А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

. , un ).Определение 5. Отображение f : M → Q называется гладким, если f i (u) — гладкиефункции.Задача 3. Проверить, что это определение не зависит от выбора координат на поверхностях.Пусть теперь поверхности имеют одинаковую размерность и гладкое отображениеf взаимно–однозначно; тогда существует обратное отображение f −1 : Q → M, которое вкоординатах задается функциями ui = ϕi (v 1 , . . . , v n ).Определение 6. Гладкое отображение f : M → Q называется диффеоморфизмом, еслиобратное отображение f −1 гладкое, т.е. функции ϕi (v) бесконечно дифференцируемы.Замечание 4. Эквивалентное определение диффеоморфизма: функции f i (u) гладкие и якобиан det(∂f i /∂uj ) не обращается в нуль. Любое гладкое отображение f поверхностей определяет отображение касательныхпространств в соответствующих точках.

Именно, если при отображении f кривая γ наповерхности M переходит в кривую f (γ) на поверхности Q, то вектор скорости к f (γ) вточке f (P ) ∈ f (γ) будет образом касательного вектора к γ в точке P (см. Рис. 2).53Рис. 2Задача 4. Доказать, что построенный таким способом образ касательного вектора не зависит от выбора кривой γ, т.е. приведенное правило корректно определяет отображениеdP f : TP M → Tf (P ) Q касательных пространств. Проверить, что это отображение — линейный оператор.Указание.

Его матрица в базисах r1 , . . . , rn и ρ1 , . . . , ρm — это матрица ∂v i /∂uj (P ).Определение 7. Определенное таким образом отображение касательного пространства вточке P к поверхности M в касательное пространство в точке f (P ) к поверхности Qназывается дифференциалом (или производной) dP f отображения f в точке P .Если f — диффеоморфизм, то дифференциал этого отображения в каждой точкеопределяет изоморфизм соответствующих касательных пространств (докажите!). Пустьна поверхностях M, Q заданы римановы метрики; тогда в каждом касательном пространстве к любой из этих поверхностей определено скалярное произведение.Определение 8. Диффеоморфизм f : M → Q называется изометрией, если дифференциалэтого отображения dP f в произвольной точке P ∈ M сохраняет скалярное произведениекасательных векторов, т.е. является ортогональным оператором из TP M в Tf (P ) Q.

Двеповерхности M, Q называются изометричными, если между ними существует изометрия.Пусть на поверхностях M, Q заданы координаты ui , v i соответственно, и f : M → Q —диффеоморфизм. Это отображение задается гладкими функциями v i (u), а обратное отображение — гладкими функциями ui (v). Пусть gij (u) и egij(v) — матрицы римановых метрикна M и Q соответственно. Поскольку:df (ri) =nX∂v jj=1∂uiρj(докажите!), отображение f будет изометрией, если:nnXX∂v k ∂v m∂v k ∂v m(ρ,ρ)=gkm .egij = (ri , rj ) = (df (ri), df (rj )) =km∂ui ∂uj∂ui ∂ujk, m=1k, m=1Таким образом, для того, чтобы проверить, что отображение является изометрией,надо подставить в выражение:2des =nXi, j =154geij dv idv jдля римановой метрики на поверхности Q функции v i (u), задающие отображение (приэтом, как обычно, функционалы dv i преобразуются как дифференциалы этих функций).Замечание 5.

Полученный закон преобразования метрики при отображении f можносчитать определением изометрии (докажите!). § 4. Геометрия, порожденная римановой метрикой, и свойства изометрий.Пусть на поверхности M задана риманова метрика g. Тогда на ней возникает геометрия — можно вычислять длины кривых и углы между ними, используя билинейнуюформу g в качестве скалярного произведения касательных векторов.

Далее, наличие метрики позволяет определить на M ковариантные производные. Именно, пусть u1 , . . . , un —координаты на поверхности; определим набор символов Кристоффеля стандартными формулами:nX∂gij1 km ∂gim ∂gjmkΓij =g ( j +− m ).i2∂u∂u∂uk, m=1P iP jТеперь, если a =a ri — векторное поле, а b =b rj — касательный вектор к поверхности, назовем ковариантной производной поля ξ вдоль вектора b касательный вектор:∇b a =nXi, j=1nbj (∂ai X i k+Γ a )ri .∂uj k =1 jkЗадача 5.

Доказать, что вектор ∇b a не зависит от выбора координат u.После того, как определены ковариантные производные, точно так же, как и ранее,определяются параллельные семейства векторов, параллельный перенос векторов и геодезические линии. Все эти объекты и операции, определяющие геометрические свойстваповерхности, строятся, таким образом, исходя только из римановой метрики.Пусть теперь между двумя поверхностями с римановой метрикой существует изометрия. Отметим, что закон преобразования метрик при изометрии в точности совпадаетс законом ее преобразовании при замене координат на поверхности.

Это не удивительно — при изометриях сохраняются длины кривых и углы между кривыми, т.е. геометрияна поверхностях, между которыми задана изометрия, в точности одинакова. Поэтому приизучении этой геометрии такие поверхности можно не различать — точки этих поверхностей отождествляются друг с другом при помощи изометрии; при этом координаты ui , v iнадо интерпретировать как разные координаты на одной и той же поверхности. Заметим,что, поскольку символы Кристоффеля выражаются только через первую квадратичнуюформу поверхности, а она при изометрии сохраняется, то параллельные семейства векторов при изометрии переходят в параллельные семейства. Поэтому параллельный переносна изометричных поверхностях устроен одинаково: если кривая γ соединяет точки P и Qна поверхности M, а вектор a касается этой поверхности в точке P , то результат параллельного переноса вектора dfP (a) из точки f (P ) в точку f (Q) вдоль кривой f (γ) равенdfQ (b), где b — результат параллельного переноса вектора a из точки P в точку Q вдолькривой γ.

Наконец, по той же самой причине геодезические при изометриях переходят вгеодезические.§ 5. Группа изометрий римановой метрики.Ясно, что каждая поверхность, снабженная римановой метрикой, изометрична самасебе — тождественное отображение, очевидно, является изометрией. Очень важным приизучении поверхностей является следующий вопрос: существуют ли другие изометрии поверхности на себя, и если да, то какие? Каждая такая изометрия определяет “симметрию”55поверхности с точки зрения возникающей на ней геометрии: геометрия в областях, переводимых изометрией друг в друга, одинакова. Чем больше изометрий, тем “симметричнее”поверхность; на поверхностях с самым большим запасом изометрий геометрия в окрестности любой точки устроена одинаково.

Отметим, что множество всех изометрий даннойповерхности с римановой метрикой образует группу относительно композиции отображений (докажите!).Определение 9. Эта группа называется группой изометрий римановой метрики.Найдем группу изометрий двумерной плоскости со стандартной евклидовой метрикой.Теорема 1.

Изометриями евклидовой плоскости являются аффинные преобразования вида:ξ 7→ a + Aξ,где ξ — точка плоскости (т.е. двумерный вектор с координатами x, y, a — произвольныйдвумерный вектор, A — ортогональная 2 × 2–матрица).Доказательство. Ясно, что параллельные переносы и ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение касательных векторов, поэтому все отображения указанного в теореме вида являются изометриями. Докажем, что других изометрий нет. Преждевсего заметим, что каждая изометрия однозначно определяется тем, куда она переводитфиксированную точку P плоскости и фиксированный ортонормированный репер e1 , e2 вкасательном пространстве в этой точке (другими словами, если существует изометрия,совмещающая между собой два таких набора (точка, репер), то эта изометрия единственна). Действительно пусть Q — произвольная точка плоскости, r — расстояние от нее до P ,и α1 , α2 — углы между лучом P Q и векторами e1 , e2 соответственно.

Тогда, посколькудлины кривых и углы между ними при изометрии сохраняются, и, кроме того, прямыепереходят в прямые, образ f (Q) точки Q будет лежать на луче, выходящем из точки f (P )под углами α1 , α2 к векторам репера dP f (e1 ), dP f (e2 ) и на расстоянии r от f (P ). Этимиданными образ произвольной точки (а значит, и все отображение f ) определяется однозначно. Пусть теперь f — произвольная изометрия; зафиксируем точку P и репер e1 , e2 ,торчащий в этой точке. Заметим, что всегда существует композиция параллельного переноса и ортогонального преобразования, переводящая P в f (P ) и репер e1 , e2 в репер−−−−→dP f (e1 ), dP f (e2 ) (надо сперва устроить параллельный перенос на вектор P f (P ), а затемсовместить два торчащих в одной точке ортонормированных репера ортогональным преобразованием). По только что доказанному свойству единственности, эта композиция иесть изометрия f .Замечание 6.

Изометрии плоскости делятся на два типа: собственные (det A = 1) инесобственные (det A = −1). Собственные изометрии — повороты вокруг некоторойточки и параллельные переносы. Несобственные — это скользящие симметрии (осевыесимметрии с одновременным параллельным переносом на некоторый вектор, параллельный оси симметрии). Это утверждение называется теоремой Шаля. 56Задачи.1. Доказать, что развертка цилиндрической поверхности на плоскость — изометрия.2. Доказать, что развертка конуса на плоскость — изометрия.3.

Доказать, что отображение ϕ = v + arctg ρ, r 2 = ρ2 + 1 — изометрия √коноидаx = ρ cos v, y = ρ sin v, z = ρ + v и гиперболоида x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = r 2 − 1.4. Найти группу изометрий сферы.5. Доказать, что существует поверхность вращения, изометричная винтовой поверхности x = u cos v, y = u sin v, z = F (u) + av, причем при изометрии винтовые линиипереходят в параллели.6. Найти поверхность вращения, изометричную геликоиду x = u cos v, y = sin v, z = av.7. Доказать, что поверхности x√= ρ cos v,√y = ρ sin v, z = a(ln(ρ/a) + v) иx = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = a 2(ln r + r 2 − a2 ) изометричны.578 Лекция 8. Геометрия на сфере§ 1.

Введение.Ниже мы рассмотрим простейшие примеры неевклидовых геометрий. Такие геометрии возникают, например, на поверхностях в трехмерном пространстве: зная первую квадратичную форму поверхности, можно находить на ней аналоги прямых — геодезические,строить из них треугольники и многоугольники, доказывать различные геометрическиетеоремы.

Характеристики

Список файлов лекций