А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если мировая линия — прямая, наблюдатель называется инерциальным. Любые две времениподобные прямые можно совместитьпреобразованием Лоренца; таким образом, такие преобразования описывают пересчет пространственных и временных координат у разных инерциальных наблюдателей. Пусть имеется два инерциальных наблюдателя; обозначим через e0 и e′0 единичные направляющиевекторы их мировых линий (мы считаем, что эти времениподобные векторы одинаковоориентированы во времени). Точки, лежащие на прямых, проходящих через эти векторы,(а также на сонаправленных прямых) изображают события, происходящие для данногонаблюдателя в одном и том же месте, но в разные моменты времени.
Плоскость размерности n, ортогональная мировой линии наблюдателя, состоит из событий, произошедших,с его точки зрения, одновременно, но в разных местах.Простейшие свойства пространства Минковского приводят к важным с физическойточки зрения выводам. Перечислим наиболее известные из этих выводов.Вывод 1. Относительность одновременности.Рассмотрим два события, которые с точки зрения первого — “нештрихованного” —наблюдателя произошли одновременно. Это означает, что вектор ξ, соединяющий соответствующие точки пространства Минковского, ортогонален e0 .
Ясно, что такой вектор,вообще говоря, не будет ортогонален e′0 , т.е. с точки зрения второго наблюдателя данныедва события одновременными не являются.Вывод 2. Замедление времени.Рассмотрим часы первого наблюдателя; пусть он дважды посмотрел на эти часы иобнаружил, что прошел промежуток времени ∆t. Формально это означает, что мы рассматриваем два события, которые лежат на прямой, проходящей через вектор e0 , причемдлина времениподобного вектора ξ, соединяющего эти точки, равна c∆t :p−(ξ, ξ) = c∆t.С точки зрения второго (“штрихованного”) наблюдателя, рассматриваемые события произошли, вообще говоря, в разных местах (вектор ξ не параллелен e′0 ); чтобы найти промежуток времени между ними, надо разложить вектор ξ на параллельную и ортогональную e′0 составляющие и найти длину параллельной составляющей:p∆t ′ = −(ξ ′ , ξ ′), где ξ = ξ ′ + η ′ , (η ′ , ξ ′) = 0.70Вектор η ′ пространственноподобен (η ′ , η ′) > 0, поэтому:−(ξ, ξ) = −(ξ ′ , ξ ′ ) − (η ′ , η ′ ) < −(ξ ′ , ξ ′ ),откуда сразу следует, что:∆t′ > ∆t.Таким образом, с точки зрения второго наблюдателя часы первого идут медленнее, чем сего собственной точки зрения; отметим, что для первого наблюдателя его часы неподвижны, поэтому наш вывод можно сформулировать так: движущиеся часы по сравнению снеподвижными замедляют ход.Вывод 3.
Сокращение длин.Рассмотрим твердый предмет (например, стержень), который с точки зрения первого наблюдателя неподвижен; пусть с его же точки зрения длина стержня равна l. С точкизрения второго наблюдателя этот стержень движется; для того, чтобы найти его длину l′ ,рассмотрим два события, которые произошли с точки зрения второго наблюдателя одновременно в тех точках, в которых находятся концы нашего стержня. Евклидоваp длина′пространственноподобного вектора η , соединяющего эти два события (т.е. число (η ′ , η ′ ))и будет длиной l′ нашего стержня с точки зрения второго наблюдателя.
Сравним числа lи l′ ; для этого заметим, что, с точки зрения первого наблюдателя, события, соединенныевектором η ′ , также произошли в точках, соответствующих концам стержня, хотя и в разные моменты времени. Но, поскольку для первого наблюдателя стержень покоится, этаразница во времени не играет роли — длина стержня все равно равна евклидовой длинепространственной (с точки зрения первого наблюдателя) компоненты вектора η ′ ; другимисловами:pl = (η, η), где η ′ = η + ξ, (η, ξ) = 0,и времениподобный вектор ξ параллелен e0 . Поскольку:(η ′ , η ′ ) = (η, η) + (ξ, ξ) < (η, η),длина l′ нашего стержня с точки зрения второго наблюдателя меньше, чем длина l этого же стержня с точки зрения первого наблюдателя.
Другими словами, стержень имеетмаксимальную длину для тех наблюдателей, для которых он покоится; при переходе в“движущуюся систему отсчета” длина сокращается.Вывод 4. Парадокс близнецов.Пусть два близнеца расстались (время и место расставания примем за начало координат); после этого один из них двигался инерциально от точки 0 до точки ξ + η (можно,например, считать, что он покоился), а другой двигался сначала от нуля до ξ, а затем отξ до ξ + η; в этой точке их мировые линии пересеклись, т.е. они встретились. Здесь ξ, ηи ξ + η — времениподобные векторы.
Собственное время неподвижного брата (т.е. время,| ξ + η|, а собственное время летавшепрошедшее по его часам) будет при встрече равноc| ξ| + |η|го брата —. Согласно неравенству треугольника для времениподобных векторов,cпервое время больше, так что близнец, сидевший дома, может сильно состариться, в товремя как близнец-путешественник будет еще молодым. Отметим, что братья, конечно,находятся не в симметричной ситуации: мировая линия путешественника не прямая, а ломаная, так что он не инерциален. Другими словами, чтобы вернуться в исходную точку,ему придется двигаться с ускорением (например, он может включить двигатели своегокосмического корабля около 0 и около ξ с тем, чтобы сначала улететь от брата, а затемвернуться к нему).7110 Лекция 10.
Векторная модель геометрии Лобачевского§ 1. Введение.Геометрия Лобачевского возникла из желания доказать (исходя из остальных аксиом планиметрии) пятый постулат Евклида, который утверждает, что через каждую точкуплоскости, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельнаяданной. Попытки доказать это утверждение “от противного” не приводили к противоречию; напротив, возникла своеобразная и красивая теория, отличающаяся от геометрииЕвклида. Важный вопрос о непротиворечивости этой теории был разрешен после появления моделей геометрии Лобачевского, позволивших полностью описать ее в терминахалгебры, анализа и обычной геометрии. В этом параграфе мы рассмотрим одну из основных моделей плоскости Лобачевского — векторную модель.§ 2. Псевдосфера в пространстве Минковского.Рассмотрим трехмерное пространство Минковского R21 и зафиксируем в нем ортонормированный базис e0 , e1 , e2 ; координаты в этом базисе будем обозначать x0 , x1 , x2 .
Геометрия Лобачевского реализуется на поверхности в этом пространстве, называемой псевдосферой.Определение 1. Псевдосферой в пространстве Минковского называется поверхность, заданная уравнением (ξ, ξ) = −1.В координатах x0 , x1 , x2 уравнение псевдосферы имеет вид −x20 + x21 + x22 = −1; еслипредставлять себе эти координаты как координаты в обычном трехмерном пространстве,то псевдосфера — это двуполостный гиперболоид. Ясно, что все точки псевдосферы (точнее, их радиус-векторы) времениподобны, так что этот гиперболоид лежит целиком внутрисветового конуса. В дальнейшем мы будем рассматривать только одну половину псевдосферы, а именно ту, для которой x0 > 0 (соответствующие радиус-векторы ориентированыво времени так же, как вектор e0 ).§ 3. Касательная плоскость к псевдосфере и метрика Лобачевского.Геометрия на всякой поверхности начинается с рассмотрения касательной плоскости, т.е.
пространства векторов скоростей кривых, лежащих на поверхности. Рассмотримпроизвольную кривую ξ = ξ(t), лежащую на псевдосфере. Дифференцируя равенство(ξ(t), ξ(t)) = −1, получим, что (ξ ′, ξ) = 0, т.е. вектор скорости любой кривой, лежащей напсевдосфере, ортогонален радиус-вектору. Отсюда, в частности, следует, что скалярныйквадрат любого касательного вектора к псевдосфере положителен, т.е. все касательныеплоскости пространственноподобны (докажите!).
Это обстоятельство играет важнейшуюроль в построении геометрии Лобачевского — пользуясь им, мы можем определить напсевдосфере длины кривых, углы между ними, ковариантные производные, параллельныйперенос и геодезические совершенно аналогично тому, как это делалось для поверхностейв евклидовом пространстве.Определение 2. Список основных понятий:1.
Длиной касательного вектораp η к псевдосфере называется квадратный корень из егоскалярного квадрата: |η| = (η, η).2. Углом между двумя касательными векторами η, ζ (в одной и той же точке) к псевдосфере называется число α, вычисляемое по формуле:cos α =72(η, ζ).|η||ζ|3. Длиной дуги между точками t1 , t2 , t1 < t2 кривой ξ = ξ(t), лежащей на псевдосфере,называется интеграл от длины ее вектора скорости:Z t2l=|ξ ′ (t)|dt.t14. Углом между пересекающимися кривыми на псевдосфере называется угол междувекторами скорости к этим кривым в точке их пересечения.5. Векторные поля на псевдосфере определяются совершенно аналогично векторнымполям на поверхностях в евклидовом пространстве.
Если u, v — координаты на псевдосфере (например, приведенные ниже псевдосферические координаты), то произвольное гладкое векторное поле η задается парой гладких функций η 1 (u, v), η 2(u, v).Ковариантные производные векторных полей и семейств касательных векторов определяются точно так же, как это было сделано в Лекции 4 для поверхностей в евклидовом пространстве RN (т.е. с помощью ортогональной проекции на касательнуюплоскость); формулы (3) этой лекции для символов Кристоффеля остаются справедливыми (докажите!).6.
Параллельный перенос касательных векторов и геодезические на псевдосфере определяются точно так же, как на поверхностях в RN ; уравнения геодезических (3)сохраняют свой вид.Таким образом, на псевдосфере пространства Минковского возникает геометрия,аналогичная геометрии на поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.Определение 3.
Эта геометрия называется геометрией Лобачевского, а сама псевдосфера — плоскостью Лобачевского (точнее, ее векторной моделью).Все перечисленные геометрические структуры вычисляются через коэффициентыпервой квадратичной формы; найдем их для плоскости Лобачевского. Запишем параметрические уравнения псевдосферы (как поверхности вращения гиперболы x20 −x21 = 1 вокругоси x0 ) в виде ξ = (ch u, sh u cos v, sh u sin v). Стандартное вычисление приводит к следующему выражению для матрицы первой квадратичной форму плоскости Лобачевского вэтих координатах:10G=.0 sh2 u§ 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
