А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 14
Текст из файла (страница 14)
э'пражнение. Показать, что если 1м. М вЂ” ~ М --. тождественное отобра- жение, то 1" с — тождественное отображение когомологий. э'пражнение. Показать, что если Х: ЛХ1 — > Мг, и д: Мэ — ~ ЛХз — гладкие отображения гладких многообразий, то (до Х) = Х" од*. Из двух предыдущих упражнений вытекает слодующий результат. э'тверждение 3.9 Если многообразия М и Х диффеоморфны, то их группы когомологий Н~(Л1) и Н~(сч') совпадают. Замечание. Ниже мы увидим, .что группы когомологий сохраняются не только при диффсоморфизмах, но и при существенно более общих преобразованиях гомотопических эквивалентностях.
3.12.3 Когомологии и векторные поля на плоскости Вычислим когомологии плоскости йь. Как мы уже знаем, Н~(н~) = И, и Н (жз) = 0 при и > 3. Вычислим сначала Н 1йг). Для этого заметим, что если (х, у) — стандартные координаты на плоскости, то Кет4 = )'ю = Рдх+ Оду) — = — — ), 1шдо = (дР(Р е С (йа)). аР ВО ду дх Покажем, что Кегд~ = 1шдо. Для этого по форме ьз е Кегд1 построим функцию Р(х,у) = / где у . — произвольная кусочно-регулярная кривая, соединяющая начало координат и точку (х,у). В силу формулы Грина, усеовие замкнутости формы ~ равносильно независимости значения интеграла в правой части от выбора кривой ~ (проверьте).
Покажем, что дР = ы. Для того, чтобы вычислить частные производные функции Р, удобно в качестве у рассмотреть двухзвенные ломаные, ребра которых параллельны координатным осям. Отметим, что на отрезке, параллельном оси ОХ, форма ьХ ду равна нулю, а на отрезке, параллельном оси ОУ, равна нулю форма Р дх. Имеем: с сь сь Р(х,у) = / Р(1,0) д~+ / Ц(х,~) й = / Ц(0,~) дХ+ / Р(с,у) М, о е о о 75 Внешние дифференциальные формы откуда дР дР— = Р(х, р), — = 1'„1(х, р), дх ' ' др что и требовалось. Таким образом, Н'( ит) = О. Па физическом языке этот результат формулируется так. Векторное поле Х называется потенциальным, если существует такая функция К, что Х = ктас1Е = (дЕ/дх, дР/др).
Поло Х = (Р, Я) называется бсзеихрсеым, дР дь) ду дх Ясно, что каждое потенциальное поле является безвихревым. Действительно, если Р = дЕ/дх, .а Я = дЕ/др, то Равенство нулю первых когомологий плоскости означает в точности, что верно и обратное: каждое потенциальное поле является безвихревым. Отметим, что если рассмотреть плоскость с выколотыми точками, то это уже не так. Далее, вычислим Нт(РЯ).
Мы покажем, что на самом деле Нт( хз) = О. Ясно, что ИЯ = Пз, поэтому достаточно показать, что для любой 2-формы П = Р(х,у) бх д с1у существует такая 1-фарина ш = Р(х,, р) ь1х+ ь„~(х, у) ь1у, что 11 = с1и. Иными словами, мы должны для каждой гладкой функции Р найти такие функции Р и 1), что д1;) дР Г = — — —. дх др Легко видеть, что этому равенству удовлетворяют функции 1 г~ 1 Рь Я(х,д) = — / Р(1,р)сЫ, и Р(х,у) = — — / Г(х,1)й.
2 /~ 2 /~ Итак, мы доказали следующее утверждение. Предложение 3.9 Когомолоеии стандартной плоскосьаи Кя еыгллдянь пгак: Но(11з) ьоь Н1(11з) Нз(рз) Более того, оказывается, аналогично устроены когомологии пространства Й" произвольной конечной размерности (см.
следующий пункт). Упражнение. Вычислить когомологии двумерной сферы 5~ и тора Т~. 76 Внешние дифференциальные формы 3.12.4 Когомологии и общая формула Стокса Общая формула Стокса во многих случаях помогает вычислять когомоло- гии многообразий. Ъгтверждение 3.10 Если ЛХ гладкое компакганое ориентир1гемос пмерное многообразие без края, то Но(М) 7- 'О. Доказательство. Действительно, зададим на ЛХ некоторую метрику (например, вложив М в Км и рассмотрев индуцированную метрику). Так как М ориентируемо, на нем корректно определена форма объема аь Интеграл от ш по ЛХ равен объему многообразия ЛХ, поэтому он не равен нулю. Следовательно, ш не является точной формой. Действительно, если ш = г(гд то по теореме Стокса имеем так как дЛХ = 9, противоречие.
Тем не менее, аг, будучи формой максимальной степени, является замкнутой. Итак, мы привели пример замкнутой, но не точной и-формы. Доказательство закончено. 3.12.5 Когомологии К" и цепная гомотопия В данном разделе мы введем понятие цепной гомотопии, которое даст нам возможность легко вычислить группы когомологий пространства К", п ) 2, и в дальнейшелг будет очень полезно при доказательстве топологической инвариантности групп когомологий. Пусть к; К" хКг — ~ К" — — проекция на первыйсомножитель, те. гг(я,1) = л, и а: К" — ~ К" х К' — вложение, определенное так: а(х) = (л, О). Мы покажем, что отображения гг*: Нь(К") — ~ Нь(Ко х Кг), и л* Н" (Кв х К') — г Н "(К взаимно обратные изоморфизмы, и, поэтому, Нь(Кшы) = Н" (К").
Поскольку хоа = 1и-, очевидно л*ок' = 1 даже на пространстве 11ь(К"). Однако, а о к ф 1и иы и на пространстве й" (К~ х Кг) равенство к' о л* = 1, вообще говоря, места не имеет (приведите пример). Для того, чтобы показать тождественность отображения я* о а* на пространстве Нь(К х Кг), достаточно построить такой линейный оператор К: Й~(К" х Кг) -+ Йь г(К" х Кг), что 1 — к 0 я = Ц(ггк — Кг1). Действительно, если оператор К построен,то, для произвольной замкнутой формы аг, форма +(гХК вЂ” Каг)го является точной, т.е, равной нулю в когомологиях. Такой оператор К, если он существует, называется оператором цепной гомотопии для гомоморфизмов 1 и к* о а*. 77 Внешние дифференциальные формы Чтобы определить оператор цепной гомотопии, отметим, что любая внешняя форма на К" х 11~ однозначно представима в виде линейной комбинацией форм следующих двух видов: 1) формы вида (я'Ф) г"(х,1), 2) форьгы вида (я*Ф) г, 7'(х, 1)агс, где Ф некоторая форма на К".
Определим оператор К, положив 1) для форм первого вида К: (х*Ф) . Г'(х, 1) г-» О, 2) для форм второго вида К: (х'Ф) г» 1"(х,1)с(1 г-» (я*Ф) )а 1(х,1)г1г. Лемма 3.10 Оггределенный выше оператор К являегпся оператором цеп- ной еолготопии для огпобралеенггй 1 а я* о в*. Доказательство. Ясно, что равенство 1 — я'ов* = Цг1К вЂ” ЕИ) достаточно проверить на формах из йл(К" х йг) вида (1) и (2). Пусть ш форма вида (1), т.е.
а» = (я'Ф) . гг(х,с), степень формы Ф равна и. Тогда, так как (х' о в*)(я*Ф) = (я о в о х)*Ф = я'Ф, а я* о в*» (х, 1) = 1(х 0), имеем: (1 —.г* о в*)аг = (г*Ф) ~(х,1) — (я*Ф) . ((х, 0). С другой стороны, так как ю — — форма первого типа, то Хаг = О, поэтому (г1К вЂ” Кс1)а» = — Кг1а». Далее, гав = (г1п'Ф)~(х,1) + ( — 1)ь(п'Ф) ( —,г1хг Ф вЂ” г11) дг", д7 Все слагаемые в этой сумме, эа исключением последнего, суть форнгы первого типа, поэтому — К(г1со) = — К(( — 1) (гг*Ф) — г11) = ( — 1) (я'Ф) ~ — г11 = ь * дг 1 е- . 1 дг дс о = ( — 1)ь '(х'Ф)(((х,1) — ((х, 0)),. откуда, для форм типа (1), имеем: 1 — гг о в = ( — 1)ь 1(ггК вЂ” Каг) Пусть теперь ш -- форма типа (2), т.е.
аг = (я*Ф) Д Г'(х,с)М, где Ф .— форма степени 1. — 1. Тогда. так как в'(агс) = г1(в*(1)) = И(0) = О, имеем: (1 — я* о в*)ш = а». С другой стороны, г(~ = (гг'аФ) д 1(~ 1)г11 + ( — 1)'-'( *Ф) ( — с1хг д с11) Внешние дифференциальные формы 3.12.6 Когомологии и векторные поля в жэ Рассмотрим В' . Векторное поле Х называется потенциальным, если оно 3 является градиентолг некоторой функции Р, т.е. Х = 3гадР.
Поле Х называется называется баэвихравым, если гогХ = О. Поле Х, являющееся ротором другого поля У, т.е. Х = гос У, называется соланоидвльньмг. Поле Х называется баэдиваргантным или полем баэ источников, если д1г Х = О. Отождествим теперь векторные поля Х = (,Р, Я, Н) с 1-формами ш = Рдх+ (>др+ Ндю Эту операцию отождествления (операцию опускания индексов с помощью евклидовой метрики бг ) обозначим через 1. Таким образом, ЦХ) = ш. Пусть Р гладкая функция.
Напомним некоторые полезные нам тождества: г'(3гаг1Р) = дР, 1(гоГХ) = ь(дгэ), и с11иХ = ьд(ьго). Такигл образолц 1) поле Х потенциально, если и только если соответствующая 1-форма ы точна; 2) поле Л безвихревое, т.е. гог Х = О, если и только если соответствующая 1-форма замкнута; 3) поле Х бездивергентно, т.е. 61и Х = О, если и только если 2-форма *ш замкнута. Лемма Пуанкаре, в применении к случаю ж~, дает следующий результат: Предложение 3.12 Поле в Юь потенциально, если и только если оно баэвихревое (это эквиввлантно Нг(йз) = 0). Пола Х баэдивсргантно, если и гполько если оно соланоидвльно (это эквивилантно Нз(гс~) = 0). Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
