А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Стереографическая проекция псевдосферы. Метрика Лобачевского в модели Пуанкаре на единичном круге.Первый способ глобальной параметризации плоскости Лобачевского состоит в следующем. Рассмотрим произвольную точку P псевдосферы и проведем через нее прямую,проходящую через точку (−1, 0, 0) (полюс нижней полости гиперболоида). Эта прямая пересечет плоскость (e1 , e2 ) в единственной точке P ′ , причем эта точка будет лежать внутриединичного круга на этой плоскости (т.е. ее координаты (x1 , x2 ) удовлетворяют неравенству x21 + x22 < 1) — евклидов угол прямой P P ′ с осью e0 меньше π/4 (см.
Рис. 7). Обратно,для всякой точки P ′ , лежащей внутри единичного круга на плоскости e1 , e2 , прямая, проходящая через P ′ и точку (−1, 0, 0), пересечет псевдосферу в единственной точке P . Таким образом, мы получили взаимно однозначное соответствие между точками плоскостиЛобачевского и точками единичного круга на плоскости (e1 , e2 ); такое отображение псевдосферы в плоскость называется стереографической проекцией. Будем задавать каждуюРис. 7точку P псевдосферы координатами (x1 , x2 ) ее стереографической проекции P ′ ; тем самым мы получили глобальную параметризацию псевдосферы, причем параметризующие78координаты меняются в единичном круге.
Вычислим метрический тензор (первую квадратичную форму) плоскости Лобачевского в эти координатах. Для этого сначала рассмотримна плоскости (x1 , x2 ) полярные координаты (ρ, φ), для которых x1 = ρ cos φ, x2 = ρ sin φ.Из Рис. 7 видно, что координаты (ρ, φ) связаны с исходными (u, v) по формулам:φ = v,ρ = sh u/(1 + ch u)(треугольник AP Q подобен треугольнику AP ′ O). Применяя формулу преобразования первой квадратичной формы при замене координат получим после прямого вычисления матрицу метрического тензора в координатах (ρ, φ) (докажите!):41 0eG=,(1 − ρ2 )2 0 ρ2или:ds2 =4(dρ2 + ρ2 dφ2 ).(1 − ρ2 )2Наконец, переходя от полярных координат (ρ, φ) к декартовым (x1 , x2 ), получим матрицупервой квадратичной формы в этих координатах:441 0G1 ==E,22 220 1(1 − (x1 + x2 ))(1 − (x1 + x22 ))2или:ds2 =4(1 −(x21+ x22 ))2(dx21 + dx22 ).Определение 1.
Внутренность единичного круга x21 + x22 < 1 на плоскости (x1 , x2 ) с первойквадратичной формой G1 называется моделью Пуанкаре (точнее, моделью Пуанкаре вединичном круге) плоскости Лобачевского.Замечание 1. После того, как первая квадратичная форма вычислена, мы можем забытьпро псевдосферу и изучать только геометрические объекты, живущие в единичном круге. Таким образом, мы свели все задачи геометрии Лобачевского к задачам планиметриисо специальным образом определенным (неевклидовым) скалярным произведением. § 3.
Комплексные координаты и комплексная запись первой квадратичной формы.При изучении моделей Пуанкаре удобно пользоваться комплексным языком. Именно, будем представлять себе плоскость (x1 , x2 ) как комплексную плоскость, т.е. для каждой точки рассмотрим комплексное число w = x1 + ix2 и комплексно-сопряженное емуw̄ = x1 − ix2 . Эти числа называются комплексными (точнее, комплексно-сопряженными)координатами точки (x1 , x2 ). Далее, в каждой касательной плоскости к плоскости Лобачевского рассмотрим принимающие комплексные значения линейные функционалы dw иdw̄, определенные формулами dw = dx1 + idx2 , dw̄ = dx2 + idx1 (напомним, что функционалы dx1 и dx2 образуют базис, двойственный к базису на касательной плоскости,порожденному координатами x1 , x2 , см. Лекцию 3).
Ясно, что:1dx1 = (dw + dw̄),2dx2 =1(dw − dw̄),2i(x21 + x22 ) = w w̄ = |w|2.Подставляя эти формулы в полученное выше выражение для метрики плоскости Лобачевского, получим:ds2 =4(1 −(x21+x22 ))2(dx21 + dx22 ) =794dwdw̄.(1 − |w|2)2§ 4. Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости.Наряду с моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского в единичном круге используется и другая модель Пуанкаре — модель на верхней полуплоскости. Она строится следующим образом.
Рассмотрим дробно-линейное преобразование комплексной плоскости:w 7→ z = i1−w.1+wПри этом преобразовании единичный круг |w| < 1 взаимно однозначно отображается наверхнюю полуплоскость Im z > 0 (докажите!). Таким образом, комплексные координатыz, z̄ (или вещественные x, y, z = x + iy, y > 0) определяют новые параметры на единичном круге, а значит, и на плоскости Лобачевского. Запишем в этих новых координатахметрический тензор геометрии Лобачевского. Прямое вычисление дает:ds2 = −dx2 + dy 24dzdz̄=(z − z̄)2y2(докажите!).
Верхняя полуплоскость y > 0 с заданной этой формулой первой квадратичной формой называется моделью Пуанкаре (на верхней полуплоскости) плоскостиЛобачевского.§ 5. Углы в модели Пуанкаре.Заметим, что матрица первой квадратичной формы в любой модели Пуанкаре скалярна, т.е. пропорциональна единичной матрице (в вещественных координатах x, y илиx1 , x2 ).
Поэтому угол в геометрии Лобачевского между любыми двумя кривыми равеневклидовому углу между этими кривыми на плоскости с декартовыми координатамиx1 , x2 или x, y. Действительно, скалярное произведение любых двух векторов, приложенных в одной точке плоскости Лобачевского, равно их евклидовому скалярному произведению, умноженному на коэффициент, зависящий только от точки приложения векторов,но не от них самих (этот коэффициент равен 4/(1 − (x21 + x22 ))2 в единичном круге и 1/y 2 вверхней полуплоскости). Поэтому в формуле для косинуса угла указанный коэффициентсокращается — на него умножается и числитель и знаменатель дроби.§ 6. Геодезические в модели Пуанкаре.Найдем геодезические в модели Пуанкаре в единичном круге.Теорема 1.
Геодезическими в модели Пуанкаре в единичном круге являются диаметрыкруга и дуги окружности, пересекающие его границу (т.е. единичную окружность) подпрямым углом (см. Рис. 8a).Рис. 8aДоказательство. Ясно, что геодезические в рассматриваемой модели — это ровно те кривые, в которые переходят при стереографической проекции геодезические модели на псевдосфере, т.е. сечения гиперболоида плоскостями, проходящими через начало координат.80Если (a, b, c) — вектор нормали к такой плоскости, то соответствующая геодезическая впсевдосферических координатах (u, v) задается уравнением:a ch u + b sh u cos v + c sh u sin v = 0.Подставим в это уравнение явные формулы стереографической проекции (см. § 1.), предварительно поделив его на 1 + ch u замечая, что:ch u =получаем:aρ2 + 1,1 − ρ21 + ch u =2,1 − ρ2ρ2 + 1+ b ρ cos φ + cρ sin φ = 0,2или:a(x21 + x22 + 1) + 2bx1 + 2cx2 = 0.Если a = 0, последнее уравнение определяет диаметр круга;p если a 6= 0, это — окружностьс центром в точке x1 = −b/a, x2 = −c/a и радиусом R = (b/a)2 + (c/a)2 − 1.
Из последних формул немедленно следует, что треугольник с вершинами в центре рассматриваемойокружности, центре единичной окружности (т.е. начале координат) и точке пересеченияэтих двух окружностей, удовлетворяет теореме Пифагора: квадрат расстояния между центрами равен сумме квадратов радиусов окружностей. Поэтому геодезическая пересекаетграницу единичного круга под прямым углом.Геодезические на верхней полуплоскости получаются из только что указанных кривых в результате применения дробно-линейного преобразования w 7→ z = i(1 − w)/(1 + w),которое переводит единичную окружность |w| = 1 в вещественную ось Im z = 0.Задача 1.
Докажите, что любое дробно-линейное преобразование переводит окружностив окружности (прямые считаются частным случаем окружностей — “окружности бесконечного радиуса”) и сохраняет углы между кривыми.Из результатов этой задачи следует, что геодезические на верхней полуплоскости —это прямые и дуги окружностей, пересекающие вещественную ось под прямым углом, т.е.вертикальные прямые и полуокружности с центром на вещественной оси (см. Рис. 8b).Рис.
8b§ 7. Изометрии в модели Пуанкаре.Реализация плоскости Лобачевского как поверхности псевдосферы была удобна тем,что позволяла без труда найти много ее изометрий — это были ортохронные преобразования Лоренца. В моделях Пуанкаре изометрии, конечно, выглядят по-другому — оказывается, это дробно-линейные преобразования комплексной плоскости.81Теорема 2. Преобразования вида:z 7→az + b,cz + da, b, c, d ∈ R,ad − bc > 0и вида:az̄ + b, a, b, c, d ∈ R, ad − bc < 0cz̄ + dявляются изометриями плоскости Лобачевского, реализованной как модель Пуанкаре наверхней полуплоскости.z 7→Доказательство. Заметим, что любое преобразование указанного вида является композицией преобразований сдвига вдоль вещественной оси T (a) : z 7→ z + a, a ∈ R, гомотетии H(λ) : z 7→ λz, λ ∈ R , λ > 0, осевой симметрии S : z 7→ −z̄ и инверсииI : z 7→ 1/z̄.
Действительно, если c 6= 0 то преобразование z 7→ (az + b)/(cz + d) имеет вид T (a/c)H((ad − bc)/c2 )SIT (d/c), а преобразование z 7→ (az̄ + b)/(cz̄ + d) имеет видT (a/c)H((bc−ad)/c2 )IT (d/c). Если же c = 0, то преобразования имеют вид T (b/d)H(a/d) иT (b/d)H(−a/d)S соответственно (докажите!). Таким образом, достаточно проверить, чтосдвиги, гомотетии, осевые симметрии и инверсии являются изометриями. Для сдвигов,гомотетий и осевых симметрий это очевидно; для преобразования I проверяется элементарным вычислением.Задача 2. Доказать, что указанными преобразованиями исчерпывается вся группа изометрий плоскости Лобачевского.Ясно, что из доказанного утверждения легко получить запас изометрий плоскостиЛобачевского, реализованной как единичный круг (модель Пуанкаре): для этого надо посмотреть, какие преобразования единичного круга порождают изометрии верхней полуплоскости при отображении z 7→ w = (i − z)(i + z).82Задачи.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
