А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда, как легко проверить, компоненты линейного функционала» относительно разных систем координат связаны по уже знакомой нам формуле для компонент дифференциала; дх1 » =~д е». ~=1 Простейшие примеры тензоров В матричном виде эта формула записывается в виде С = (У ) ~, где Х , т дх' матрица Якоби (, ) замены координат, а С и ~' .-- столбцы из соответдх' ствук>щих компонент функционала. Отметим, что иногда эту же формулу записывают в виде с' = со ", обозначая через ~' и с строки из компонент функционала.
В тензорном анализе линейные функционалы называются ковекпюрами, а закон преобразования координат линейного функционала, т.е. ковектора, называется тензорнь м законом ареобр зованил координат ковектора. Таким образом, дифференциал функции является ковектором, и его координаты меняются по ковекторному закону. 1.3 Линейный оператор Пусть снова ЛХ гладкое и-мерное многообразие, Р некоторая точка из ЛХ, и пусть Р: ЛХ вЂ” > М . - гладкое отображение многообразия ЛХ в себя, причем Р(Р) = Р, т.с. Р неподвижная точка отображения Р. Тогда, как мы уже знаем, определено линейное отображение дР~р.
ТрМ -+ ТрМ касательного пространства ТрМ в себя — дифференциал гладкого отображения Р в точке Р. Если на многообразии в окрестности точки Р заданы локальные координаты (х',..., х"), то, напомним, линейное отображение аР~р задается матрицей где х' = Х'(х',...,хи), 1 = 1,...,п., координатное представление отображения Р в координатах (х~,..., х"). Пусть теперь на многообразии ЛХ в окрестности точки Р заданы еще одни локальные координаты (х',..., хв ). Тогда, естественно, линейное отображение НЕ~ р задается в этих новых координатах уже другой матрицей, элементы которой связаны с элементами матрицы (*) так: дХ* " " дУ'дх* дх' дхт -ЕЕд,о дтпл дх, ~=1 1=1 где х' = Х' (х',..., х" ) координатное представление отображения Г в координатах (х',...,х" ). Действительно, координатное представление отображения Р в координатах (х1,..., х" ) можно записать в виде "' = "'(Х'("~.Р ."') ."~"': .")): ,Х" ( '~ '.....")..."(*',",х"'))): поэтому остается воспользоваться теоремой о дифференцировании слож- ной функции.
Простейшие. примеры тензоров откуда, умножив на обратную матрицу, получаем окончатеяьно: о дт" дтв д .а' дид ю ад=1 Эти формулы называются тензорным законом преобразования компонент линейного оператора. 1.4 Билинейная форма Приведем еше один пример. Пусть снова ЛХ гладкое и-мерное многообразие, и ТрМ касательное пространство к ЛХ в некоторой точке Р Е ЛХ. Рассмотрим на ТрМ билинейную форму В, т.е. отображение В: ТрЛХ х ТрЛХ вЂ” > 2~, линейное по каждому аргументу. Из линейной алгебры хорошо известно, что если в линейном пространстве фиксирован базис, то билинейная форма однозначно задается своими значениями на всевозможных парах базисных векторов. Эти значения образуют матрицу билинейной формы. дЕйСтВИтЕЛЬНО, ЕСЛИ (И1,...,ти) -- ЛОКаЛЬНЫЕ КООрдниатЫ В ОКрЕСтНОСТИ ТОЧКИ Р, .а И = (и1,...,ип) И И1 = (т1,...,Шп) —.
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ векторы из ТрМ, заданные своими координатами, то и п п В(1",И') = В(~и д,, ~тдд,л) = ~ В(да,да~)и~и~, а=1 рп~ а,13= ~ т.е, положив Ь д = ВЯ, д л), получаем: и В(Ь;И1) = ~ Ь.ви ид. а„3=1 Числа Ьао называются компонентами билинейной формы В в координатах ( 1,п) Есди теперь в окрестности точки Р заданы другие локальные координаты (т",..., тп ), то компоненты Ь о = В(д,, д а ) билинейной формы В в этих координатах могут быть вычислены через компоненты Ьрд формы В в координатах (х~,...,тп) так: и и Ьав = В(д...д,а ) =В(~~ д,ю ~~ д,и) и=1 д=1 дт ди' — В(д„, да,), дтр дид р,д=.1 Общее определение тензора т.е.
окончательно; дх" дхо ыщ= х д„до лг гл=л Этот закон преобразования называется тензорным законом преобр зоваиил компонент билинейной формы. Ясно, что этот закон отличается от правила преобразованил компонент линейного оператора. Отметим, что нам уже встречался пример билинейных форм, заданных на гладких многообразиях: это риманова метрика. Упражнение. Пусть на двойственном пространстве ТрМ к касательному пространству, т.е. на пространстве линейных функционалов на ТрИ', задана билинейная форма В: Т;М х Т,'",М вЂ” ~ ?ял, Очевидно, если фиксированы локальные координаты (х',..., хо), то форма В однозначно определяется своилли значениями на всевозможных парах ковекторов из канонического базиса (л?х'), . Эти значения называются компонентами формы л=1 В в координатах (хл,...,х").
Вывести закон преобразования компонент формы В при замене координат. Совпадает ли он с законом преобразования компонент билинейной форллы на ТгМ? С законом преобразования компонент линейного оператора? 2 Общее определение цензора В предыдущем разделе мы напомнили определения хорошо известных из линейной алгебры и геометрии объектов: векторов, ковекторов, линейных операторов и билинейных форм.
Все эти объекты, на самом деле, инвариантны, т.е. не зависят от выбора локальных координат (скажелц если оператор А переводит вектор Ъ' в вектор И, то он это делает в не зависимости от выбора локаяьных координат; оператор "объективен", а координаты "субъективны"; оператор "не знает" в каких координатах мы записываем его ллатрицу). Координатное представление (коллпоненты) каждого из указанных объектов при замене координат лленяется, но меняется по строго определенному правилу — по тензорному закону.
Тензоры на линейном пространстве ТрМ, которые мы сейчас определим, являются естественным обобщениелл всех этих понятий. Мы дадим здесь два определения тензора, одно из которых координатное, а другое инвариантное. 2.1 Координатное определение тензора Данное в этом пункте определение особенно полезно прн конкретных вы- числениях. Определение.
Тензором типа (р, й) раиса р+ д в касательном пространстве ТрМ называется соответствие Т, сопоставляющее каждой локальной Общее определение тензора 10 системе координат (х~,..., х') набор из пеев чисел Т ' "' ", где все верхние и нижние индексы независимо принимают значения от 1 до п. Числа Т ' "" .Й называются координатами или компвнекчпами твнзвра Т в локальных координатах (х',...,х").
При этом, если (х1,...,х" ) другая локальная система координат в окрестности точки Р, то компоненты Т,' .; тензора з3 ''оя Т в этой новой системе координат связаны с его компонентами в старой системе координат по следующему правилу, называемому тенэврным законом: Наконец, если на гладком многообразии Л1 задано отображение 'Х, ставящее в соответствие каждой точке Р многообразия некоторый тензор Т = 'Х(Р) типа (р, д), причем, в каждой локальной системе координат, компоненты тензора Т являются гладкими функциями точки Р, то говорят, что на многообразии ЛХ задано (гладкое) тензорное поле Т типа (р, д). Удобно считать произвольную константу тензором типа (О, 0), а произвольную гладкую функцию тенэорным полем типа (0,0).
Тензор (тензорное поле) типа (О, 0) принято называть скалярам (соответственно, полем скаллров). Очевидно, вектор является тензором типа (1,0) ранга 1,ковектор тензором типа (0,1) ранга 1,линейный оператор тензором типа (1,1) ранга '2, а билинейная форма тензором типа (0,2) ранга 2. Несколько позднее мы построим еще несколько важных примеров тензоров, а сейчас, прежде чем давать второе, инвариантное определение тензора, мы примем важное соглашение. Формула, выражающая тензорный закон, очень громоздка.
Она содержит р+ в знаков суммирования. Чтобы немного сократить записи тензорных вычислений, в тензорном анализе принято опускать знак суммирования, если вно ведется пв паре повторяющихся переменных индексов, один иэ которых верхний, а другой нижний. Отметим, что все сулимы, входящие в запись тензорного закона, именно такие. например, индекс дхч суммирования 1ь в правой части первый раз появляется в выражении дх" в котором является нижним (стоит в знаменателе), а второй раз †. в выражении Т '"",, где является верхним. Таким образом, в силу принятого соглашения, тензорный закон записывается в более компактной форме так: дх' дх' дх" дх' и,л„ дх'1 дх" дхз) дхз'.
Общее определение тензора о"пражнеиие. Пусть задан тензор Т типа (1,2). Найти его координату Тг,з, в локальных кооРдинатах (хГ,..., ха ), если даны все его кооРдинаты Т'. в локальных координглах (х',...,х"). Решение Н. а всякий случай, приведем ответ к этой очень популярной на экзаменах задаче; а'а. оь, по индексам 1„1 и Й подразумевается суммирование.
Замечание. Так как все системы координат равноправны, тенэорный за- кон может быть записан и в следующем, эквивалентном виде: П ''А алй) аХЕр аХЬ отав 3) ''О1 Мы определили тензор в ТрМ как некоторое соответствие, сопоставляющее каждым локальным координатам в окрестности точки Р наборы чисел,; связанные между собой по тензорному закону. Возникает естественный вопрос: как задавать такие соответствия, т.е. тензорыу Неу.жели, нужно задавать наборы чисел для всех систем координат? Ответ на этот вопрос дает следующая простая лемма. Лемма 2.1 Пусть (х',...,хь) —.— произвольные локальные координаты в окрестности точки Р многообразия М размерноспьи и. Сопоставим им произвольный набор (Т" "' ') из пгье чисел.
Любой другой системе коори" А ...г„ динат (х1,...,т" ) поставим в соответствие набор чисел (Т.,'"',"), выи ''о1 Вь..ы численный по числам Т '"" и матрице Якоби замены координат по тена" .7ц верному закону, т,.е. А' а:сп ах' ахА ахз~ Построенное соответствие задает тензор в ТрМ. Таким образом, чтобы задолпь тензор типа (р,д) в пространстве ТрМ достаточно задать его компоненты в какой-нибудь одной системе координат„а во всех остальных системах координат пересчитать компоненты по тензорному закону. Доказательство.
Для доказательства леммы достаточно проверить, что если ах' ах' ах" ахз ах' ах" аху ахв) '1ч-Б = а * '" О * а г? " ' ахур Общее определение тенг ора 12 вычисленные нами наборы чисел, которые мы хотим сопоставить координатам (т',...,ин ) и (тп,...,ин ) соответственно, то они связаны между собой по тензорному закону, т.е. Ь' Ои' Ол?1 Ы Последнее равенство получается прямым подсчетом из формул (*) и (вв). Лемма доказана. Упражнение.
Назовем тензор инвариантным, если его компоненты не меняются ни при каких заменах координат. Доказать, что набор а~ символов Кронекера задает инвариантный тензор типа (1, 1). Однако, казалось бы, тот же самый набор дп задает уже не инвариантный тензор типа (О, 2). Упражнение. Описать все инвариантные тензоры типа (1, 1), (1, 2), (2, 1) и (2, 2). Существуют ли инвариантные тензоры типа (р, .а), если р у'. -а? 2.2 Инвариантное определение тензора Определения тензора, которое мы приведем в данном разделе, имеет то преимущество, что в нем не участвуют локальные координаты, или, как говорят, оно инвариантно. Итак, пусть Л| гладкое а-мерное многообразие, Р произвольная его точка, ТрМ касательное пространство в точке Р к многообразию ЛХ, и ТрМ вЂ” двойственное к Тр Ъ| пространство линейных функционалов (испекторов).
Определение. Тензаром Т п~ипа (р,д) ранга р+ а в пространстве ТрМ называется полияинейное (т.е. линейное по каждому аргументу) отображение Т: ТрМ х .. х ТрЛ| х ТрМ х .. х ТрМ вЂ” > й~. р раэ а раз Предложение 2.1 Координатное и инвариантное определения саензара энвивалещнны. Доказательство. Пусть задано полилинейное отображение Т прямого произведения р экземпляров двойственного пространства ТрЛ| и а экземпляров пространства ТрМ в вещественные числа.
Предположим, что фиксирована система локальных координат ~л~,..., т") в окрестности точки Р, и пусть, как обычно, 1д. ) и (Нлв) канонические взаимно двойственные базисы в ТрМ и ТрЛ| соответственно. Общее определение тенэора (ах",..., Нх'г:, д,„,..., де„) . Доказательство. Действительно, пусть С~,..., Се произвольные ковекторы из Т*М, а г'ы..., К, —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
