А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Лемма 2.4 Если тензор Т получен из тензора Т перестановкой т нижних индексов, то координаты тензора Т в локальных координатах (х(,..., х") выражаютсл так( Т""'" = Т""" Ь" А ыо(" 1-(о ' где Т""'" координаеаы тензора Т в (х~,...,х"). 11 "о, Замечание. Отметим, что перестановка меняет местами расположение индексов а не их значения. Например, если о = (1,2,3) циклическая перестановка, т.е. (о(1), а(2), о(3)) = (2, 3, 1) то, скажем аТ789 = ТВУ7, и вообще Ту и и 2зюьн ' Аналогично определяетгл перестановка верхних индексов: если Т тензор типа (р,д),и я --.произвольная перестановка из Яю то тензор Т опредеяяется так: для любых ковекторов с(,...,ео и векторов Ъ(,...,'ее положим е Т Ц(,..., 4', Ъ(,..., 1:,) = Т(Г((),..., С(е); Р(,..., У;). Говорят, что тензор Т получен из тензора Т перестановкой к верхних индексов.
Имеет место следующее утверждение. Общее определение тензора Лемма 2.5 Если тензор Т получен из п(ензора Т перестановкой к верхних индексов, то координап)ы тензора ьТ в локальных координат(ах (х~,..., х") выражаются так: лу и "ы Т( и)" ( (я) 11 " А у( " зй где Т""" . координать) тензора Т в )х),...,х"). Замечание.
Менять местами верхние и нижние индексы, вообще говоря нельзя. Упражнение. Рассмотреть пример перестановки верхнего и нижнего индексов у линейного оператора, т.е, тензора типа 11, 1). Убедиться, что эта операция не тензорная, т.с.полученный в результате объект нс является тснзором 1а именно, матрицы, полученные такой перестановкой в разных системах координат, задают разные линейные операторы).
2.4.3 Свертка. Если предыдущие операции было удобно определять в инвариантной форме, то операцию свертки нам будет проще определить в локальных координатах. Разберем сначала простейший случай тензора типа 11, Ц -- линейного оператора. Итак, пусть .4 тензор типа 11,1) в ТгМ, и 1х),...,х") произвольные локальные координаты в окрестности точки Р. Обозначим, как обычно, через А' компоненты тензора.4 в координатах )х),..., х"). Определим скаляр С,'1А), положив С)) 1А) = А,'. Эта величина называется сверн)- кой линейного оператора или его следом. Покажем, что величина С)) )А) не зависит от выбора локальных координат, фигурирующих в определении.
Для этого рассмотрим в окрестности точки Р другую систему локальных координат 1хГ,..., х" ), и пусть А',, компоненты тензора А в этих новых координатах. Нам нужно проверить, что .4,', = А',. Действительно, воспользовавшись тензорным законом, получаем: А' =, А' = бзА( = А', ах*а ' где бз символы Кронекера, что и требовалось. Итак, для каждого тензора типа 11,1), мы построили скаляр, т.е. величину, не завислщую от локальных координат, называемую сверткой этого линейного оператора. Отметим, что след тензора А типа 11,.1) можно, также, записать в виде С)) (А) = А(дх((дя,). Рассмотрим теперь общий случай. Пусть задан тснзор Т типа )р, о), где ((..Лр р > 1 и о > 1, и пусть Т "' ' -- его компоненты в локальных координатах )х),...,х").
Фиксируем два целых числа о и 11, такие что 1 < о < р и Общее определение тензора 20 1 < Д < д. Построим новый тензор С (Т) типа (р — 1, у — 1), компоненты которого в координатах (х~,..., х") имеют вид: — Тп..л„~ы ...м ( ~н..дц-, м" и-1ьы оч-м ТенэоР Сои(Т) называетсЯ соеуткой тенэоуо Т по веРхнемУ индексУ с но- мером а и нижнему индексу с номером д. Чтобы проверить, что С~~(Т) корректно определенныи тензор, следует рассмотреть еще одни локальные координаты (х',..., х" ), в которых определен, вообще говоря, друтой тен- зор С "(Т), компоненты которого в координатах (хГ,..., хо ) имеют вид оч — 1 и, воспользовавшись тензорным законом, убедиться что С.
(Т) совпадает д с С (Т). Однако, вместо того чтобы делать эту довольно громоздкую 'о выкладку, мы воспользуемся здесь языком полилинейных отображений. Упражнение. Проверить совпадение тензоров С (Т) и С" ~Т) с помощью тензорного закона.
А(~, И:) = ТД',..., ~ -', у, Р,..., ~ -', У,,..., 1н „И, ~,, „,, ~;,), Очевидно, тензор А зависит от ~' и г'. полияинейно. Определим теперь функцию Сд(Т) на (Т,*,М)" ' х (ТрМ)о 1, положив ее значение на наборе (~',..., с" '; 1'ы ., ., 1'~ 1) равным следу соответствующего линейного оператора А.
Поскольку взятие следа линейного оператора тензорная операция, функция С" (Т) очевидно является полилинейной, поэтому. определяет тензор типа (р — 1, д — Ц, который называется сесрткой тензоро Т по верхнему индексу с номером а и нижнему индексу с номером,'3. Чтобы убедиться, что это определение свертки совпадает с данным выше координатным определением, вычислим компоненты только что определенного тензора в локальных координатах (х,..., х"). Получим: С '(Т)""' ' о С,( )(дхн,...,дх'"-',д,„,,...,дя..,) АУх'.,д.,) = т(дх*...д ~--,дхь,дх...дх* —; Йеа .. дя о — 1 Рт" Ао~' дя ч — 1) Фиксируем произвольные (р — 1) ковекторов ~1,..., (" 1 и произвольные (д — 1) векторов 11,..., 1' г Тогда, для произвольных чисел 1 < а < р и 1 < д < у, по тензору Т типа (р, д) можно построить тензор А типа (1, 1) следующим образом: Общее определение тензора 21 что и требовалось.
Таким образом, мы показали, что два определения свертки совпадают, и, тем самым, установили корректность первого, координатного определения. Особый интерес представляет случай тензоров типа (р, р). В этом случае с помощью последовательного применения р штук операций свертки можно построить по тензору скаляр, который называется волной сверткой. Отметим, что полная свертка тензора зависит, вообще говоря, от того,по каким парам индексов производится сворачивание.
Упражнение. Сколько существует способов получить полную свертку тен- зора типа (р, р)? Все ли полные свертки различны? 2.4.4 Тензорное произведение. Пусть в ТгйХ заданы два тензора: тензор Т типа (р, ц) и тензор Я типа (и,о). Определим новый тензор Т З 5 типа (р -Ь и,о+ и), положив для произвольных ковекторов С~,..., С" ь', и векторов 1'ы..., Ъдт, (ТЗЯ)(~',...,Р ',1„...,1~„ь) ТД',..., 4',1ы..., Рд) ИК"',..., 1"', Р„ы...,1д„ь) Тривиальным образом проверяется, что Т З 5 действительно тензор, т.е.
что отображение Т З Я полилинейно. Действительно, например (ТЗЯ)(...,аС+Ьр,...) = 7(...,ае+Ьдб...)Я(...) аТ(,, (,... )5(... ) + ЬТ(..., дд... )Я(... ) а(Т З Я)(...,~,...) + Ь1Т З Я)(...,йа...), где ковектор аС+ Ь~ стоит на месте с номером не превосходящим р. Тензор Т З 5 называется тензорнььм произведением тензоров Т и Я. Нам будут полезны следующие свойства тензорного произведения. Лемма 2.6 Тензорное произведение обладает следрюдиими свойствами. ° Ассоиддапьивностьд длл любых тензоров Т, 5 и В, илселн ТЗ (ЯЗВ) = (ТЗЯ) ЗЛ. ° Дисгарибугаивностьд длл любых тензоров Тю Тз из 'Р', и Яы Яд из Т;„и для любых чисел од и аю (сд,Т, +озТ) ЗЯд = о~(Тд ЗЯд) +о (Тз ЗЯ1), Т1 З (од51 -~- о252) = о1(Т1 З 51) + оз(Т1 З Яз) Замечание.
Тензорное произведение, вообще говоря, не коммутативно. Тензоры Т З 5 и о' З Т отличаются перестановкой индексов. Общее определение тензора 22 Пример. Пусть на плоскости и~ фиксированы декартовы координаты (х>, хэ). Рассл>отрим тензорные произведения дх'Здхэ и дхэЗдх>. Тогда для любых векторов И = (и>, иэ) и И' = (и', юэ) имеем: дх> З дхэ(Г И') — п'щэ а дхэ З дх>(г" Их) — еэю> Поэтому, если векторы Р и И' линейно независимы, то дх' З дхэ(Ъ;И') ~ дхэ Здх'(Г,И'). Последнее означает, что отображения дх> З Нхз и дхг З дх> различны.
Пусть (х',..., х") --. локальная система координат в окрестности точки Р. Вычислим компоненты тензора Т З о' в этих координатах. Получим: (Т З Я)" ""+" 1>" >».~.„ (ТЗК)(дхе,...,дх" -;О„,,...,О.,„,) Т(дх",...,дх",д,„,...,дям) . Т>>".>хК>х-»"'е> » „>2 >»».>" >'»»- Таким образом, имеется следующий результат. Лемма 2.7 Компоненты тензорного произведения Т З Я тензоров Т и Я вычисляются по формуле Т З ЯР'""" " = Т>ь ".5"+' "."".
( ' »1" 3»е 31" А 3»- ">»е Значимость операпии тензорного произведения определяется следующим предложением. Предложение 2.3 Пространство 'Р' всех тенэоров >пипа (р,д) .можно представить в виде тензорного произведения р экзел>лляров пространтпва ТрМ = 'Ц и о экземпляров Трй>1 = ло>. Доказательство. Действительно, в предложении 2.2 мы построили базис пространства Х", состоящий из отображений вида д... З..зд.„вдх>!З "Здх>». Теперь ясно, что обозначения для этих полилинейных отображений были выбраны не случайно: каждое из них является тенэорным произведением р соответствующих векторов д *„канонического базиса пространства ТрМ и д соответствуя>щих ковекторов дх" канонического базиса пространства ТрМ. Предложение доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
