А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Лдх", 1<гг«".г <и, что и требовалось. Внешние дифференциальные формы 40 1 Р = —,Рб з„йх»Р Л .. Л ЕХх", р! "-*" 1 и Я = — („»1 . Йхп Л. Л дху». .~1 "др В силу. свойств внешнего у.множения и следствия 3.3, имеем: Р Л Ц =,,Рн, 1,Я»., а,дх" Л . Л дх'" Л Ы' Л .. Л дх" 1 ~а.о1„а.,„,бра.„~рг .оре1х "о1 Л.
Л дх 1(аР«" а Ч йп РЕЗ»чр ( 1) Ра 1р1...а 1р1Х)а 1р+рг. а 1 ч 1)дх Л ' ' ' Л да 1(аР« "арлр<ь РЕвр Другими словами, для любых упорядоченных 1 < о1 «... о ч» < н, 1 РРаР...арчр — 1 1 Р ( Р а 1о.,.а 1р16а 1р»РГ..а р. ч аез р~ Итак, доказано следующее предложение. Предложение 3.3 Пусть Р Е А" и Я Е Л» внешние формы, и Я = РЛЕ1 их внешнее произведение. Тогда компоненты формы В в локальных координатах выралеаютсл через компоненты форм Р и ЕХ так: В 1 1 »Р ( РРр...а -Рр 1 ~ ~ ( ) а 1Р1...а 1р1Яа 1р+Рг,.а 1р+Рг р ч аегр+р Замечание. Перемножая конкретные формы, пользоваться формулой из предложения 3.3 не очень удобно. Часто проше раскрыть скобки и привести подобные члены, преобразуя все возникающие мономы дх1Р Л .
Л дх1" так, чтобы индексы »р были упорядочены. зпражненне. Пусть ЛХ ориентированное риманово многообразие размерности н. Определим отображение »1 йь(ЛХ) -+ йа 1(ЛХ), называемое звездочка Ходжи Пусть,Ядх1 Л... Л дх" форма объема на М, и обозначим через ей,„ее компоненты в координатах (х1,..., х"). Пусть Т Итак, мы опредааили на множестве всех внешних форм на многообразии ЛХ операцию внешнего умножения, превратив тем самым линейное пространство й'(М) = О"' ойг(ЛХ) в а»гебру.
Эта алгебра называется алгеброй внешних дифференциальных форм на многообразии или, коротко, внешней алгеброй. Выясним, наконец, как записывается операция внешнего умножения в локальных координатах. Пусть Р Е Лн и 1„) Е Л» дифференциальные фОрМЫ, И (Х1,..., Хь) - . ЛОКаЛЬНая СИСтЕМа КООрдИНат. ТОГда, .В СИЛУ СЛЕД- ствия 3.3, формы Р и ЕУ можно записать в виде 41 Внешние дифференциальные формы произвольная дифференциааьная форма из Й~(ЛХ), и Т,, „се компоненты в координатах (х~,..., хь). Определим форму *Т Е Й" ь, положив («Т)м«, ь, = — е„, Т""'", где Т" '" -- тензор, полученный из Т поднятием индексов с помощью римановой метрики д,;~.
Проверить, что *Т корректно определенная форма из й" ь(ЛХ). Упражнение. Показать, что *1 — зто форма объема на ЛХ, где 1 — зто гладкая функция на ориентируемом римановом многообразии ЛХ, тождоственно равная единице. Упражнение. Пусть Р гладкая функция на ориентируемом римановом многообразии ЛХ. Найти *Р. Упражнение.
Пусть Т тензорное поле типа (0,1) на евклидовом пространстве Гсз. Показать,что («Т)23 = Т1, («Т)31 = Тьз («Т)12 = Тз. Упражнение. Пусть (х, у, я) — — декартовы координаты в евклидовом про- странстве Гсз. Вычислить «дх, ««1у, «бх., 46х д с1у), «(бх д ~1х), «(буд ~Ь), «(дх д еХу д с)х). Упражнение. Вычислить «~«Т) на ориентированном римановом много- образии ЛХ.
3.3 сРормы и отображения Пусть Р: М «Х гладкое отображение гладких многообразий ЛХ и Х. Предположим, что на многообразии 1«' задана внешняя форма ш«степени ф Тогда, оказывается, на многообразии ЛХ естественно определяется внешняя форма той же степени д, которую мы обозначим через Р*(ьоа). Действительно, если Р -.
произвольная точка на ЛХ, и 1'ы..., 1'а - произвольные векторы из ТрМ, то положим Р*<со~ир(Ъ1ы..., .Ъ7 ) = ьо~)гцр> (ДР~Р(11),..., сХР~РЮ. Кососимметричность и полилинейность построенного отображения очевидна. Говорят, что форма Р*(ьо«) получена из формы ша перенесением с помон«ьв отображения Р. 42 Внешние дифференциальные формы Замечание.
Напомним, что дифференциал гладкого отображения Г: ЛХ вЂ” > Х отображает каждое касательное простраяство ТгМ в касательное пространство Тщ р~ Х, перенося тем самым касательные векторы к многообразию М в касательные векторы к многообразию Х, т.е. "вперед". Дифференциальные формы переносятся отображением Г в другую сторону, т.е. "назад". Отметим, что векторные поля, вообще говоря, "вперед" не переносятся. Дело в том, что отображение Г может не быть взаимно однозначным. Тогда в одной точке образа мы можем получить несколько (даже бесконечно много) векторов. Переносить векторные поля можно только взаимно однозначными отображениями. С дифференциальными формами, как мы видим, дело обстоит куда проще. Таким образом, каждое отображение Г: ЛХ вЂ” ~ Х порождает отображение алгебр внешних дифференциальных форм Г*: й*(дс) — ~ й'(ЛХ).
Оказывается, зто отображение уважает структуру внешней алгебры. А именно, имеет место следующее утверждение. Утверждение 3.1 Отображение Г' линейно. Более того, длл любых форм Р е й" (Х) и О е йо(Х) на многообразии Ас имеет место следующее соотношение: Г(Р А О) = Г*(Р) д Г'Я). Доказательство. Линейность отображения Г' очевидна. В силу линейности отображения Г", второе свойство достаточно проверить для мономан, т.е.
для форм Р = Х дхп А ° Абх' и О = у дхм А.. Ас)х' . Для слу.чая мономов требуемое свойство почти очевидно (проверьте!). Упражнение. Показать, что если задано два отображения Г1 . ЛХ1 — ь ЛХз и Гя. ЛХз + ЛХз~ то (ГгоГ1) = Ге оГз. Выясним, как вычисляются компоненты формы Г" (аг") через компоненты формы озо в локальных координатах. Пусть (х',..., хю) и (д~,..., д") — локальные координаты в окрестности точек Р и Г(Р) соответственно. Тогда для произвольного набора (д,„,...,д *,) векторов канонического базиса пространства ТрМ имеем: Г*(оз~)~г (О.ч,..., дев) = ы'~г[р~ (Г„~р(д,ч ),..., Г„~р(деч )) Х ада~ пдо~ ~Г(Р) ~ Ву 1~..., до ) дхн дхм В а~ и а~ ш' Ь(г)(Ви- " Вя-.) Втй1 Вхм где д'(х~,...,.х'н) координатное представление отображения Г.
Таким образом, имеет место следующее предложение. Внешние дифференциальные формы Предложение 3.4 Компоненты формы Р*(ьь), полученной из формы ьь перенесением с помощью отображения Г: ЛХ вЂ” ь ьр', вььражоюпься через компоненты формы ьь по следуюиьей формуле (Р'( 4)) (Р) = (Р) ., (Р), „,(Р(Р)). 3.4 Операция внешнего дифференцирования В данном раздеае мы определим дифференцирование кососимметрических тензоров типа (О,у), т.е. внешних дифференциальных форм. В простейшель случае у = О внешняя дифференциальная форма степени нуль это просто гладкал функция на льногообразии. Тогда, как мы уже знаем, каждой фу.нкции можно поставить в соответствие тензорное поле типа (Оь 1) автоматически кососимметричное - . дифференциал этой функции. Таким образом, определено отображение д: Хуе(ЛХ) — ~ йь (ЛХ), ставящее в соответствие каждой О-фоРме Х Е йо(ЛХ) ковектоРь т.е.
1-фоРмУ дХ. Если (хь,..., х") локальные координаты на многообразии ЛХ, и Х(хь,..., х") дХ координатное представление функции Х, то дХ =, 11х'. дх' Построим теперь для произвольного р отображение д: П" (ЛХ) — ) й" Р~ (ЛХ). Мы определим его в локальных координатах. Пусть (хь,..., х") локальные координаты на многообразии ЛХ, и Р— — произвольная форма из й" (ЛХ), которая в локальных координатах (ть,..., х") записывается в виде Рч ь дхьь Л .
Л Ихьр. 1<ьь« ьр<ь Коэффициенты Рч з, это гладкие функции на многообразии ЛХ. Определим внешний дифференциал (внеиьнюю производную) 6Р формы Р, положив 6Р = ~ д(РО ьр) лдх" л. лдх' . 1<ьь «".гр<и Отметим, что если записать форму Р в виде Р= 'Рь, дхь Л Лдх', — ьь ...рр то определенная только что ее внешняя производная запишется в виде дР= 'д(Рь,)Лдх' Л Лдх'.
ь"' ь Лемма 3.4 Операция внешнего дифференцирования определена корректно, т.е. нс завысит от, выбора локальной снстемьь координапьр участвующей в ее определении. Внешние дифференциальные формы 44 Доказательство. Пусть в некоторой окрестности ХХ С ЛХ заданы две яо- кальных системы координат (х,..., т") и (х~,..., х" ). Тогда дифферен- циальная форма Р Е Пс(ЛХ) в ХХ может быть записана двумя способами: Р= — Тн; йх Л' Лйх" = — Т; ейх'Л Лйт где компоненты Рн .. и Р», связаны по тензорному закону. Тогда в координатах (х',..., хв ) внешняя производная йР, в соответствие с определением, вычисляется так: 1 аТС..л йР= — й(Т )Лйхч Л .Лйх" = — ' "йх' Лйх'» Л.. Лйх'».
'» "л» й! аха' Воспользовавшись тензорным законом, получим: о.о* а, о!йР=,~, еТб л„)йх" Лйх" Л.. Лйх'. О -'~ах' а," б-'"~ аз»» Так как вторые производные,, симметричны по 1~ и о', а внешнее ахй ах'" произведение йх' Л йх кососимметрично, все свагаемые, содержащие эти вторые производные сокращая>тся. В результате получаем: й! йР Л йх" Л йхн Л .
Л йх'". Но выражение справа -- зто, с точностью до деления на о), внешняя про- изводная йР формы Р, записанная в координатах (х1,..., х"). Лемма до- казана. Установим простейшие свойства внешнего дифференциала. Предложение 3.5 Пусть Р Е йе1ЛХ) и О Е Пе(ЛХ) дофференциальные формы на ЛХ. ° Длл произвольных постоянных с1 и сз имеет место равенство: й(с, Р+ сз»е) = сьй(Р) + сей(ХХ) (линейность). ° Имеет место следующий аналог правила, Лейбница: й(РЛЯ) = й1Р)Л Я + ( — 1)"Р Л сХ(®. ° Идемпотентность: й,йР) = О. ат.. аха' аТ, л, ахв аТ~». л аз О ах" Ох'~' ,, йх Лйх" Л Лйх' ах''» ах "» ах" ахп , дх' ,йх Л .,йх" Л..
Л гйх' ах'* ах' ах» 45 Внешние дифференциальные формы ° Для произеольного гладкого отображения Е: Х вЂ” > М имеет место равенство У'(йР) = й(Р'Р). Доказательство. Первое свойство очевидно.' В силу. линейности, второе свойство достаточно проверить для случая мономов, т.е. для Р = 1 йхм Л .. Лйх" и С,) = дйхсй Л Лйхэ . Имеем: й(Р Л я) = с1()д) Л (йх" Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
