А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 16
Текст из файла (страница 16)
, n —изотропные.Пример 2. Рассмотрим движение в евклидовом пространстве релятивистской частицы (т.е.частицы, подчиняющейся законам теории относительности). Закон движения определяется зависимостью координат x1 , . . . , xn от времени, т.е. функциями xi = xi (t), i = 1, . . . , n.Вспоминая, что x0 = ct, получим параметрические уравнения кривой в пространстве Минковского, определяемой законом движения частицы; эта кривая называется ее мировойлинией. Рассмотрим касательный вектор ξ к мировой линии; он имеет вид: c, v1 , .
. . , vn ,где vi = dxi /dt — координаты вектора скорости частицы. Скалярный квадрат вектора ξравен (ξ, ξ) = c2 −v 2 , где v 2 = (dx1 /dt)2 +· · ·+(dxn /dt)2 — квадрат скорости частицы. Одиниз центральных постулатов теории относительности утверждает, что частицы с положительной массой движутся медленнее света; поэтому v 2 < c2 и, следовательно (ξ, ξ) < 0.Таким образом, касательный вектор к мировой линии любой массивной частицы всегдавремениподобен. Если же частица движется со скоростью света (т.е. | v| = c, так могутдвигаться только частицы нулевой массы — фотоны или нейтрино), касательный векторк ее мировой линии, очевидно, изотропен.Замечание 6.
Ясно, что, если вектор пространства Минковского времениподобен (пространственноподобен, изотропен), тем же свойством обладает и любой пропорциональный ему вектор. Поэтому прямые (одномерные подпространства) в Rn1 также делятсяна три типа: пространственноподобные, времениподобные и изотропные. 66Множество изотропных векторов задается в координатах уравнением x20 = x21 + · · · + x2n ;эта поверхность — n-мерный конус в (n + 1)-мерном пространстве, называемый световымконусом. Световой конус делит множество всех времениподобных векторов на две области: скалярное произведение любых двух векторов, лежащих в одной и той же областиотрицательно, а скалярное произведение векторов, лежащих в разных областях, положительно.Определение 4. Два времениподобных вектора ξ, η называются одинаково ориентированными во времени, если (ξ, η) < 0 и по-разному ориентированными во времени, если(ξ, η) > 0.Пример 3.
Пусть e0 , . . . , en — ортонормированный базис в Rn1 . Времениподобный вектор ξориентирован во времени одинаково с вектором e0 , если и только если ξ 0 > 0.§ 3. Подпространства и преобразования Лоренца.И в теории относительности, и в геометрии Лобачевского важную роль играют линейные преобразования пространства Минковского, являющиеся аналогами ортогональных преобразований. Они называются преобразованиями Лоренца.Определение 5.
Линейный оператор A в пространстве Минковского Rn1 называется преобразованием Лоренца, если он сохраняет (псевдоевклидово) скалярное произведение, т.е.для любых двух векторов ξ, η ∈ Rn1 справедливо равенство (Aξ, Aη) = (ξ, η).Замечание 7. Ясно, что, аналогично евклидовому случаю, преобразования Лоренца переводят ортонормированный базис пространства Минковского в ортонормированный базиси любые два ортонормированных базиса можно совместить единственным преобразованием Лоренца. Ортогональные операторы в евклидовом пространстве бывают двух типов: собственные (с определителем 1) и несобственные (с определителем −1).
В пространстве Минковского преобразования Лоренца можно различать еще по тому, меняют ли они направлениевремени.Определение 6. Преобразование Лоренца A называется ортохронным, если оно не меняетнаправления времени, т.е. если (Aξ, ξ) < 0 для любого времениподобного вектора ξ.Замечание 8. Времениподобные векторы в пространстве Минковского заполняют внутренность светового конуса. Ортохронные преобразования оставляют на месте каждуюполовину этого конуса, а неортохронные меняют их местами. Таким образом, множество всех преобразований Лоренца (группа Лоренца) делитсяна 4 части: собственные ортохронные преобразования, несобственные ортохронные, собственные неортохронные и несобственные неортохронные.Матрицы A ортогональных операторов в ортонормированном базисе евклидова пространства удовлетворяют соотношению AT A = E (единичная матрица). Выясним, какустроены матрицы преобразований Лоренца.Утверждение 1.
Пусть A — матрица преобразований Лоренца в ортонормированном базисе пространства Минковского. Тогда:AT IA = I,(1)где I — матрица скалярного произведения в этом базисе (очевидно, это диагональная(n + 1) × (n + 1)-матрица, причем первый диагональный элемент равен −1, а остальные — +1).67Доказательство. Под действием линейного оператора матрица скалярного произведенияпреобразуется по формуле:I ′ = AT IA;A будет преобразованием Лоренца, если I ′ = I.Рассмотрим теперь подпространства пространства Минковского. В евклидовом пространстве подпространства обладают единственным инвариантом — размерностью: любыедва подпространства одинаковой размерности можно перевести друг в друга ортогональным преобразованием. В пространстве Минковского это не так: помимо размерности играет роль сигнатура ограничения (псевдо)скалярного произведения на подпространство.Именно, пусть N ⊂ Rn1 — подпространство размерности k.
Ограничивая форму ( · , · ) наN, получим на этом подпространстве симметричную билинейную форму. Отметим, что этаформа, вообще говоря, может быть вырожденной (пример — изотропная прямая); оказывается, вырождение формы тесно связано со взаимным расположением подпространстваи его ортогонального дополнения. Именно, обозначим через N0 ядро ограничения псевдоскалярного произведение на подпространство N, т.е. множество векторов ξ ∈ N, длякоторых (ξ, η) = 0 ∀η ∈ N.Утверждение 2.
Подпространство N0 совпадает с пересечением подпространства N иего ортогонального дополнения N ⊥ .Доказательство. Пусть ξ ∈ N0 , тогда этот вектор ортогонален всему подпространству N,а значит, принадлежит N ⊥ . Обратно, пусть ξ ∈ N ∩ N ⊥ ; тогда этот вектор (как элементортогонального дополнения к N) ортогонален N и, кроме того, лежит в этом подпространстве, т.е. принадлежит N0 .Из этого утверждения немедленно вытекает классификация подпространств в пространстве Минковского.Теорема 1. Любое подпространство N пространство Минковского принадлежит к одному из следующих трех типов:1. Подпространства, ограничение на которые скалярного произведения положительноопределено (эллиптические или евклидовы подпространства).2. Подпространства, ограничение на которые скалярного произведения имеет сигнатуру (k − 1, 1) (гиперболические подпространства или подпространства Минковского).3.
Подпространства, ограничение на которые скалярного произведения вырождено (параболические подпространства).Если подпространство эллиптическое, то ортогональное дополнение к нему гиперболическое, и наоборот — ортогональное дополнение к гиперболическому подпространствуэллиптично; в этих случаях подпространство и его ортогональное дополнение трансверсальны (т.е. пересекаются лишь по нулевому вектору). Если подпространство параболическое, то таково и его ортогональное дополнение; в этом случае N и N ⊥ пересекаются по (ненулевому) ядру ограничения (псевдо)скалярного произведения на любое изэтих подпространств.Доказательство.
Пусть ограничение скалярного произведение на подпространство N невырождено. Тогда, согласно только что доказанному утверждению, N и N ⊥ пересекаютсятолько по нулевому вектору. Далее, из невырожденности скалярного произведения во всем68пространстве Минковского следует, что dim N + dim N ⊥ = n + 1 (докажите!), поэтомуRn1 = N ⊕ N ⊥ . Приведем теперь скалярное произведение на подпространствах N и N ⊥к главным осям; тогда эта квадратичная форма приведется к главным осям на всем Rn1 ;среди векторов соответствующего базиса ровно один времениподобен, а остальные — пространственноподобны (т.к. сигнатура скалярного произведения в Rn1 равна (n, 1)).
Такимобразом, из пары подпространств N, N ⊥ одно гиперболическое (именно, то, в котороепопадает единственный времениподобный вектор базиса главных осей), а второе эллиптическое.Если же подпространство N — параболическое, то таковым является и его ортогональное дополнение (поскольку (N ⊥ )⊥ = N и подпространства N ⊥ и N пересекаются поненулевому подпространству); в соответствии с доказанным выше утверждением, пересечение этих двух подпространств совпадает с ядром ограничения скалярного произведенияна любое из них.Задача 2. Доказать, что размерность ядра ограничения скалярного произведения на параболическое подпространство равно единице и любой вектор из подпространства, не принадлежащий ядру, пространственноподобен.Задача 3.
Доказать, что любые два эллиптических (гиперболических, параболических)подпространства одинаковой размерности можно совместить преобразованием Лоренца.Замечание 9. Разные типы подпространств в пространстве Минковского по-разному расположены относительно светового конуса. Именно, эллиптические подпространствапересекаются с ним только по нулевому вектору, гиперболические пересекают конустрансверсально (по (k − 1)–мерному конусу), а параболические его касаются по прямой(являющейся ядром ограничения скалярного произведения на подпространство).
§ 4. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.Еще одно свойство пространства Минковского, отличающее его от евклидова, состоитв том, что неравенство Коши-Буняковского для времениподобных векторов направлено впротивоположную сторону.Предложение 1. Пусть векторы ξ, η ∈ M n+1 времениподобны.
Тогда (ξ, η)2 ≥ (ξ, ξ)(η, η),причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ξ и η параллельны.Доказательство. Выберем ортонормированный базис так, чтобы вектор временной координаты был направлен вдоль ξ: ξ = λe0 . Тогда:(ξ, η)2 = λ2 (η 0 )2 ,(η, η)2 = (η02 − (η 1 )2 − · · · − (η n )2 )2 ≤ (η 0 )2 ,причем равенство достигается тогда и только тогда, когда η k = 0 ∀k = 1, . . . , n, т.е. когдаη и ξ параллельны.Следствие 1 (Неравенство треугольника в обратную сторону). Пусть векторы ξ, η времениподобны и (ξ, η) ≤ 0 (т.е. эти векторы одинаково ориентированы по времени). Тогдавектор (ξ + η) времениподобен и:|ξ + η| ≥ |ξ| + |η|Здесь длина любого времениподобного вектора ζ по определению равна |ζ| =равенство достигается только если ξ и η линейно зависимы.Доказательство.p−(ζ, ζ);|ξ + η|2 = −(ξ + η, ξ + η) = −(ξ, ξ) − (η, η) − 2(ξ, η) == |ξ|2 + |η|2 + 2|(ξ, η)| ≥ |ξ|2 + 2|ξ||η| + |η|2 = |ξ + η|2 ,причем равенство достигается только в случае параллельных векторов.69§ 5.
Собственное время. Инерциальные наблюдатели.Обсудим простейшие факты геометрии пространства Минковского с точки зренияспециальной теории относительности. Согласно основному принципу этой теории, все ортонормированные базисы с фиксированной пространственной и временной ориентацией(т.е. базисы, времениподобные векторы в которых одинаково ориентированы во времени)абсолютно равноправны, так что выделенных координат не существует (в частности, несуществует и “абсолютного времени”).
Каждый наблюдатель определяет в пространствеМинковского мировую линию, касательный вектор к которой во всех точках времениподобен (см. § 1.). Последнее обстоятельство позволяет определить длину дуги такой мировойлинии; именно, если на ней задан параметр y и y1 < y2 — значения параметра, определяющие две точки кривой, положим длину дуги l между этими точками равной:Z y2 pl=−(ξ(y), ξ(y))dy.y1В соответствии с этим определением на каждой мировой линии вводится натуральныйпараметр, равный длине дуги; в специальной теории относительности этот параметр, поделенный на скорость света c, называется собственным временем наблюдателя и интерпретируется как время, измеряемое по его часам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
