А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 3
Текст из файла (страница 3)
произвольные векторы из ТрЛ1. Обозначим компоненты вектора 1'; в каноническом базисе (д,,) через (ог,..., он), а компоненты ковектора С' в каноническом базисе (Яхг) через ф,..., (,„'). Тогда, в силу полилинейности отображения Т имеем: Т(~',... г~е;Ъы...,1'ч) = ТЯ,',бх",...,(," бх";о",дл„,...,фдл„) = Поэтому, зная значения полилинейного отображения Т на базисных векторах и ковекторахг мы однозначно восстановим его на любых других, и наоборот, чтобы задать полилинейное отображение, достаточно задать его значения на комбинапиях элементов канонических базисов.
Лемма доказана. Итак, обозначив значение Т(бх",..., бх'г; д,„,..., д „) полилинейного отображения через Т '""', мы однозначно определим по полилинейному отображению Т соответствие Т, сопоставляющее локальным координатам (х',...,х") набор чисел Т '"' '. Проверим, что соответствие Т действиэг ог' тельно определяет тензор в смысле координатного определения. Для этого нужно убедиться, что наборы чисел, сопоставляемые соответствием Т разным локальным координатам, связаны по тензорному закону.
Проверим это. Пусть (х~,..., хо) и (х~,..., та ) две системы локальных координат. Наше соответствие Т, которое мы построили по полилинейному отображению, устроено так: Т: (х',,..,хо) г-у Т,,'"',; =Т(бхйг,...,бх'г:д,,...,д, ) Чтобы найти связь между числами Т " и Т., "',, воспользуемся связью гг ..г„'1".гг гг "бг .~,'" уг' ' между элементами канонических базисов в ТрЛХ и Т~М: дх' г д*' д г д,,= .,д... Лемма 2.2 Если (хгг...,х") локальные координаты, то нолилинейное опгобралсение Т однозначно задается своими значениями на всевоэмоакных комбинац лх элементов канонических базисов вида Общее определение тензора 14 Получим: д, "''дх« 'д'' дх' дх' дх" дх" ., Т(»4х»», дхч» дх»р д .1» д дхч» дх' дх" дх'« , Т '"',".
дх' дх' дх«» дх'ч дх«ч д ' "") , д,ч » дх»»» ' ' ' » дч»ч ) Т(дх",..., Нхчч:д,„,..., дк„) = Т,*,'"",". Для завершения доказательства остается убедиться, что определенное нами полилинейное отображение Т определено корректно, т.с.не зависит от локальной системы координат (х~,..., х"), фигурирующей в определении Т. Проверим зто. Пусть (х',..., т," ) другая система локальных координат. Тогда соотношения определяют, вообще говоря, другое полилинейное отображение Я. Вычи- сяим значение отображения Т на канонических базисных векторах штри- кованной системы координат.
Получим: дх" дх»ч дхз» дхзч дх" дх'ч дхз» дхеч дх' дх'ч дх»п дх" —,Т"." = дхч» дх'ч дтА' дх" Это и есть тензорный закон. Таким образом, наше соответствие Т действительно задает тензор, и мы показали, что по каждому полилинейному отображению Т однозначно строится тензор в смысле координатного определения. Обратно, пусть задан тензор Т в смысле координатного определения, и пусть снова фиксированы локальные координаты (х~,..., х.").
Тогда, в схшу леммы 2.2, по набору координат Т" "'" тензора Т, можно однозначно определить полилинейное отображение Т, положив Общее определение тензора 15 что и означает совпадение полилинейных отображений Т и Я. Таким образом, по каждому тензору в смысле координатного определения, мы построили корректно определенное полилинейное отображение. Предложение доказано. Упражнение. Каким полилинейным отображениям соответствуют вектор, ковектор и линейный оператор? Выпишите явные формулы в локальных координатах.
Упражнение. Показать, что операция взятия смешанного произведения в 1д~ является тензором типа (О, 3) и найти его компоненты в стандартных декартовых координатах. Замечание. Каждое полилинейное векторзначное отображение А: (ТрМ) — > ТрМ однозначно определлет тензор типа (1,д). Действительно, определим отображение Тл: ТрМ х (ТрМ) -+ лд1, положив для любых векторов 1~ы ...,11„ и произвольного ковектора С Тл: (~, 1'ы..., 1'д ) е+ С (АЯ,..., 1',) ) . Очевидно, Тд . полилинейное отображение, т.е.
тензор типа (1, д). Обратно, если Т -- тензор типа (1, д), то определено отображение Ат. (ТрМ) — > ТрМ, устроенное так: ~(Ат(1), 11д)): Т(~ 1) ... Ъд) для произвольного ковектора С и векторов ~ды ...,'дв. 2.3 Линейное пространство тензоров Рассмотрим множество 'Хр всех тензоров фиксированного типа (р, д) в касательном пространстве Трй1 в точке Р к многообразию М. Поскольку линейная комбинация полилинейных отображений, очевидно, тоже является полилинейным отображением, множество 7" образует линейное пространство. ъ1тобы определить размерность этого пространства, предъявим естественный базис в нем.
А именно, пусть фиксированы локальные координаты (х',..., хв). Определим полилинейные отображения д,, З .. З д, „З с?хй З З Йхд': (ТрМ)~ х (ТрМ) — д Рд~, положив для любых ковекторов С~,..., С" и векторов Гы..., 1:д д,, З. ° . Зд,.„Здх" З .. Здх" (С',...,С";Ъы...,Ъ~) д,,(с') ..д, „(Яйх." Я) . 6х" (1',). Общее определение тензора 16 Другими словами, д,, З . З д,,„З бхп З З бх" (с)х"',..., 4х""; д,м,..., д,л,) 1, 1ь=оь, й=1, .р; А=А )=1; рб О, во всех остальных случаях. В силу леммы '2.2, каждое полилинейное отображение Т ьюжно представить в виде Т = Т' "'д ., З .. З д~,, З бхп З .. З бхз", где Т,*.' "',,*." = Т (бх",..., дх''', д.„,..., д,„) .
При этом, линейная комбинация Е=Л,"'"',"дьп З. Здхв Збх" З .ЗсЬ' не равна нулю, если хотя бы один коэффициент, скажем Л '", отличен о1 ° — хр о1" е,' от нуля. Действительно, достаточно вычислить значение полилинейного отображения В на наборе векторов которое будет, очевидно, равно Л ' "' " и, поэтому, отлично от нуля.
Итак, о1 мы показали, что полилинейные отображения д,, З .. З да*, З бхп З .. З с1х", где все индексы 1ь и и пробегают независимо всевозможные значения от 1 до п, образуют базис в пространстве '7". Таким образом, мы доказали следующее полезное предложение. Предложение 2.2 Множество Я всех тснзоров типа (р, о) образует линейное пространство размерности и"чл.
Если фиксированы локальныс координаты (х1,...,х"), то в качестве базиса в пространстве 'Х" можно выбрать полилинейные отображения где все индексы 1в и и пробегают независимо всевозможные значснил от 1 до и. Этот базис называстсл каноническим. Отметим, что если (х~,...,х") и (х~,...,х" ) две системы координат в окрестности точки Р, то в пространстве 'Х" тенэоров типа (р, й) в точке Р возникает два канонических базиса д,„З ..Зд... Злу'З .
ЗсЫ', и, д, З ..Зд, Збх~' З. -ЗЙхз~, Общее определение тенэора 17 которые связаны между собой, как несложно проверить, следующим обра- зом: д. З. Зд, Зйхд' З..Зе7хд~ ,б в*' дх" дх" дх' дх'~ д, З .Зд~*, З<хп З . Захд'. дх" дх"~ дхп дхд 2.4 Алгебраические операции над гензорами В данном разделе мы определим несколько операций, позволяющих конструировать новые тензоры из уже имеющихся. Такие операции обычно называются тенэорными. Для простоты, мы будем вести речь о тензорах в фиксированной точке многообразия, но все определяемые ниже операции естественно переносятся и на тензорные поля. 2.4.1 Линейная комбинации. Пусть имеется два тензора Р и Т одинакового типа (р, й).
Тогда для любых двух чисел Л и р определен новый тензор 5 = ЛР+ рТ того же типа, называемый линейной комбинацией тенэоров Р и Т с коэффициентами Л и р. Здесь сложение и умножение на числа происходит в линейном пространстве 'Хя тензоров типа (р, о), поэтому я — действительно тензор типа (р, 7). Если фиксированы локальные координаты (х',..., хв), то, очевидно, компоненты тензора Я выражаются через компонент тензоров Р и Т так: Я," "" = ЛР""" + дТ" ',". д ...м = д ...д, р д ...э, . Замечание. Отметим, что если мы работаем с тензорными полями, то в качестве коэффициентов в линейной комбинации выступают гладкие функции на многообразии. 2.4.2 Перестановка индексов одного типа. Пусть задан тензор Т типа (р,й), и предположим, что задана некоторая перестановка о е 5д множества из о элементов.
Построим новый тензор вТ, который определяется так: длл любых ковекторов ~1,..., ~Я и векторов у'ы..., 'д' положим т.е. мы переставили векторные аргументы полилинейного отображения Т с помощью перестановки о. Очевидно,,Т вЂ” полилинейное отображение, т.е. мы действительно определили некоторый новый тензор Т. Говорят, что тензор Т получен из тензора Т перестановкой и нижних иноексов.
Нам будет полезна следующая лемма. Общее определение тензора 18 Лемма 2.3 Пусть и и г две перестановка из Яю Тогда,( Т) =,Т. Доказательство. Действительно, для произвольных векторов еы..., 'г' имеем: , (.Т) (Р„..., У,) = .Т(1 „(ы,..., ~;„,) = Т~1г,ц,..., т.,рд) = ,Т)Р(,..., И ). Лемма доказана. Пусть (х',...,х") локальная система координат, и Т ' "' координаты тензора Т относительно (х~,..., х"). Найдем координаты тензора Т, для чего вычислим его значение на произвольной комбинации базисных векторов. Получим: ,Т'(дхп,...,дх(', д (,,...,де„) Т(дх",...,дх'»;д,.(о,...,дя..„,) =Т,""", Итак, доказана следующая лемма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
