А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Параллельный перенос в римановой связности обладает рядом интересных дополнительных свойств. Предложение 4.4 Пусть М риманово многообразие с метрикой д, и пусть Г соответствующая симметричная рттманова евязностль Пуспщ 7(1) гладкая кривая, соединяющая точка Р и т,). Тогда операция парал,лельного переноса вдоль 1 сохраняет скалярное произведение между векторами: если а(1) и Ь(1) — — параллельные вдоль 7 векторныс поля на ЛЕ, то (а(1), Ь(т)) = сопяС. Ковариантное дифференцирование 105 Доказательство. Действительно, рассмотрим функцию Х11) = (а(с), Ь®), определенную на кривой. Тогда, в силу леммы 4.9 и параллельности полей а и Ь имеем: дХ вЂ” = ч., (а, Ь) = >Ч., а, .Ь) + Х>а, >>.„Ь) = О,. что и требовалось доказать.
упражнение. Показать, что верно обратное утверждение: если в некото- рой связности Г, заданной на римановом многообразии ЛХ, параллельный перенос вдоль любой кривой сохраняет скалярные произведения векторов, то связность à — риманова. Следствие 4.1 Пусть у — гладкал кривая на римановом многообразии ЛХ, соединяюисая точки Р и сг. Тогда линейное оп>ображение А,: ТгЫ вЂ” > Тс>ЛХ, задаваемое операцией параллельного переноса вдоль у относительно римановой связности, является ортогон льным. Пример. Пусть Х,г верхняя полуплоскост>ь на которой задана метрика Лобачевского дь' = (дхг + дуэ)/у2.
Рассмотрим кривую у, заданнун> параметрически так: г(с) = 1, у(с) = уо > О. Выпишем уравнения параллельного переноса вдоль кривой у в римановой связности. Символы Кристоффеля римановой связности в нашем случае, как легко сосчитать, имеют вид: 1 1 2 2 Г,г = Г2, = Г22 = — Г» = — —, у 2 2 1 Г,г = Г,г = Г» = Г.„= О. Поэтому уравнения параллельного переноса на компоненты (Т~, Т ) поля Т имен>т вид: де ~" Ф де у сМ М После подстановки конкретного вида кривой у11) = 11, уо), получим: дт1 1 ув дТ2 ' 1 Уо Эта система линейных уравнений легко решается. Ответ можно записать в следующем виде: Т 11) = Асов(Ь/уо) + Вг>п(Ь/уо), Т2(с) = — Аг1п(1/уо) + В сов(Ь/суо).
Таким образом, параллельное векторное поле вдоль кривой у вращается, причем тем быстрее, чем меньше уо. Геодезические 106 Для осуществления параллельного переноса часто полезным оказываетсл следующее очевидное утверждение. Утверждение 4.2 ХХзоиетрии рнманова многообразия переводят параллельные векторные поля в параллельные. А именно, пусть Р: ЛХ вЂ” ~ Х изометрия римановых многообразий, у — крив я на ЛХ, соединяюи4ая точки Р и О, и ч = Р о у образ кровой у на многообразии Л'. Если Т параллельное вдоль у векторное поле на ЛХ, пю дР1Т) параллельное вдоль у векторное поле на Х.
Доказательство. Это очевидно, так как изометрия не меняет метрический тензор, и, следовательно, не меняет у.равненил параллельного переноса. Упражнение. Пусть М поверхность кругового конуса, заданная в Кз уравнением хз + р~ = г~, где - > О. Обозначим через у плоское сечение конуса ЛХ плоскостьку г = Ь > О. Пусть а касательный вектор к конусу в точке Р е у, направленный к его вершине. На какой угол повернетсл вектор а при параллельном переносе по кривой у от Р до Ру (Воспользуйтесь утверждением 4.2.) Упражнение.
Пусть две поверхности ЛХ1 и ЛХз в Кз касаются по кривой у (т.е., напомним, в точках кривой у них совпадают касательные плоскости). Показать, что в атом <шучае результат параллельного переноса вектора вдоль кривой у не зависит от выбора поверхности. Упражнение. Обобщить результат предыдущего упражнения на случай двух подмногообразий произвольного риманова многообразия. Упражнение. Пусть у — плоское сечение двумерной сферы, заданной в Кз уравнением хе + уз+ гз = 1, плоскостью г = Л, где О > 6 ( 1. Пусть а касательный вектор к сфере в точке Р е у, направленный вдоль меридиана к северному полюсу. На какой угол повернется вектор а при параллельном переносе по кривой у от Р до Р". Упражнение.
Пусть ЛХ поверхность врашения графика положительной функции р = Х(х) вокруг оси Ох, и пусть у сечение поверхности ЛХ ортогональной оси врашения плоскостью х = хв. Пусть а касательный вектор к ЛХ в точке Р е у, направленный вдоль меридиана. На какой утол повернется вектор а при параллельном переносе по кривой у от Р до Р? 5 Геодезические Цель данного раздела -- определить на многообразии с аффинной связностью класс кривых, свойства которых аналогичны свойствам прямых в евкяидовом пространстве и геодезических на гиперповерхностях.
В качестве Геоднзические 107 общего определяющего свойства прямых и геодезических на поверхностях можно взять условие равенства нулю вектора ускорения. Это приводит к с.чедующему определению. Определение. Пусть ЛХ гладкое многообразие с аффинной связностью Г. Гладкая кривая у называется геодезической на М в связности Г, если во всех точках кривой ? выполнено следующее равенство: ч 1' = О, т.е. поле скорости "?' кривой "? параллельно вдоль самой кривой "у относительно связности Г. Пусть (х~,...,х") локальные координаты на многообразии ЛХ, и х'(1), 1 = 1,...,п, координатное представление кривои б Тогда,воспользовавшись уравнениями параллельного переноса, запишем усховие 1Уз "?' О так; дзх', с?х" дхв (чУ,, у)'= +Г',в — — О, 1=1,...,п Д?х ' д1 дХ Эта система уравнений называется уравнениями геодезических в связности Г. Отметим, что эта система уравнений уже выписывачась нами в случае поверхностей.
у'пражнение. Показать, что если уф . геодезическая, то для произвольного числа а ~ О кривая у(а?) --- тоже геодезическая в своей области определения. з'пражнение. Пусть у(1) геодезическая, и 1 = Х(в) — замена параметра кривой у. Для каких замен параметра 1 = 1(в) кривая 7(в) = у11(в)) снова будет геодезическоиу Удравнения геодезических представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Поэтому для них справедлива стандартная теорема существования и единственности решения задачи Коши. Из этой теоремы немедленно вытекает теорема существования и единственности геодезической на многообразии. Следствие 5.1 Пусть М -- гладкое многообразие с аффинной связностью, Р произвольная точка из ЛХ, и И б ТрМ произвольньчй касательньгй вектор к М в точке Р.
Тогда на М српаествует геодезическая у, вьлходяиеая из Р и такая, что ее вектор скорости в точке Р равен Ъ'. Более того, такая геодезическая у единственна в том смысле, что любые две такие геодезических совпадают в пересе ~ении областей определения.
Пусть теперь ЛХ риманово многообразие с метрикой д, и Г риманова связность на ЛХ. Геодезические в римановой связности обладают рядом интересных свойств, аналогичных свойствам геодезических на поверхностях. Когда говорят о геодезических на римановом многообразии, то, обычно, имеют ввиду геодезические относительно римановой связности. Геодезические 108 Ъ"пражнеиие. Показать, что модуль вектора скорости у' геодезической у(1) не зависит от б упражнение. Пусть у — .
геодезическая на римановом многообразии М, н а — параллельное векторное поле вдоль у. Покажите, что угол между векторами а(с) и у'(г) не зависит от б Это позволяет легко построить параллельный перенос на двумерных римановых многообразиях вдоль геодезических в соответствующих римановых связностях. Следующее утверждение часто оказывается полезным при изучении геодезических на римановых многообразиях. Ъ'тверждеиие 5.1 Пйсщь Р: М вЂ” ь дс изометрия римановых многообразий, Тогда Р переводит геодезические в геодезические.
Доказательство. Это очевидно, так как Р по определению сохраняет метрический тензор, и, следовательно, символы Кристоффеля римановой связности. Поэтому Р сохраняет уравнения геодезических, что и требовалось. Следствие 5.2 Если множество неподвижных точек изометрии ьч М вЂ” > М вЂ” — регулярная кривая у, то 1 -- геодезическая. Доказательство. Действительно, пусть Р = у11о) —.- произвольная точка из у, и с = у(1о) ~ 0 - —. вектор скорости кривой О в точке Р. Рассмотрим геодезическую уь(в), такую что 21(во) = Р и 1ч (во) = С.
Так как у множество неподвижных точек изомстрии и, то изометрия сохраняет точку Р и вектор С. Поэтому образ уг = о( ц) геодезической у1 геодезическая, проходящая через ту же точку Р с тем же вектором скорости с. Теорема существования и единственности дает уз = у1 (в некоторой окрестности параметра 1о), откуда образ ц принадлежит образу Т.
Поэтому в окрестности каждой точки кривая у, после соответствующей перепараметризации, является геодезической. Доказательство закончено. Следствие 5.3 Прямые на плоскости Лобачевского и только они явл— юпюя геодезическими. Доказательство. Рассмотрим модель Пуанкаре. Для каждой прямой йна плоскости Лобачевского существует изометрия о, переводящая ее в прямую у = 0 (докажите).
Преобразование х = х + ур ~-~ г = х — 1д является изометрией гы и прямая у = 0 это множество всех неподвижных точек изометрии ип Композиция и ~ о иь о о изометрия, у которой множество неподвижных точек — прямал С. Доказательство закончено. упражнение. Доказать, что геодезические на сфере Я" -- это большие круги (сечения двумерными плоскостями, проходящими через центр) и только они. 109 Геодезические Для случая геодезических на поверхностях в и~ можно сформулировать наглядный и полезный критерий того, является ли данная кривая геодезической. Итак, пусть ЛХ - двумерная поверхность в е1~ с индуцированной метрикой. Напомним, что симметричная связность ~7 на поверхности ЛХ, согласованная с индуцированной метрикой, может быть получена из евклидовой связности ч в Йз так: ( Ху т где (.) ортогональное проектирование на касательные плоскости к поверхности ЛХ.
Поэтому уравнение геодезической у на поверхности ЛХ имеет вид: Итак, имеет место следующий результат. Теорема 5.1 Кривая ч на двумерной поверхности ЛХ в Из являепюя геодезической, если и только если ее вектор ускорения как кривой в йг перпендикулярен поверхности М в каждой гаочке. Следствие 5.4 Меридиан любой поверхности вращения геодезическая. Из этого следствия и теоремы существования и единственности немедленно получаеьь Следствие 5.5 Геодезические на стандартной сфере Яг зто большпе круги (т.е.
пересеченил сферы с плоскостями, проходящими через ее центр) и их отрезки. Еще одно следствие теоремы. Следствие 5.6 Если две поверхности касаются вдоль кривой у, и 9 являетсл геодезической на одной из поверхностей, то з также является геодезической и для другой поверхности. Пример. Изучим геодезические на поверхности вращения, заданной в ев- клидовом пространстве йз парамстрически так: х(~р,г) = Де)совьз, у(~р,г) = Д(г)яшьо, г(ш,г) = г, где Дг) строго положительная гладкая функция. Поскольку канонический репер имеет вид д„= ( — Х(г) вш ьо, Х(г) сог д, О), д, = (Х'(г) соя:р, Х'(г) сйп ьо, 1), Геодезические 110 первая квадратичная форма поверхности вращения записывается так: ))г з ( ( ~ )г) Вектор нормали к поверхности вращения найдем как нормированное век- торное произведение векторов канонического репера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
