А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В общем случае выкладка аналогична: слагаемые, соответствующие сворачиваем индексам, сокращаются. Доказательство предложения закончено. Замечание. Иногда полезно записать правило Лейбница для ковариантного дифференцирования, не прибегал ни к координатам, ни к производной по направлению. Отметим, однако, что соотношение ~(Т З Я) = (ЛУТ) З л' -ь т з ЛУБ места не имеет, так как нижний индекс, появляющийся при дифференцировании, расположен у первого и второго слагаемых в разных положениюс. Верное равенство выглядит так: х (Т З э) =, ((1УТ) З Н) + т З 1Уо, где и перестановка, меняющая местами (д+ 1)-ый и последний индексы (здесь Т тензор типа (р,.д)).
Определение. Пусть М вЂ” гладкое многообразие с аффинной связностью Г. Локальные координаты (л',...,лв) на М называются евклидоеыми длл связности Г, если символы Кристоффеля связности Г в координатах (х1,..., и") тождественно равны нулю в области определения этих координат. Например, если ЛХ = й", и Г евклидова связность, то стандартные декартовы координаты (г~,..., г") в К" являются, по определению евклидовой связности, евклидовыми для связности Г.
Отметим, что евклидовы координаты для связности Г могут и не существовать. Пример. Пусть М гладкое многообразие и Г несимметричная связность на ЛХ. Тогда для связности Г не существует евклидовых координат. Действительно, если (х',...,лв) евклидовы координаты связности Г, то в этих координатах тензор кручения связности Г тождественно равен нулю. Но тогда тензор кручения равен нулю в любых координатах, что означает симметричность связности Г. Противоречие. Таким образом,необходимым условием существования евклидовых координат для аффинной связности является ее симметричность.
4.5 "Единственность" операции тензорного дифференцирования Оказывается, свойства (1)-(5) из предложения 4.1 в некотором смысле однозначно определяют ковариантное дифференцирование тензорных полей 95 Ковариантное дифференцирование люоого типа на многообразии с аффинной связностью. А именно, имеет место следующий результат. Теорема 4.2 Пусть ЛХ гладкое многообразие. Пусть на тензорных полях на ЛХ определена операция ~7, удовлетворяющая свойсгпвам (11 — (б) из предложения 1.1: Х) Результат ч Т применения операции 11 к тензорному полю ~1Т типа (р,о) яв яется тензорным полем типа (р,9+ 1).
9,) Операция ч линейна. 3) Результат применения операции ч' к скалярной функции Х совпадает с градиентом этой функции. 4) Операция ч удовлетворяет правилу Лейбница: т 1Т з о) = (Ч т з э) + т ь ~уз, где к перестановка, меняющая мест ми (й+ 1)-ый и последний индексы (здесь Т тензор типа (р,о)). б) Операция ~7 перестановочна с операцией свертки. Тогда на ЛХ существует аффинная связность, такая что операция 17 совпадает с операцией ковариантного дифференцирования, относительно этой связности.
Доказательство. Нам нужно построить на многообразии ЛХ аффиннунь связность. Для этого мы рассмотрим произвольную систему (х~,...,хо) локааьных координат на ЛХ, заданную в окрестности ХХ, возьмем вектор д, из канонического базиса и продифференцируем с помощью имеющейся у нас операции ~1 векторное поле д ., определенное в П. В результате у нас,. по определении>, получится тензорное поле типа (1,1), которое в каждой точке окРестности П можно Разложить по элементам дл 8 дхд канонического базиса пространства тензоров Я.
В итоге получим: ~а., =Г;„,П.-З хэ, где через Г,"в обозначены коэффициенты этого разложения -- гладкие функции в окрестности П. Пусть теперь в окрестности П имеются другие локальные координаты, которые мы обозначим через (х',...., х" ). Тогда в П соотношения Tд,, = Г;„дл Здхо 96 Коваризнтное дифференцирование определяют другую систему гладких функпий Г,,, Найдем связь между Гр,н и Г,,~. В силу свойств (3) и (4) операции и, получим: (отметим, что если второй сомножитель в тензорном произведении Т З 5 не имеет нижних индексов, то перестановка я из правила Лейбница (4) тривиальна).
Напомним также, что по определению, тензорное произведение векторов и ковекторов коммутативно: 1 ЗС = С З Г для любых Г Е 'Гр' и с е Тг С другой стороны, ' Р дхь дхд поэтому, переобозначив индексы суммирования при базисных элементах, полччаем: дхе откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых элементах базиса и умножая все на матрицу Якоби, получилп дх'* дхз д (дх'"' дх'" дхз дх' ГО',— ( )+ .г'. дх- ЬЗ' ах ~д '~ д - ах ' Ьи '"' Поэтому, окончательно, дх'* дзх'* дхь дх' дх' Гй , +,,Г~, дх'* дх' дхв дх'* дх' дху Но последнее выражение это в точности закон преобразования символов Кристоффеля аффинной связности.
Итак, доказана следующая лемма. Лемма 4.8 В сделанных предположениях, соответствие, сопоставляюшвс каждым локальным координатам (х~,..., хн) набор функиий Г,в, опредсясннььх из соотношений '7д,* = Г;„д - З дхв, задает на многообразии М некоторую ау)финную связность. Коварнантное дифференцирование Теперь, после того как мы построили по операции ~7 аффинную связность на ЛХ, доказательство предложения сводится к проверке того, что результат прилунения операции T к произвольному тензору совпадает с результатом ковариантного дифференцирования этого тензора относительно построенной аффинной связности. Это можно сделать в три этапа. 1. Пусть Т произвольное векторное поле на Л1. Тогда в локальных координатах (х~,..., х") поле Т представимо в виде Т'д,о Тогда тт = Г(т'О,,) =~т'ЗО...
+Ттбя; = вд,, Зйх +Т'Г,.~д,. Здх = ~ +Т Г'„д~д,, Зс1х . Но это в точности означает, что тензор КТ совпадает с тензором, полученным ковариантным дифференцированием тензора Т в построенной связности. 2. Пусть теперь с -- произвольное ковекторное поле. Рассмотрим на многообразии ЛХ локальные координаты (х~,...,х"), и построим скалярную функцию, свернув ковектор С с координатным векторным полем дя*. Эта скалярнал функция, очевидно, равна г-ой компоненте ~,ковектора ~ в координатах (х',...,х"). Тогда, в силу свойства (3) операции 'г имеем: 'г ~С,'(( З д,,)) = ~7~; = '„с~х".
С другой стороны, в силу свойств (4) и (5) выражение слева можно пере- писать так: '7(С,'(~Здя*)) = С,'(~7(~Зд,*)) =С,'(17~Зд,.*) ->С,'(~З17дя*) = С~~ ((Лт()ввдх" З гахн З д,.) + ГиС,'(~ьйх~ З д.,- З дхд). Выполнив операцию свертки, получим: 17(С,'(~ З д,,)) = (7~) ддхн+ Гв~ дхд. Итак, , дхд = (TЯ)ыдхв + Г,п~ дхд, откуда (С~~);, = — „- Г;,~. д~, Таким образом, тензор Tс совпадает с результатом ковариантного дифференцирования ковектора ~ относительно построенной аффинной связности.
В частности, если ~ = дх' базисный ковектор,то ~Нх' = — Г' вдх З дхг. 98 Ковариантное дифференцирование 3. Для завершения доказательства предложения осталось убедиться в том, что результат применения операции л к произвольному тензорному полю типа (р,д) совпадает с результатом ковариантного дифференцирования этого поля относительно построенной аффинной связности. Для этого достаточно представить тензорное поле Т в карте с координатами (х~,..., х") в виде Т=Т,", 2дя З" Зд., З Ы' З" Здхз',.
и воспользоваться правилом Лейбница и уже известным нам видом операции и на векторах и ковекторах. Мы оставляем соответствующую выкладку в качестве обязательного упражнения. Теорелла доказана. Замечание. Теореллу 4.2 можно рассматривать как некую теорему единственности тензорного дифференцирования. Единственность понимается в следующем смысле: любая тензорная операция со свойствами (1) — (5) является операцией ковариантного дифференцирования в некоторой аффинной связности. Подчеркнем однако, что аффинных связностой на каждом гладком многообразии может быть много. Поэтому в заголовке данного пункта слово "единственностьь стоит в кавычках. 4.6 Риманова связность Аффинная связность на гладком многообразии это некоторал дополнительная структура, которая, вообще говоря, никак не связана с другими структурами, которые могут быть заданы на этом многообразии, такими например, как риманова метрика.
Оказывается, наличие метрики позволяет среди широкого класса связностей на многообразии выделить одну связность, которая, в некотором смысле, лучше всего ведет себя по отношению к метрике. Определение. Пусть ЛХ риманово многообразие с римановой метрикой д. Симметричная аффинная связность Г на М называется римановой или согласованной с метрикой д, если ковариантная производная метрического тензора д относительно этой связности равна нулю; Tд = О. Предложение 4.2 Пусть ЛХ - - риманово многообразие с метрикой д. Тогда на И суилеств уст единственная риманова связность. Если (хл,..., х") произвольные локальные координаты на М, то символы Кристоффеля романовой связнощпи могут бытие вычислены так: 1, удд, ддл„ддйь ~ 1л то~ + йл 2 ~ д Я дхй дхь Доказательство.
Докажем сначала единственность римановой связности. Для этого вычислим ее символы Кристоффеля в локальных координатах Ковариантное дифференцирование (х1,....,х"), исходя из равенства ~д = О. Последнее условие в локальных координатах переписывается в виде ддб Ю = даГы + диаГэь ° дх Обозначив д; Г „через Гс ь, и фиксировав произвольную тройку индексов (г,д, и), запишем для неизвестных функций Г,, ю систему уравнений, получающуюся из предыдущего равенства циклической перестановкой индексов: ддо ь = Гу; +Газы ддгь Г...+Гяы, дх' дд, дхэ Гсю+Гмб.
Сложим первое и третье уравнения и вычтем из них второе. Тогда, так как Гв ь = Гс ь,, в силу симметрии римановой связности, получим в итоге равенство ддм дд,ь дды — + = 2Гс уь = 2дь„Г'т, дх" дх* дх~ справедливое для любых индексов (г,д,л). Таким образом, для каждой пары фиксированных индексов О, Й) мы имеем линейную систему уравнений на неизвестный вектор (Г'.ь,..., Г"„), причем матрица этой линейной системы это новырожденная матрица (д, ) римановой метрики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
