Главная » Просмотр файлов » А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии

А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 18

Файл №1117961 А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии) 18 страницаА.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961) страница 182019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Геодезические и изометрии плоскости Лобачевского.Найдем геодезические на плоскости Лобачевского. Оказывается, они похожи на большие круги сферы.Теорема 1. Геодезическими на плоскости Лобачевского являются кривые, получающиесяпересечением псевдосферы плоскостями, проходящими через начало координат, и толькоони.Доказательство.

Из определения ковариантной производной на плоскости Лобачевскогоследует, что геодезические — это кривые, ускорение которых ортогонально псевдосфере, если параметр натуральный; пересечения псевдосферы с плоскостями, проходящимичерез начало координат, как раз и обладают этим свойством (действительно, ускорениеортогонально скорости, а скорость такой кривой ортогональна радиус–вектору, поэтомуускорение этому вектору параллельно).

То, что других геодезических нет, проверятся так73же, как для сферы — через каждую точку гиперболоида и любой касательный векторв этой точке можно провести плоскость, проходящую через начало координат (эта плоскость натянута на касательный вектор и радиус-вектор точки); линия пересечения этойплоскости с псевдосферой будет той единственной геодезической, которая проходит черезданную точку в данном направлении.Замечание 1. Таким образом, геодезические на псевдосфере находятся во взаимно-однозначномсоответствии с гиперболическими плоскостями; поэтому многие факты геометрии Лобачевского, касающиеся геодезических, вытекают из линейной алгебры пространстваМинковского (точнее, из свойств двумерных гиперболических подпространств в R21 ).

Изучение геометрии на сфере показывает, что наличие большого числа изометрийиграет важную роль — с их помощью можно устанавливать многие геометрические факты,не прибегая к явным вычислениям в координатах. Оказывается, плоскость Лобачевского,так же как сфера и евклидова плоскость, допускает много изометрий.Теорема 2.

Группа изометрий плоскости Лобачевского изоморфна группе ортохронныхпреобразования Лоренца пространства R21 .Доказательство. Действительно, ясно, что любое преобразование Лоренца в R21 , оставляющее псевдосферу на месте (т.е. ортохронное), будет изометрией плоскости Лобачевского.Далее, если ξ, η радиус–векторы двух точек псевдосферы, а e1 , e2 и f1 , f2 — ортонормированные реперы в касательных плоскостях к псевдосфере в этих точках, всегда найдетсяортохронное преобразование Лоренца, переводящее тройку ξ, e1 , e2 в тройку η, f1 , f2 (этоследует из того, что каждая такая тройка определяет ортонормированный базис в пространстве Минковского R21 ). Отсюда, как и при доказательстве соответствующей теоремыдля евклидовой плоскости, следует, что других изометрий плоскости Лобачевского, кромеортохронных преобразований Лоренца, нет.§ 5.

Нарушение аксиомы параллельных.Убедимся в том, что на плоскости Лобачевского нарушается пятый постулат Евклида. Для этого рассмотрим на ней геодезическую (гиперболу) l : x2 = 0 и точку P срадиус-вектором ξ, лежащую в плоскости x1 = 0 (см. Рис. 6). Ясно, что геодезическая l0 ,Рис. 6получающаяся пересечением псевдосферы с плоскостью, проходящей через векторы ξ и e1 ,проходит через P и параллельна l: плоскости, в которой лежат эти две кривые пересекаются по оси e1 , которая не имеет общих точек с псевдосферой, а значит, и с кривыми l, l0 .Будем теперь поворачивать плоскость вокруг вектора ξ. Линия пересечения повернутойплоскости с плоскостью x2 = 0 — прямая, лежащая в плоскости x2 = 0 (рис.

6). Приповороте эта прямая (которая изначально совпадала с осью e1 ), будет поворачиваться;ясно однако, что до тех пор, пока она не попадет на световой конус, т.е. ее направляющий74вектор не станет равным e1 + e0 , указанная прямая не будет пересекаться с псевдосферой. Поэтому все линии пересечения поворачиваемых плоскостей с псевдосферой будутоставаться параллельными l; таких геодезических, очевидно, бесконечно много: все онирасположены между двумя предельными геодезическими l1 , l2 (геодезическая l1 лежит вплоскости векторов ξ и e1 + e0 , а геодезическая l2 — в плоскости векторов ξ и e0 − e1 ).Замечание 2.

Очевидно, две произвольные геодезические на плоскости Лобачевского будутпараллельными (т.е. не будут пересекаться) тогда и только тогда, когда прямая пересечения определяющих их двумерных плоскостей пространственноподобна или изотропна.Нарушение аксиомы параллельных поэтому следует из следующего простого факта линейной алгебры R21 : для данной гиперболической плоскости L и данного не лежащего вней времениподобного вектора ξ существует бесконечно много двумерных гиперболических плоскостей, проходящих через ξ и пересекающихся с L по пространственноподобнойпрямой — они натянуты на вектор ξ и произвольный пространственноподобный векториз L.

§ 6. Расстояние.Через любые две точки плоскости Лобачевского проходит ровно одна геодезическая — она лежит в плоскости, проходящей через эти точки и начало координат.Определение 4. Расстоянием между двумя точками плоскости Лобачевского называетсядлина дуги геодезической, заключенной между этими точками.Оказывается, расстояние можно определить по формуле, очень похожей на соответствующую формулу сферической геометрии.Утверждение 1. Расстояние ρ между двумя точками с радиус-векторами ξ1 , ξ2 удовлетворяет равенству ch ρ = −(ξ1 , ξ2).Доказательство.

Утверждение инвариантно относительно изометрий плоскости Лобачевского. Поэтому достаточно проверить его для двух точек, лежащих на геодезическойx2 = 0 (любую другую можно перевести в эту изометрией). В координатах (u, v) этагеодезическая задается уравнениями u = u, v = 0; пусть координаты точек u = u1 , v = 0 иu = u2 , v = 0 соответственно. Вычисляя длину дуги геодезической между этими точками,получим:Zu2ρ=u1du = u2 − u1(касательный вектор к геодезической имеет вид (1, 0); матрица первой квадратичной формы приведена выше). С другой стороны, векторы ξ1 , ξ2 , очевидно, имеют вид:ξj = (ch uj , sh uj , 0),поэтому:(ξ1 , ξ2) = − ch u1 ch u2 + sh u1 sh u2 = − ch(u2 − u1 ),откуда немедленно следует требуемая формула.§ 7.

Окружности.Определение 5. Окружностью с центром в точке P радиуса a на плоскости Лобачевскогоназывается множество точек, находящихся на расстоянии a от точки P .Оказывается, формула для длины окружности также напоминает соответствующуюформулу сферической геометрии.75Утверждение 2. Длина l окружности радиуса a на плоскости Лобачевского равна:l = 2π sh a.Доказательство. Утверждение инвариантно относительно изометрий, поэтому его достаточно проверить для окружности с центром в точке (1, 0, 0). Такая окружность, очевидно,является евклидовой окружностью (параллелью псевдосферы); в координатах (u, v) оназадается уравнениями u = a, v = v, v ∈ [0, 2π] (см. предыдущий пункт). Касательныйвектор к ней имеет координаты (0, 1) и его длина равна sh a (см.

выражение для первойквадратичной формы). Таким образом, длина окружности l равна:l=Z2πsh a dv = 2π sh a.0Задача 1. Как выглядит произвольная окружность на плоскости Лобачевского?§ 8. Треугольники.Треугольники на плоскости Лобачевского определяются обычным способом — рассматриваем произвольные три точки A, B, C и соединяем их попарно дугами геодезических. Формулы решения треугольников и признаки их равенства в геометрии Лобачевского похожи на соответствующие утверждения сферической геометрии.Утверждение 3 (Теорема косинусов).

Пусть a, b, c — длины сторон треугольника на плоскости Лобачевского, а α, β, γ — противолежащие им углы. Тогда имеет место равенство:ch a = ch b ch c − sh b sh c cos α.Задача 2. Доказать это утверждение.Указание. Доказательство аналогично доказательству сферической теоремы косинусов(см. Лекцию 8).Задача 3. Доказать на плоскости Лобачевского теорему синусов:sinαsinβsinγ==.sh ash bsh cУказание.

Она получается из теоремы косинусов алгебраической выкладкой (срав. с аналогичным утверждением из Лекции 8).Как и в сферической геометрии, в геометрии Лобачевского углы треугольника определяют его стороны. Соответствующая формула также называется двойственной теоремойкосинусов.Утверждение 4 (Двойственная теорема косинусов).cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ ch a.76Доказательство. На плоскости Лобачевского нет полярных треугольников, поэтому длядоказательства двойственной теоремы косинусов приходится применять алгебраическиевычисления (это можно сделать и на сфере, но там проще воспользоваться полярной конструкцией). Выразим косинусы углов через стороны треугольника из теоремы косинусов.Получим:sh2 a(ch b ch c − ch a) + (ch a ch c − ch b)(ch a ch b − ch c)cos α + cos β cos γ =.sh2 a sh b sh cРаскрывая в числителе скобки и выражая гиперболический синус через косинус, получим:1 + 2 ch a ch b ch c − ch2 a − ch2 b − ch2 c.sh2 a sh b sh cС другой стороны, из той же теоремы косинусов получаем:r ch b − ch a ch c 2sin β = 1 −.sh a sh cРаскрывая скобки под квадратным корнем и выражая в числителе гиперболический синусчерез косинус, получим:p1 + 2 ch a ch b ch c − ch2 a − ch2 b − ch2 csin β =.sh a sh cАналогично:p1 + 2 ch a ch b ch c − ch2 a − ch2 b − ch2 c.sin γ =sh a sh bПеремножая два последних равенства и сравнивая с выражением для cos α + cos β cos γ,получим требуемую формулу.cos α + cos β cos γ = ch aЗамечание 3.

Из выписанных формул следуют признаки равенства треугольников, аналогичные полученным выше в сферической геометрии. Именно, назовем два треугольникана плоскости Лобачевского равными, если их можно перевести один в другой изометрией. Очевидно, имеют место следующие признаки равенства треугольников:a) по трем сторонам;b) по двум сторонам и углу между ними;c) по стороне и двум прилежащим к ней углам;d) по трем углам.(последний признак не имеет аналога в евклидовом случае, но справедлив в сферическом)Замечание 4.

Если линейные размеры (радиус окружности, стороны треугольника и т.д.)стремятся к нулю, все формулы геометрии Лобачевского переходят в соответствующиеформулы евклидовой геометрии (докажите!). Замечание 5. Если в формулах сферической геометрии формально заменить радиус сферы R на мнимую единицу i, то эти формулы перейдут в соответствующие формулыгеометрии Лобачевского (убедитесь в этом на примере формул из Лекции 8). Такимобразом, геометрия Лобачевского — это геометрия на сфере мнимого радиуса! Конечно,такое утверждение не имеет строгого математического смысла; его реальное содержание состоит в том, что геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере (ξ, ξ) = −1.7711 Лекция 11.

Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского§ 1. Введение.В предыдущей лекции мы ввели на плоскости Лобачевского координаты (u, v), аналогичные широте и долготе на сфере. Эти координаты обладают те же самым недостатком,что и сферические — они вырождаются в полюсе псевдосферы — точке (1, 0, 0) (эта единственная точка в координатах (u, v) задается целым полуинтервалом u = 0, v — любое).В сферической геометрии такой недостаток неустраним: не существует глобальных координат на всей сфере, пробегающих открытую область плоскости.

В случае псевдосферыэто не так: ее можно параметризовать глобально. Это обстоятельство удобно тем, что втаких глобальных координатах все точки плоскости Лобачевского изображаются точкамиодной области на обычной плоскости, поэтому и все утверждения геометрии Лобачевскогоможно переформулировать в терминах планиметрии (т.е. вовсе не обращаясь к трехмерному пространству Минковского). Отметим, что это, конечно, не означает, что геометрияЛобачевского и геометрия на обычной плоскости устроены одинаково (мы уже видели,что это совсем не так); дело в том, что при изображении точек плоскости Лобачевского точками обычной плоскости все длины “искажаются”, т.е. расстояния задаются совсемдругими формулами, чем в евклидовой геометрии, а потому и геометрические теоремыоказываются иными.Существуют разные способы изображения геометрии Лобачевского точками плоскости; в следующем параграфе мы обсудим две такие модели (которые имеют так многообщего, что часто рассматриваются как два варианта одной модели) — так называемыемодели Пуанкаре.§ 2.

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6374
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее