин "дифференциальные формы" объясняется естественной записью этих тензоров в локальных координатах в дифференциальном виде (напомниьц что каждым локальным координатам соответствует канонический базис (с7с'). пространства Т*Л1). 3.1 Пространство кососимметричных тензоров Напомним, что тензор Т типа (О, у) называется кососииметрическим, если для произваяьной перестановки о е Яв выполнено соотношение Т = ( — Ц Т. На языке полилинейных отображений это означает, что для любых векторов Ъ'|,...,'г' и лк>бой перестановки о справедливо равенство т~у„...,~;) = (-1) т~т.,ц,...,~:.„,).
Отсюда немедленно вытекает, что если пара аргументов совпадает, т.е. 1; = г;ч г ~ у, то значение отображения Т равно нулю. Если фиксирована локальная система координат, то, как мы тоже уже знаем, условие кососимметричности тензора Т эквивалентно косой симметрии компонент тензора Т: т ">д = ~-1)'Т>. °" ., В частности, любая компонента тензора Т с парой совпадающих индексов равна нулю. Приведем несколько примеров. ПРимеР. ПРоизвольный ковектоР С Е тгМ пРеДставлЯет собой кососимметрический тензор (нетривиальных перестановок множества из одного элемента нет).
Пример. Тензор Т типа (0,2) является кососимметрическим, если в любой системе локальных координат соответствующая матрица кососиммет|>инна; ТО = — т>ь 31 Внешние дифференциальные формы Напомним, что множес гво всех кососиммстрических тензоров типа (О, с1) образует линейное пространство. Найдем размерность этого пространства. Пусть фиксированы локальные координаты (х~,...,хо). Для каждого набора натуральных чисел (21,...,12), где 1 < 21 « ... 12 < и определим кососимметричное полилинейное отображение, которое обозначим через дх" Л ..
Л йхсг, положив 11 12 гг 1 .. 1 11 г гг ьа дхн Л .. Л дх" (1'1,....,Ъд) = деС Ю11 игг ц г ч ч '' 'ч где 1', = (и~,...,о,"). В правой части стоит определитель матрицы, к-ая стРока котоРой состоит из кооРДинат вектоРа гсь с номеРами 11,...,1ч. Так как определитель кососимметричная полилинейная функция строк, определенное нами отображение дейсгтвитеяьно полилинейно и кососимметрично.
Замечание. Отметимг что определение тензора дхп Л Л дхг можно переписать в виде бхай ()г ) дхг2 (р ) с1112(~ ) дх" Л . Лдх" (Ъ'~,..., гс ) = суес дхгг су.с ) дхгг с)х ) дхсг суг ) В такой форме это определение легко обобщается на случай произвольного набора ковекторов,не обязательно базисных. В частности, очевидно,что если о > п, то функпии дх" Л .. Л дхс всегда равны нулю (в определителе будут одинаковые столбцы). Предложение 3.1 Система кососимметрических тензорое дхн Л . Л дхс °, еде 1 < 11 « .. 12 < п, образует б эис е пространстве косо- симметричных тензорое типа (О, 11).
Доказательство. Пу.сть Т произвольный кососимметрический тензор типа (О, 11). Покажем, что он может быть представлен в виде Т,, дхн Л.. Лдх". 1<11«" г <и Для этого вычислим значение правой и левой части на произвольном наборе баЗИСНЫХ ВЕКтОрОВ (Вч-г,...,'дч-г ). В ЛЕВОЙ ЧаСтИ, ОЧЕВИДНО, ПОЛУЧИМ: Т(В,„...,В2-,) = Т...,. Чтобы вычислить правую часть, докажем следующую лемму. 32 Внешние дифференциальные формы Лемма 3.1 Справедливо следующее равенство: дхп Л ..
Лйх" = ~ ( — 1) дх11цо 8 . 8 ахен 1 ива~ Доказательство. Действительно, по определению, м д П(1, ) ~ м(1г) д, 1 (1, ) йхп л . лдхм®,...,ев) = с1еь дхц(1~ ) дхм(1с ) дхм(1~ ) — ~ ( 1)' дх1 о1(1" )...11х~ м1(и ) ее~ ( — 1) дх' о1З. Здх"1м(ры...,ув), что и требовалось.
В силу леммы 3.1, вычисляя значение правой части выражения (*) на наборе векторов (ди-,, .,д,,), получим: Е ' - ."" ' "*"('- '*- ) 1<п(" (~, <и Т„...й 2,(-1) дх'1'1 З "Одх'мю(д.-„...,д.-,) 1(и<' '(М(и геЯ~ Тп 1 ~ ( — 1) б;о' .д;,м1. 1(~~ (..<Ь (и Однако, выражение дыо1 31-И) вч отлично от нУлЯ (и Равно единице) в том и только том слрчае, если 1 ~ь~ = аь для всех и = 1,..., д.
Чтобы это бь1ло выполнено, необходимо чтобы наборы (11,...,1в) и (а1,..., ав) совпадали как множества. Последние возможно, только если все индексы а1. ржзличны. Если все аь различны, то среди всех упорядоченных наборов (11,...,11) имеется ровно один, совпадающий как множество с набором (а1,....,ов). Поэтому, в этом случае, имеем: Тп мдхп Л ..Лдхм(дл-,.,.,д,,) =Т1...( — 1)'.
1<и<" «,<и Однако, в силу косой симметрии тензора Т и равенств 1 ~1~ = ою можно записать следующее Т ь..ид — Т1 оь.л 1м — ( 1) Тп...м 33 Внешние дифференциальные формы Поэтому окончательно: ТО; 11х" Л. Лй,гг(дх г,... гд,-г) =Т, 1<г~ < "<ге <и Осталось залеетить, что если среди индексов о1 есть совпадающие, то, в силу косой симметрии тензора Т, снова получаем Тгг г 11х Л'''Л11х~11дх г ... дх г) ха О:Та н 1<гг « — ге <и Формула (х) доказана. Для завершения доказательства предложения осталось проверить, что тензоры г1х1г Л .. Л гХх1 линейно независимы. Однако из определения этих полилинейных отображений вытекает, что на каждом из наборов (д,.г..дх.г), ГдЕ 1 < О1 « . О < Пч РОВНО ОДНО таКОЕ Отабражение отлично от нуля (а именно, гХх~г Л Л Дх г), откуда и вытекает нетривиальность произвольной их линейной комбинации. Доказательство закончено.
Пространство кососимметрических тензоров типа (О,у) на пространстве ТрМ обычно обозначают через Ал (ТрМ). Следствие 3.1 Если д < и, то размерность пространства Ае(ТрЛХ) кососимметричных тензоров 1пипа (О, гХ) на касапаельном прос1пранстве к и; мерному многообразию ЛХ равна биномиальному 1коэффициенту С~. Если у ) и, то размерность Ае1ТрЛХ) равна нулю. Пример. Рассмотрим пространство А" (ТрЛХ) кососимметрических тензоров типа (О,п), где п -- размерность многообразия ЛХ. В силу следствия 3.1, это пространство одномерно. Пусть Т - - произвольный тензор из А" (ТрЛХ). Из предложения 3.1 вытекает, что в произвольных локальных координатах (х1,...,х") он представиьг в виде Т = Т, нгХх Л ..
Л ггх". Изучим, как меняется компонента Т, н при замене координат. Пусть (х',...,хн ) -- еще одна система локальных координат в окрестности точки Р. Тогда, применяя тензорный закон, получаем дхи дх1" Т, н = и",Те..и= ~ + ~' нее г различны не аее г различны где вторая сумма равна нулю в силу косой симметрии тензора Т. Далее, если набор индексов (11г...,1„) состоит из попарно различных чисел, то его можно воспринимать как результат применения некоторой однозначно Внешние дифференциальные формы определенной перестановки и е 5„. Поэтому, продолжая равенство, запи- шем , Т Д, ло1 В, абб В с ''' о,«о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
