А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Это отображение — линейный оператор; пусть на многообразияхM, Q заданы локальные координаты x1 , . . . , xn и y 1, . . . , y m в окрестностях точек P иf (P ) соответственно, причем отображение f в этих координатах задается гладкимифункциями y i = f i (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m, тогда матрица оператора dP f в соответствующих канонических базисах — это матрица Якоби ∂f i /∂xj .Доказательство. Пусть уравнения кривой γ в координатах x1 , .
. . , xn имеют вид xi = xi (t);тогда ее образ f (γ) задается уравнениями y i = f i (x(t)). Вектор ξ в каноническом базисе ∂/∂x1 , . . . , ∂/∂xn имеет координаты ξ i = ẋi , а вектор dP f (ξ) в каноническом базисе∂/∂y 1 , . . . , ∂/∂y m задается координатами η j = f˙j (x(t)). По теореме о дифференцированиисложной функции, получаем:jη =nX∂f ji=1∂xiiẋ =nX∂f ji=1∂xiξ i.Матрица Якоби ∂f j /∂xi не зависит от выбора кривой, представляющей вектор ξ, и определяется только отображением f ; поэтому и вектор dP f (ξ) также не зависит от γ.
Утверждения теоремы о линейности оператора dP f и матрице этого оператора в каноническихбазисах — очевидные следствия приведенной формулы.Определение 1. Линейный оператор dP f : TP M → Tf (P ) Q называется дифференциаломгладкого отображения f в точке P .Замечание 1. Вид матрицы оператора df можно считать его определением; именно, назовем дифференциалом гладкого отображения в точке P линейный оператор из TP M вTf (P ) Q, заданный в канонических базисах ∂/∂x1 , .
. . , ∂/∂xn , ∂/∂y 1 , . . . , ∂/∂y m матрицейЯкоби ∂f j /∂xi (f j (x) — функции, задающие отображение f ). Доказанная выше теоремагарантирует корректность такого определения, т.е. независимость его от выбора локальных координат x и y (действительно, согласно этой теореме отображение df переводит касательный вектор, определяемый кривой γ, в вектор скорости кривой f (γ)). Замечание 2. Касательный вектор ξ ∈ TP M можно представлять себе как оператордифференцирования гладких функций на M в точке P .
Его образ — это дифференцирование гладких функций на Q в точке f (P ), заданное формулой dP f (ξ)(g) = ξ(g ◦ f ), гдеg ◦ f — гладкая функция на M, являющаяся композицией отображения f и функции g:g ◦ f (u) = g(f (u)), u ∈ M (докажите!). Приведенную формулу также можно считать(уже третьим) определением вектора dP f (ξ). 99§ 2. Вложения и погружения.Рассматривавшиеся выше поверхности были помещены в евклидово пространство;другими словами, каждой точке поверхности соответствовала некоторая точка RN , причемкасательное пространство к поверхности вкладывалось в касательное пространство к RNкак подпространство.
Интересно выяснить, нельзя ли аналогичным образом “поместить”в евклидово пространство произвольное гладкое многообразие. Прежде, чем исследоватьэтот вопрос, дадим (используя аналогию с теорией поверхностей) формальное определение“помещения” одного многообразия в другое.Определение 2. Гладкое отображение f : M → Q гладкого многообразия M в гладкое многообразие Q называется погружением, если для любой точки P ∈ M дифференциал dP fотображения f в этой точке является вложением касательного пространства TP M в касательное пространство Tf (P ) Q (напомним, что линейный оператор называется вложением,если он имеет нулевое ядро).Определение 3.
Гладкое погружение f : M → Q называется вложением, если оно определяет гомеоморфизм многообразия M и его образа f (M).Пример 1. Отображение x(t) = cos t, y(t) = sin t — вложение окружности, параметризованной полярным углом t, в евклидову плоскость с координатами x, y.Пример 2. Отображение x(t) = cos t, y(t) = sin 2t — погружение окружности в плоскость,не являющееся вложением: точки t = π/2 и t = 3π/2 переходят в одну точку на плоскости.Образ этого погружения — “восьмерка” — не гомеоморфен окружности.§ 3.
Вложение компактного многообразия в евклидово пространство достаточно большойразмерности.Перейдем теперь к построению вложений многообразий в евклидовы пространства.Мы будем рассматривать только компактные многообразия; отметим, что в этом частномслучае погружение, взаимно–однозначно отображающее M на f (M), является вложением.Действительно, если M — компактное многообразие и f : M → Q — погружение, взаимно–однозначно отображающее M на f (M), то для всякого замкнутого подмножества Y ⊂ Mего образ f (Y ) будет замкнут в f (M) (из замкнутости Y следует его компактность, откуда вытекает компактность, а значит, и замкнутость, f (Y )).
Это означает, что обратноеотображение f −1 : f (M) → M непрерывно, т.е. f задает гомеоморфизм M и f (M).Теорема 2. Пусть M — компактное гладкое многообразие. Для достаточно большого Nсуществует вложение этого многообразия в евклидово пространство RN .Доказательство. Поскольку M компактно, на нем существует конечный атлас Uα , ϕα .Можно считать, что координатные гомеоморфизмы отображают все множества Uα в единичный шар B евклидова пространство Rn (докажите!). Далее, атлас можно выбратьтак, что множества ϕ−1α (B1 ), где B1 ⊂ B — шар меньшего радиуса, все еще покрывают M(докажите!). Рассмотрим теперь гладкую функцию g в евклидовом пространстве Rn , тождественно равную нулю вне B и тождественно равную единице внутри B1 .
Для каждогоα рассмотрим отображение fα : M → Rn+1 , определенное так:fα (P ) = 0,fα (P ) = (x1α (P )g(ϕα(P )), . . . , xnα (P )g(ϕα(P )), g(ϕα(P ))),если P ∈/ Uα ,если P ∈ Uα .Здесь xjα (P ) — локальные координаты точки P в карте Uα . Легко видеть, что fα — гладкое отображение, причем на множестве ϕ−1α (B1 ) это отображение является вложением,100т.к. задается функциями x1 , .
. . , xn , 1. Построим теперь по этим отображениям одно большое отображение f : M → Rs(n+1) , где s — число карт в рассматриваемом атласе. Этоотображение зададим формулой:f (P ) = (f1 (P ), . . . , fs (P )),где в правой части записана строка из s элементов, каждый из которых сам является(n + 1)–мерным вектором (другими словами, пространство Rs(n+1) здесь представлено ввиде прямой суммы s экземпляров Rn+1 ). Проверим, что f — вложение.
Действительно,матрица Якоби отображения f в произвольной точке P многообразия M представляется ввиде “строки” из s матриц размера n × (n + 1) (матриц Якоби отображений fα ), причем покрайней мере одна из этих матриц имеет ранг, равный n (поскольку fα является вложениемна карте, содержащей P ). Поэтому ранг всей матрицы также равен n, т.е.
f — погружение.Проверим, что f взаимно–однозначно отображает M на его образ. Действительно, пустьP, Q — две различные точки M. Точка P лежит в одной из областей вида ϕ−1α (B1 ), поэтомув этой точке соответствующая функция g(ϕα ) равна единице. Если эта же функция вточке Q не равна единице, то образы точек P и Q при отображении f различны. Если жеg(ϕα (Q)) = 1, то Q лежит в той же карте Uα , что и P , а значит, существует координата xj ,которая принимает в этих точках разные значения. Но тогда и функция xj g(ϕα ) принимаетразные значения в точках P и Q, т.е. образы этих точек при отображении fα , а значит ипри отображении f , различны.§ 4.
Теорема Уитни.Предыдущая теорема гарантирует возможность вложения многообразия в евклидовопространство, размерность которого зависит не только от размерности многообразия, нои от числа карт на нем. Возникает естественный вопрос, нельзя ли избавиться от такойзависимости, т.е. построить вложение многообразия в пространство, размерность которогоопределялась бы только размерностью самого многообразия. Этот вопрос тесно связан сдругим: нельзя ли понизить приведенную выше оценку размерности пространства, в которое вкладывается многообразие, и если да, то какова минимальная размерность такогопространства? Мы приведем один из результатов в этом направлении — теорему Уитни.Теорема 3 (Теорема Уитни).
Любое компактное гладкое n-мерное многообразие M можновложить в евклидово пространство R2n+1 .Доказательство. Воспользуемся доказанной ранее теоремой и будем считать, что нашемногообразие уже вложено в евклидово пространство RN . Будем теперь конструироватьиз этого вложения новое вложение в пространство меньшей размерности.Для этого мы будем просто рассматривать ортогональную проекцию этого уже вложенного многообразия на некоторое подпространство RN −1 вдоль некоторого вектора v.Для определенности | v| = 1. Образ многообразия M в RN мы отождествляем с самим M.Мы покажем сейчас, что если N > 2n + 1, то вектор v всегда можно выбрать так, чтопроекция вдоль этого вектора на ортогональное ему подпространство RN −1 :π : M → RN −1будет вложением.
Из этого будет следовать утверждение теоремы, т.к. повторяя этот процесс, мы построим в конце концов требуемое вложение.Выясним сперва, при каких условиях проекция π будет погружением. Посколькуπ с точки зрения объемлющего отображения является линейным, то дифференциал dπсовпадает с π. Ядро отображения π это прямая, натянутая на вектор v, поэтому дифференциал dP π в фиксированной точке P ∈ M будет вложением касательных пространствтогда и только тогда, когда касательное пространство TP M не содержит вектора v.101Рассмотрим множество X, элементами которого являются пары (P, ξ), где P ∈ M,ξ — единичный касательный вектор к многообразию M в точке P .Задача 1. Доказать, что множество X является гладким (2n − 1)-мерным многообразием.Рассмотрим отображение f : X → S N −1 , которое каждому элементу (P, ξ) ∈ Xсопоставляет вектор ξ, рассматриваемый как единичный вектор пространства RN (т.е.точка (N − 1)–мерной сферы).Проекция π является погружением тогда и только тогда, когда вектор проектирования v не содержится в образе отображения f .Далее, найдем условия, при которых π является взаимно-однозначным (с образом).Пусть P и Q — две различные точки многообразия M.
Ясно, что они проектируются в одну−→и ту же точку тогда и только тогда, когда вектор P Q коллинеарен вектору проектированияv. Другими словами, если мы хотим взаимной однозначности, мы должны потребовать,−→PQчтобы v 6= −→ ни для каких различных точек P, Q ∈ M.|P Q|Чтобы переформулировать это требование на более удобном нам языке, рассмотриммножество Y пар (P, Q), где P, Q ∈ M, P 6= Q. Другими словами, Y = (M × M)\∆, где∆ — диагональ в декартовом произведении M × M, т.е. множество пар (P, P ).Задача 2.
Доказать, что Y — гладкое 2n–мерное многообразие.Рассмотрим гладкое отображение:g : Y → S N −1 ,−→PQгде g(P, Q) = −→ .|P Q|Условие взаимной однозначности проекции π можно переформулировать так: v несодержится в образе отображения g : Y → S N −1 .Итак, проекция π : M → RN −1 является взаимно-однозначным погружением (т.е.вложением) тогда и только тогда, когда v не принадлежит множеству f (X)∪g(Y ) ⊂ S N −1 .Теперь нам нужно разобраться с тем, как устроены множества f (X) и g(Y ). Этогладкие образы (2n − 1)–мерного и 2n–мерного многообразия в (N − 1)–мерной сфере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
