А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Геодезические и изометрии плоскости Лобачевского.Найдем геодезические на плоскости Лобачевского. Оказывается, они похожи на большие круги сферы.Теорема 1. Геодезическими на плоскости Лобачевского являются кривые, получающиесяпересечением псевдосферы плоскостями, проходящими через начало координат, и толькоони.Доказательство.
Из определения ковариантной производной на плоскости Лобачевскогоследует, что геодезические — это кривые, ускорение которых ортогонально псевдосфере, если параметр натуральный; пересечения псевдосферы с плоскостями, проходящимичерез начало координат, как раз и обладают этим свойством (действительно, ускорениеортогонально скорости, а скорость такой кривой ортогональна радиус–вектору, поэтомуускорение этому вектору параллельно).
То, что других геодезических нет, проверятся так73же, как для сферы — через каждую точку гиперболоида и любой касательный векторв этой точке можно провести плоскость, проходящую через начало координат (эта плоскость натянута на касательный вектор и радиус-вектор точки); линия пересечения этойплоскости с псевдосферой будет той единственной геодезической, которая проходит черезданную точку в данном направлении.Замечание 1. Таким образом, геодезические на псевдосфере находятся во взаимно-однозначномсоответствии с гиперболическими плоскостями; поэтому многие факты геометрии Лобачевского, касающиеся геодезических, вытекают из линейной алгебры пространстваМинковского (точнее, из свойств двумерных гиперболических подпространств в R21 ).
Изучение геометрии на сфере показывает, что наличие большого числа изометрийиграет важную роль — с их помощью можно устанавливать многие геометрические факты,не прибегая к явным вычислениям в координатах. Оказывается, плоскость Лобачевского,так же как сфера и евклидова плоскость, допускает много изометрий.Теорема 2.
Группа изометрий плоскости Лобачевского изоморфна группе ортохронныхпреобразования Лоренца пространства R21 .Доказательство. Действительно, ясно, что любое преобразование Лоренца в R21 , оставляющее псевдосферу на месте (т.е. ортохронное), будет изометрией плоскости Лобачевского.Далее, если ξ, η радиус–векторы двух точек псевдосферы, а e1 , e2 и f1 , f2 — ортонормированные реперы в касательных плоскостях к псевдосфере в этих точках, всегда найдетсяортохронное преобразование Лоренца, переводящее тройку ξ, e1 , e2 в тройку η, f1 , f2 (этоследует из того, что каждая такая тройка определяет ортонормированный базис в пространстве Минковского R21 ). Отсюда, как и при доказательстве соответствующей теоремыдля евклидовой плоскости, следует, что других изометрий плоскости Лобачевского, кромеортохронных преобразований Лоренца, нет.§ 5.
Нарушение аксиомы параллельных.Убедимся в том, что на плоскости Лобачевского нарушается пятый постулат Евклида. Для этого рассмотрим на ней геодезическую (гиперболу) l : x2 = 0 и точку P срадиус-вектором ξ, лежащую в плоскости x1 = 0 (см. Рис. 6). Ясно, что геодезическая l0 ,Рис. 6получающаяся пересечением псевдосферы с плоскостью, проходящей через векторы ξ и e1 ,проходит через P и параллельна l: плоскости, в которой лежат эти две кривые пересекаются по оси e1 , которая не имеет общих точек с псевдосферой, а значит, и с кривыми l, l0 .Будем теперь поворачивать плоскость вокруг вектора ξ. Линия пересечения повернутойплоскости с плоскостью x2 = 0 — прямая, лежащая в плоскости x2 = 0 (рис.
6). Приповороте эта прямая (которая изначально совпадала с осью e1 ), будет поворачиваться;ясно однако, что до тех пор, пока она не попадет на световой конус, т.е. ее направляющий74вектор не станет равным e1 + e0 , указанная прямая не будет пересекаться с псевдосферой. Поэтому все линии пересечения поворачиваемых плоскостей с псевдосферой будутоставаться параллельными l; таких геодезических, очевидно, бесконечно много: все онирасположены между двумя предельными геодезическими l1 , l2 (геодезическая l1 лежит вплоскости векторов ξ и e1 + e0 , а геодезическая l2 — в плоскости векторов ξ и e0 − e1 ).Замечание 2.
Очевидно, две произвольные геодезические на плоскости Лобачевского будутпараллельными (т.е. не будут пересекаться) тогда и только тогда, когда прямая пересечения определяющих их двумерных плоскостей пространственноподобна или изотропна.Нарушение аксиомы параллельных поэтому следует из следующего простого факта линейной алгебры R21 : для данной гиперболической плоскости L и данного не лежащего вней времениподобного вектора ξ существует бесконечно много двумерных гиперболических плоскостей, проходящих через ξ и пересекающихся с L по пространственноподобнойпрямой — они натянуты на вектор ξ и произвольный пространственноподобный векториз L.
§ 6. Расстояние.Через любые две точки плоскости Лобачевского проходит ровно одна геодезическая — она лежит в плоскости, проходящей через эти точки и начало координат.Определение 4. Расстоянием между двумя точками плоскости Лобачевского называетсядлина дуги геодезической, заключенной между этими точками.Оказывается, расстояние можно определить по формуле, очень похожей на соответствующую формулу сферической геометрии.Утверждение 1. Расстояние ρ между двумя точками с радиус-векторами ξ1 , ξ2 удовлетворяет равенству ch ρ = −(ξ1 , ξ2).Доказательство.
Утверждение инвариантно относительно изометрий плоскости Лобачевского. Поэтому достаточно проверить его для двух точек, лежащих на геодезическойx2 = 0 (любую другую можно перевести в эту изометрией). В координатах (u, v) этагеодезическая задается уравнениями u = u, v = 0; пусть координаты точек u = u1 , v = 0 иu = u2 , v = 0 соответственно. Вычисляя длину дуги геодезической между этими точками,получим:Zu2ρ=u1du = u2 − u1(касательный вектор к геодезической имеет вид (1, 0); матрица первой квадратичной формы приведена выше). С другой стороны, векторы ξ1 , ξ2 , очевидно, имеют вид:ξj = (ch uj , sh uj , 0),поэтому:(ξ1 , ξ2) = − ch u1 ch u2 + sh u1 sh u2 = − ch(u2 − u1 ),откуда немедленно следует требуемая формула.§ 7.
Окружности.Определение 5. Окружностью с центром в точке P радиуса a на плоскости Лобачевскогоназывается множество точек, находящихся на расстоянии a от точки P .Оказывается, формула для длины окружности также напоминает соответствующуюформулу сферической геометрии.75Утверждение 2. Длина l окружности радиуса a на плоскости Лобачевского равна:l = 2π sh a.Доказательство. Утверждение инвариантно относительно изометрий, поэтому его достаточно проверить для окружности с центром в точке (1, 0, 0). Такая окружность, очевидно,является евклидовой окружностью (параллелью псевдосферы); в координатах (u, v) оназадается уравнениями u = a, v = v, v ∈ [0, 2π] (см. предыдущий пункт). Касательныйвектор к ней имеет координаты (0, 1) и его длина равна sh a (см.
выражение для первойквадратичной формы). Таким образом, длина окружности l равна:l=Z2πsh a dv = 2π sh a.0Задача 1. Как выглядит произвольная окружность на плоскости Лобачевского?§ 8. Треугольники.Треугольники на плоскости Лобачевского определяются обычным способом — рассматриваем произвольные три точки A, B, C и соединяем их попарно дугами геодезических. Формулы решения треугольников и признаки их равенства в геометрии Лобачевского похожи на соответствующие утверждения сферической геометрии.Утверждение 3 (Теорема косинусов).
Пусть a, b, c — длины сторон треугольника на плоскости Лобачевского, а α, β, γ — противолежащие им углы. Тогда имеет место равенство:ch a = ch b ch c − sh b sh c cos α.Задача 2. Доказать это утверждение.Указание. Доказательство аналогично доказательству сферической теоремы косинусов(см. Лекцию 8).Задача 3. Доказать на плоскости Лобачевского теорему синусов:sinαsinβsinγ==.sh ash bsh cУказание.
Она получается из теоремы косинусов алгебраической выкладкой (срав. с аналогичным утверждением из Лекции 8).Как и в сферической геометрии, в геометрии Лобачевского углы треугольника определяют его стороны. Соответствующая формула также называется двойственной теоремойкосинусов.Утверждение 4 (Двойственная теорема косинусов).cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ ch a.76Доказательство. На плоскости Лобачевского нет полярных треугольников, поэтому длядоказательства двойственной теоремы косинусов приходится применять алгебраическиевычисления (это можно сделать и на сфере, но там проще воспользоваться полярной конструкцией). Выразим косинусы углов через стороны треугольника из теоремы косинусов.Получим:sh2 a(ch b ch c − ch a) + (ch a ch c − ch b)(ch a ch b − ch c)cos α + cos β cos γ =.sh2 a sh b sh cРаскрывая в числителе скобки и выражая гиперболический синус через косинус, получим:1 + 2 ch a ch b ch c − ch2 a − ch2 b − ch2 c.sh2 a sh b sh cС другой стороны, из той же теоремы косинусов получаем:r ch b − ch a ch c 2sin β = 1 −.sh a sh cРаскрывая скобки под квадратным корнем и выражая в числителе гиперболический синусчерез косинус, получим:p1 + 2 ch a ch b ch c − ch2 a − ch2 b − ch2 csin β =.sh a sh cАналогично:p1 + 2 ch a ch b ch c − ch2 a − ch2 b − ch2 c.sin γ =sh a sh bПеремножая два последних равенства и сравнивая с выражением для cos α + cos β cos γ,получим требуемую формулу.cos α + cos β cos γ = ch aЗамечание 3.
Из выписанных формул следуют признаки равенства треугольников, аналогичные полученным выше в сферической геометрии. Именно, назовем два треугольникана плоскости Лобачевского равными, если их можно перевести один в другой изометрией. Очевидно, имеют место следующие признаки равенства треугольников:a) по трем сторонам;b) по двум сторонам и углу между ними;c) по стороне и двум прилежащим к ней углам;d) по трем углам.(последний признак не имеет аналога в евклидовом случае, но справедлив в сферическом)Замечание 4.
Если линейные размеры (радиус окружности, стороны треугольника и т.д.)стремятся к нулю, все формулы геометрии Лобачевского переходят в соответствующиеформулы евклидовой геометрии (докажите!). Замечание 5. Если в формулах сферической геометрии формально заменить радиус сферы R на мнимую единицу i, то эти формулы перейдут в соответствующие формулыгеометрии Лобачевского (убедитесь в этом на примере формул из Лекции 8). Такимобразом, геометрия Лобачевского — это геометрия на сфере мнимого радиуса! Конечно,такое утверждение не имеет строгого математического смысла; его реальное содержание состоит в том, что геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере (ξ, ξ) = −1.7711 Лекция 11.
Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского§ 1. Введение.В предыдущей лекции мы ввели на плоскости Лобачевского координаты (u, v), аналогичные широте и долготе на сфере. Эти координаты обладают те же самым недостатком,что и сферические — они вырождаются в полюсе псевдосферы — точке (1, 0, 0) (эта единственная точка в координатах (u, v) задается целым полуинтервалом u = 0, v — любое).В сферической геометрии такой недостаток неустраним: не существует глобальных координат на всей сфере, пробегающих открытую область плоскости.
В случае псевдосферыэто не так: ее можно параметризовать глобально. Это обстоятельство удобно тем, что втаких глобальных координатах все точки плоскости Лобачевского изображаются точкамиодной области на обычной плоскости, поэтому и все утверждения геометрии Лобачевскогоможно переформулировать в терминах планиметрии (т.е. вовсе не обращаясь к трехмерному пространству Минковского). Отметим, что это, конечно, не означает, что геометрияЛобачевского и геометрия на обычной плоскости устроены одинаково (мы уже видели,что это совсем не так); дело в том, что при изображении точек плоскости Лобачевского точками обычной плоскости все длины “искажаются”, т.е. расстояния задаются совсемдругими формулами, чем в евклидовой геометрии, а потому и геометрические теоремыоказываются иными.Существуют разные способы изображения геометрии Лобачевского точками плоскости; в следующем параграфе мы обсудим две такие модели (которые имеют так многообщего, что часто рассматриваются как два варианта одной модели) — так называемыемодели Пуанкаре.§ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
