А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Топологические пространства X и Y называются гомеоморфными, если существует гомеоморфизм f : X → Y .Задача 2. Доказать, что X × Y гомеоморфно Y × X.Замечание 1. Требование непрерывности отображения f −1 в определении гомеоморфизма существенно: не всякое непрерывное взаимно-однозначное отображение — гомеоморфизм.
Действительно, изображенное на Рис. 9 отображение интервала в восьмеркунепрерывно и взаимно-однозначно, однако обратное отображение разрывно в точке самопересечения восьмерки.Рис. 987Замечание 2. С точки зрения анализа непрерывных функций, гомеоморфные топологические пространства эквивалентны (точно так же, как с точки зрения линейной алгебрыэквивалентны изоморфные линейные пространства) — их можно не различать и считать одним и тем же пространством. Ниже обсуждаются основные свойство топологических пространств и непрерывныхотображений между ними.§ 4. Связность и линейная связность.Связные топологические пространства — это пространства, состоящие “из одногокуска”. Для того, чтобы формально определить это понятие, заметим, что любое топологическое пространство X является (как и пустое множество) одновременно открытыми замкнутым относительно своей топологии.
Если пространство состоит из несколькихкусков, в нем должны быть другие подмножества (эти самые куски), обладающие тем жесвойством.Определение 6. Топологическое пространство X несвязно, если в нем существует непустоеоткрытое и замкнутое подмножество U, не совпадающее со всем пространством X. Еслитакого подмножества не существует, топологическое пространство называется связным.Ясно, что пространство X несвязно тогда и только тогда, когда оно представляется ввиде объединения X = U ∪ V , где U и V = X\U — открытые непересекающиеся непустыеподмножества.Утверждение 1. Отрезок связен.Доказательство.
Пусть отрезок [a, b] представлен в виде объединения U ∪ V непересекающихся непустых открытых множеств. Будем считать, что точка a принадлежит множеству U; поскольку это множество открыто, в нем содержится некоторый полуинтервал[a, a+ε), ε > 0. Обозначим через t0 точную верхнюю грань точек t ∈ [a, b], для которых полуинтервал [a, t) ⊂ U. Точка t0 не может принадлежать ни множеству U, ни множеству V .Действительно, если t0 ∈ V , то, поскольку это множество открыто, найдется точка t1 < t0 ,также принадлежащая V ; но тогда полуинтервал [a, t2 ), где t1 < t2 < t0 не может содержаться в U, что противоречит определению точки t0 .
Если же t0 ∈ U, то возможны двеситуации:1. t0 6= b; в этом случае, в силу открытости U, найдется точка t3 > t0 , для которойинтервал (t0 , t3 ) ⊂ U, а значит и полуинтервал [a, t3 ) ⊂ U, что противоречит определениюточки t0 .2. t0 = b; в этом случае, очевидно, [a, b] = U, т.е. V пусто, что противоречит условию.Итак, предположение о несвязности отрезка приводит к противоречию.Конечно, гомеоморфные топологические пространства связны или несвязны одновременно; имеет место даже более сильное утверждение.Теорема 2. Образ связного топологического пространства под действием непрерывногоотображения связен.Доказательство.
Пусть f : X → Y — непрерывное отображение и образ f (X) несвязен,т.е. представляется в виде объединения непустых открытых непересекающихся подмножеств U и V : f (X) = U ∪ V . Тогда прообразы f −1 (U) и f −1 (V ), очевидно, открыты,непусты и не пересекаются; кроме того, их объединение совпадает со всем X, т.е. этопространство также несвязно.88При изучении топологических пространств, помимо связности, важную роль играетблизкое понятие линейной связности.Определение 7. Топологическое пространство X линейно связно, если любые две его точкиможно соединить непрерывной кривой, лежащей в X.
Другими словами, для любых двухточек x, y ∈ X найдется непрерывное отображение γ : [a, b] → X отрезка в X, для которогоγ(a) = x, γ(b) = y.Соотношение между понятиями связности и линейной связности устанавливает следующее утверждение.Теорема 3. Линейно связное топологическое пространство связно.Доказательство. Предположим противное, т.е. что существует линейно связное топологическое пространство X, представимое в виде объединения X = U ∪ V , где U, V — непересекающиеся непустые открытые множества. Выберем две точки x ∈ U, y ∈ V и соединим их непрерывной кривой γ : [a, b] → X. Из связности отрезка и доказанной вышетеоремы следует, что образ γ([a, b]) связен. С другой стороны, он представляется в видеобъединения γ([a, b]) = (γ([a, b])∩U)∪(γ([a, b])∩V ) непересекающихся непустых открытыхмножеств.Следующий пример показывает, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.Пример 1.
Рассмотрим на плоскости x, y топологическое пространство X, являющеесяобъединением графика функции y = sin 1/x, x 6= 0 и вертикального отрезка x = 0, y ∈ [−1, 1].Это множество состоит из трех непересекающихся кусков: A : x < 0, y = sin 1/x,B : x > 0, y = sin 1/x и C : x = 0, y ∈ [−1, 1], причем каждый из этих кусков является связным топологическим пространством. Докажем, что X связно. Действительно,если X = U ∪ V , где U, V — непересекающиеся открытые множества, то каждый из кусковA, B, C целиком содержится либо в U, либо в V ; пусть, например, C ⊂ U.
Поскольку любая окрестность произвольной точки P ∈ C пересекается как с A, так и с B, эти множестватакже содержатся в U, т.е. V пусто.Докажем теперь, что X не является линейно связным. Действительно, рассмотримдве его точки P = (−1/π, 0) и Q = (1/π, 0). Предположим, что их можно соединитьнепрерывной кривой x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], лежащей в X. Обозначим через t0 точнуюнижнюю грань тех t ∈ [a, b], для которых x(t) = 0. Поскольку x(a) = −1/π и функция x(t)непрерывна, t0 > a и, кроме того, lim x(t) = 0, т.е. найдется последовательность точекt→t0 −0tk < t0 , для которой x(tk ) → 0. Но тогда последовательность y(tk ) = sin 1/x(tk ) расходится,что противоречит непрерывности функции y(t).
§ 5. Хаусдорфовость.Определение 8. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым, если для любых двух различных точек x, y ∈ X существуют непересекающиеся окрестности этих точек.Любое метрическое пространство хаусдорфово (докажите!), однако существуют и нехаусдорфовы пространства.Пример 2. Рассмотрим пространство X из п.
(c) Примера 4. Это пространство не хаусдорфово: единственная окрестность точки y — это все пространство X и оно, очевидно,пересекается с любой окрестностью токи x.Задача 3. Доказать, что декартово произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово.89§ 6. Компактность.Компактность топологического пространства — это понятие, аксиоматизирующееограниченность и замкнутость подмножества в Rn .Определение 9. Топологическое пространство X компактно, если оно хаусдорфово и, кроме того, из каждого покрытия X открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.Пример 3. Отрезок компактен. Действительно, предположим, что это не так, т.е. существует покрытие отрезка [a, b] открытыми множествами, из которого нельзя извлечь конечногоподпокрытия. Разделим отрезок пополам; одна из половинок не покрывается конечнымчислом элементов нашего покрытия.
Поделим эту половинку еще пополам и т.д. В результате получим последовательность вложенных стягивающихся отрезков, ни один изкоторых не покрывается конечным числом элементов покрытия. В курсе математического анализа доказывается, что пересечение этих отрезков состоит из одной точки. Пустьэта точка принадлежит какому-то элементу U нашего покрытия; поскольку U открыто,оно вместе с этой точкой содержит некоторый отрезок из построенной выше последовательности. Полученное противоречие доказывает компактность отрезка. Связь между замкнутостью и компактностью устанавливается следующей теоремой.Теорема 4.
Замкнутое подмножество компактного пространства компактно; компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.Доказательство. Пусть X — компакт и Y ⊂ X — замкнутое подмножество. Рассмотримпроизвольное открытое покрытие Uα множества Y все элементы этого покрытия имеютвид Uα = Y ∩ Vα , где Vα — открытые подмножества в X. Присоединим к этим множествамоткрытое множество X\Y ; в результате, очевидно, получим открытое покрытие X. В силукомпактности из него можно извлечь конечное подпокрытие V1 , .
. . , Vn , X\Y . МножестваUj = Vj ∩ Y образуют конечное подпокрытие исходного покрытия Uα пространства Y .Пусть теперь X хаусдорфово и Y ⊂ X — компакт. Рассмотрим произвольную точку x ∈ X\Y ; для любой точки y ∈ Y найдутся непересекающиеся окрестности Ux , Vyточек x, y. Рассмотрим объединение по всем y ∈ Y множеств Vy ; очевидно, это — открытое покрытие Y . Выберем из него конечное подпокрытие V1 , . .
. , Vn ; по построению, длякаждого открытого множества Vj найдется окрестность Uj точки x, не пересекающаясяex = U1 ∩ · · · ∩ Un этих окрестностей — открытое множество, и содерс Vj . Пересечение Uex по всемжащее x и не пересекающееся с Y . Рассмотрим теперь объединение множеств Uточкам x ∈ X\Y . Это множество открыто и, очевидно, совпадает с X\Y ; таким образом,Y замкнуто.Конечно, гомеоморфные топологические пространства компактны или некомпактныодновременно. Верно даже более сильное утверждение.Теорема 5.
Образ компакта под действием непрерывного отображения — компакт.Доказательство. Пусть X — компакт и f : X → Y — непрерывное отображение. Рассмотрим открытое покрытие Uα образа f (X); множества Vα = f −1 (Uα ) открыты и покрываютX. Выберем из этого покрытия конечное подпокрытие V1 , . .
. , Vn ; открытые множестваUj = f (Vj ) образуют конечное подпокрытие исходного покрытия f (X).Задача 4. Доказать, что декартово произведение компактов — компакт.Задача 5. Доказать, что, если X компактно, то любое взаимно-однозначное непрерывноеотображение f : X → Y — гомеоморфизм.9013 Лекция 13. Понятие многообразия§ 1.
Топологические и гладкие многообразия.Многообразие — это объект, локально устроенный как область евклидова пространства; на каждом достаточно малом куске многообразия можно ввести координаты и темсамым свести анализ на таком объекте к обычному анализу функций нескольких переменных.Определение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
