А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Найти явный вид матриц преобразований Лоренца в двумерном пространстве Минковского.2. Доказать, что ортогональные дополнения к плоскостям, определяющим две перпендикулярные прямые на плоскости Лобачевского (векторная модель), ортогональны.3. Доказать, что через данную точку плоскости Лобачевского проходит ровно однапрямая, перпендикулярная данной прямой.4. Найти формулу для расстояния от точки до прямой в векторной модели (точка задана своим радиус-вектором ξ, а прямая — вектором нормали e к соответствующейплоскости).5. Доказать, что сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше π.6.
Доказать, что “симметрия относительно прямой” (т.е. изометрия, оставляющая наместе все точки прямой, и переставляющая области, на которые эта прямая делитплоскость Лобачевского) — это или осевая симметрия или инверсия (модель в верхней полуплоскости).7.
Доказать, что расстояние между точками в модели на верхней полуплоскости определяется формулой: z1 − z2 1+z1 − z̄2 ρ(z1 , z2 ) = ln z1 − z2 .1−z1 − z̄2 8. Определить вид окружностей в трех моделях плоскости Лобачевского.9. Доказать формулы решения прямоугольных треугольников:ch c = ch a ch b; sh b = sh c sin β; th a = th c cos β;ch c = ctg α ctg β; cos α = ch a sin β; th a = sh b tg α.10. Найти формулу для площади круга на плоскости Лобачевского.11. Найти формулу для радиуса описанной окружности.
Вокруг всякого ли треугольника на плоскости Лобачевского можно описать окружность?12. Найти вид кривых, находящихся на фиксированном расстоянии от данной прямой(эквидистанты) в трех моделях плоскости Лобачевского.13. В модели на верхней полуплоскости найти изометрии, являющиеся аналогами поворотов (одна точка неподвижна, а все касательные векторы в этой точке поворачиваются на фиксированный угол).14.
В модели на верхней полуплоскости найти изометрии, являющиеся аналогами параллельных переносов вдоль фиксированной прямой (прямая остается на месте, ноее точки движутся по ней, причем каждая из областей, на которые прямая делитплоскость Лобачевского, переходит в себя).8315. В модели на верхней полуплоскости найти изометрии, являющиеся аналогами скользящих симметрий вдоль фиксированной прямой (прямая остается на месте, но ееточки движутся по ней, причем области, на которые прямая делит плоскость Лобачевского, меняются местами).8412 Лекция 12.
Элементы общей топологии§ 1. Введение.Наша ближайшая цель — обобщить и аксиоматизировать понятие поверхности, исключив всякое упоминание об объемлющем пространстве. Центральное свойство поверхностей, которое использовалось ранее — существование на поверхности координат; этосвойство позволяет развивать на поверхностях дифференциальное исчисление функций,векторных полей и т.д. В следующей лекции мы определим абстрактные объекты, на которых существует такое дифференциальное исчисление; но сперва нам понадобится изучить “абстрактный анализ непрерывных функций” (непрерывность должна предшествовать дифференцируемости). Такой анализ возникает на топологических пространствах,основным свойствам которых и посвящена эта лекция.§ 2. Топологические пространства.Для того, чтобы определить непрерывную в точке функцию, достаточно знать, чтотакое окрестность точки (функция f непрерывна в точке P , если для всякой окрестности Vточки f (P ) найдется окрестность U точки P , которая вся отображается в V : f (U) ⊂ V )).В свою очередь, окрестность точки — это произвольное открытое множество, содержащее P , так что фундаментальное понятие анализа непрерывных функций — это открытоемножество.
Топологическое пространство — этот множество, в котором указано, какие егоподмножества являются открытыми.Определение 1. Множество X называется топологическим пространством, если в нем выделена система подмножеств τ (подмножества, принадлежащие τ , называются открытыми), причем выполнены следующие условия:1. Все X и пустое множество открыты (т.е. принадлежат τ ).2. Объединение любой системы открытых подмножеств Uα и пересечение конечногочисла открытых подмножеств U1 , . . . , Un открыты:[αUα ∈ τ,n\j=1Uj ∈ τСистема подмножеств τ , удовлетворяющая условиям 1, 2, называется топологией в X.Примеры.
Рассмотрим следующие примеры:1. Евклидово пространство Rn . Открытые подмножества — это подмножества, содержащие вместе с каждой своей точкой некоторый открытый шар с центром в этойточке (открытый шар с центром в точке ξ радиуса a — это множество векторов η,для которых (ξ − η, ξ − η) < a2 ).2. Более общий пример — метрическое пространство.
Это множество X в котором задана функция от пары точек ρ(x, y) называемая расстоянием между точками, и удовлетворяющая следующим условиям:(a) ρ(x, y) ≥ 0, причем ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.(b) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).Открытым шаром с центром в точке x0 радиуса a в метрическом пространстве называется множество точек x, для которых ρ(x0 , x) < a. Открытые множества определяются так же, как в евклидовом пространстве.853.
Пусть множество X состоит из одной точки. На этом множестве существует толькоодна топология: открытые множества — это X и пустое множество.4. Пусть множество X состоит из двух точек x, y. На таком множестве имеется несколько топологий:(a) Открытыми множествами считаются пустое множество и все X.(b) Открытыми множествами считаются x, y, X и пустое множество.(c) Открытыми множествами считается точка x, все множество X и пустое множество.5. На любом множестве можно ввести топологию, объявив все его точки (а значит, и всеподмножества) открытыми множествами. Такая топология называется дискретной.6. Объявим открытыми множествами в пространстве Cn множества вида Cn \X, где Xзадано системой уравнений:f1 (x1 , .
. . , xn ) = 0, . . . , fm (x1 , . . . , xn ) = 0.Здесь f1 , . . . , fm — многочлены от n переменных. Такая топология называется топологией Зарисского.7. Пусть X — топологическое пространство и Y ⊂ X — его подмножество. На множестве Y возникает естественная топология: открытыми считаются пересечения Yс открытыми множествами в X. Такая топология называется индуцированной из Xв Y.8. Пусть X, Y — топологические пространства. Декартовым произведением X × Y называется множество пар (x, y), x ∈ X, y ∈ Y .
Открытыми множествами в X × Yсчитаются объединения множеств вида (x, y), x ∈ U, y ∈ V , где U ⊂ X, V ⊂ Y —открытые множества.Определение 2. Замкнутым множеством в топологическом пространстве X называетсямножества вида X\U, где U открыто.Ясно, что замкнутые множества обладают следующими свойствами:1.
Все X и пустое множество замкнуты.2. Пересечение любой системы замкнутых множеств и объединение конечного числазамкнутых множеств замкнуты.Указание замкнутых множеств эквивалентно указанию открытых; таким образом, топологическое пространство можно определить как множество, в котором указано, какие изего подмножеств замкнуты (конечно, при этом должны выполняться условия 1, 2).§ 3. Непрерывные отображения.На топологических пространствах живут непрерывные функции; мы определим более общее понятие непрерывного отображения одного топологического пространства вдругое. Это понятие определяется совершенно аналогично тому, как это делается в математическом анализе. Прежде всего определим понятие окрестности точки.Определение 3. Окрестностью точки P в топологическом пространстве называется любоеоткрытое множество, содержащее P .86Определение 4.
Отображение f : X → Y топологического пространства X в топологическое пространства Y называется непрерывным в точке P ∈ X, если для любой окрестностиV точки f (P ) найдется такая окрестность U точки P , что f (U) ⊂ V . Отображение непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке. Непрерывной функцией на топологическомпространстве X называется непрерывное отображение X в R.Теорема 1. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда выполнено одно издвух условий:1.
Прообраз любого открытого множества открыт.2. Прообраз любого замкнутого множества замкнут.Доказательство. Докажем, что непрерывность отображения эквивалентна условию 1.Пусть отображение f : X → Y непрерывно и V ⊂ Y — открытое множество. Рассмотрим произвольную точку прообраза P ∈ U = f −1 (V ); поскольку f (P ) ∈ V , найдется такаяокрестность UP точки P , что f (UP ) ∈ V . Ясно, что UP ⊂ U; рассмотрим объединениетаких окрестностей по всем точкам P ∈ U. Это множество открыто (как объединениеоткрытых множеств); с другой стороны оно, очевидно, совпадает с U.Обратно, пусть выполнено условие 1. Рассмотрим произвольную точку P ∈ X и произвольную окрестность V точки f (P ). Прообраз U = f −1 (V ) открыт и содержит точку P ,т.е.
является ее окрестностью. Эта окрестность, очевидно, отображается в V (f (U) = V ),т.е. отображение f непрерывно в т. P .Условие 2, очевидно, эквивалентно условию 1 (т.к. для любого V ∈ Y f −1 (Y \V ) =X\f −1 (V )).Задача 1. Найти все непрерывные отображения между топологическими пространствамииз п. (b) и (c) Примера 4.Пусть теперь отображение f непрерывно и взаимно-однозначно; тогда существуетобратное отображение f −1 .Определение 5. Непрерывное взаимно-однозначное отображение называется гомеоморфизмом, если обратное отображение непрерывно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
