Главная » Просмотр файлов » А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии

А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 8

Файл №1117961 А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии) 8 страницаА.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961) страница 82019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Другими словами, для двух данных точек P, Q и данного касательного в точке P вектора aможет существовать много векторов, получающихся из a в результате параллельного30переноса в точку Q; каждый их них соответствует некоторой кривой γ, соединяющей эти две точки. В частности, если P = Q, то, перенося вектор a вдоль какой-либозамкнутой кривой, мы получим, вообще говоря, другой вектор, касающийся поверхности в той же точке. Таким образом, для каждой замкнутой кривой, начинающейся изаканчивающейся в точке P , возникает отображение A : TP M → TP M касательногопространства TP M к поверхности в себя, определенное параллельным переносом вдольэтой кривой.

Это отображение — линейный оператор (докажите!); он называется оператором голономии, соответствующим данной кривой. Задача 1. Найти оператор голономии, соответствующий параллели широты α на единичной сфере.Ответ. Это оператор поворота на угол 2π sin α.Замечание 9. Использование ковариантных производных при определении параллельногопереноса неизбежно: если определить параллельное семейство векторов, как семейство снулевой производной da/dt, то, как правило семейств касательных векторов, параллельных вдоль кривых, не будет существовать. Действительно, равенство da/dt = 0 — этоn уравнений на N координат (a1 (t), .

. . , an (t)) касательного вектора. Это обстоятельство фактически уже обсуждалось в начале предыдущего параграфа — геометрическионо означает, что параллельный перенос в трехмерном пространстве “выталкивает”вектор из касательного пространства к поверхности. § 5. Свойства параллельного переноса.Пусть P, Q — точки на поверхности M, TP M, TQ M — соответствующие касательныеплоскости, γ — гладкая кривая на M, соединяющая P с Q.Теорема 2. Параллельный перенос вдоль γ из P в Q — линейный ортогональный оператор,действующий из TP M в TQ M.Доказательство.

Линейность оператора параллельного перенесения очевидна: если a(t),a′ (t) — семейства векторов, параллельные вдоль γ, то семейство ca(t) + c′ a′ (t) (c, c′ —числа) также параллельно (докажите!). Чтобы доказать его ортогональность, надо проверить, что параллельный перенос не меняет скалярного произведения векторов. Для этогорассмотрим параллельные семейства a(t), a′ (t); их скалярное произведениеf (t) = (a(t), a′ (t)) — дифференцируемая функция одной переменной t. Вычислим ее производную.

Используя свойства ковариантной производной (см. Предложение 1 из § 1.),получим:df= (∇b a, a′ ) + (a, ∇b a′ ),dtгде b — касательный вектор к кривой γ. Из параллельности рассматриваемых семействследует, что оба слагаемых в правой части равны нулю. Поэтому функция f не зависитот t; в частности, она одинакова в точках, соответствующих P и Q. Это и означает, чтоскалярное произведение сохраняется при параллельном переносе.Следствие 1.

При параллельном переносе сохраняются длины векторов и углы междувекторами. § 6. Геодезические.Понятие ковариантной производной (или параллельного переноса) позволяет определить на поверхности линии, аналогичные прямым на плоскости (или в трехмерном пространстве). Действительно, прямые — это в точности те кривые на плоскости, ускорение31которых равно нулю, если параметр натуральный. Другими словами, они обладают следующим свойством: их вектор скорости параллелен вдоль них (параллельно перенося касательный вектор к прямой вдоль нее, мы все время будем получать касательный к нейвектор).Определение 8. Кривая γ на поверхности называется геодезической, если ее ковариантное ускорение равно нулю (другими словами, равна нулю геодезическая кривизна), т.е.единичный вектор скорости v параллелен вдоль нее: ∇v v = 0.Выпишем уравнения, которым должны удовлетворять геодезические в координатахu , .

. . , un на поверхности. Если уравнения этой кривой ui = ui(s) (s — натуральный параметр), то, подставляя в уравнения параллельного переноса (12) в качестве ai компонентыu̇i вектора скорости, получим уравнения геодезических :1.. iu +nXΓijk (u1 (s), u2(s))u̇j u̇k = 0.(13)j, k=1Замечание 10. Уравнения геодезических (13) представляют собой систему из n нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на n неизвестных функцийu1 (s), . .

. , un (s). Из теоремы существования и единственности решения задачи Коши длятаких уравнений следует, что локально (т.е. при достаточно малых s) эта системаимеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:ui (0) = Qi ,u̇i (0) = ai ,i = 1, . . . , n.Задание таких условий эквивалентно заданию начальной точки Q = (Q1 , . . . , Q n ) и начального вектора скорости a = (a1 , . .

. , an ) нашей кривой. Таким образом, мы получаемследующий вывод: через каждую точку поверхности в каждом направлении проходитровно одна геодезическая. Замечание 11. Рассматривая кривую на поверхности как пространственную и используяопределение ковариантной производной, условие параллельности касательного векторавдоль кривой можно переформулировать так: проекция вектора ускорения этой кривой внатуральном параметре на касательную плоскость к поверхности равно нулю.

Другимисловами, геодезические — это ровно те кривые вектор главной нормали к которым вкаждой точке перпендикулярен поверхности. Замечание 12. Пусть две n-мерные поверхности M и Q касаются друг друга вдоль общейкривой γ, т.е. в любой точке γ(t) этой кривой касательные пространства к поверхностям совпадают: Tγ(t) M = Tγ(t) Q. Тогда, очевидно, ковариантная производная вдоль γ отлюбого семейства касательных векторов на поверхности M совпадает с ковариантнойпроизводной от того же семейства на поверхности Q. Поэтому параллельный переносвдоль этой кривой на поверхностях M и Q — одно и то же: любое семейство векторов,параллельное вдоль γ на M, параллельно и на Q. По той же причине γ — геодезическаяна M тогда и только тогда, когда она является геодезической на Q.

Этими свойствами удобно пользоваться при практическом вычислении параллельного переноса: иногдабывает возможно подобрать достаточно простую поверхность, касающуюся данной вточках кривой, вдоль которой надо перенести касательный вектор. В этом случае егоможно переносить на этой простой поверхности.

32Задачи.1. Найти символы Кристоффеля:(a) на сфере;(b) на эллипсоиде;(c) на конусе;(d) на катеноиде; x = a ch(u/a) cos v, y = a ch(u/a) sin v, z = u;(e) на геликоиде x = u cos v, y = u sin v, z = av.2. На какой угол повернется вектор при параллельном переносе вдоль:(a) замкнутой кривой на цилиндре;(b) замкнутой кривой на конусе;(c) параллели на сфере;(d) треугольника на сфере, состоящего из двух отрезков меридианов и части экватора;(e) треугольника на сфере, состоящего из двух отрезков меридианов и части параллели?3. Параллельно перенести вектор вдоль параллели на поверхности вращения.4. Параллельно перенести вектор вдоль пространственной кривой на поверхности, образованной главными нормалями (бинормалями) к этой кривой.5.

Найти геодезические:(a) на евклидовой плоскости;(b) на сфере;(c) на конусе;(d) на цилиндрической поверхности;(e) на плоскости Лобачевского;(f) на R2 \{0} с метрикой ds2 = (dx2 + dy 2 )/(x2 + y 2 )2 .6. Будет ли геодезической на поверхности вращения:(a) параллель;(b) меридиан?7. Для геодезических на поверхности вращения доказать теорему Клеро:ρ cos µ = const, где ρ — расстояние от точки геодезической до оси вращения, µ —угол между геодезической и параллелью.8. Исследовать поведение геодезических:(a) на эллипсоиде вращения;(b) на однополостном гиперболоиде вращения;(c) на торе вращения.339.

Доказать, что геодезические на поверхности с лиувиллевой метрикойds2 = (f (x) + ϕ(y))(dx2 + dy 2) задаются уравнениями:ZZdxdyp=± p+ b.f (x) + aϕ(y) − a345 Лекция 5. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизны§ 1. Нормальные сечения и вторая квадратичная форма поверхности.Займемся теперь изучением локального строения поверхности с точностью до бесконечно малых второго порядка. Для этого мы используем тот же прием, который привелнас к изучению касательной плоскости — рассмотрим всевозможные кривые, лежащие наповерхности. Отклонение каждой такой кривой от ее касательной описывается кривизной (или ускорением). Посмотрим, через какие характеристики поверхности выражаютсякривизны лежащих на ней кривых, и изучим эти характеристики.

При этом мы ограничимся рассмотрением простейшего случая т.н. гиперповерхностей, т.е. поверхностей, размерность которых на единицу меньше размерности объемлющего пространства (типичныйпример — двумерные поверхности в R3 ).Определение 1. Поверхность размерности n в RN называется гиперповерхностью, еслиN = n + 1.В этой и следующей лекциях всюду рассматриваются гиперповерхности. Нормальные пространства к гиперповерхности одномерны; зафиксируем гладко зависящий от точки единичный вектор m из этого пространства. Если на поверхности заданы координатыu1 , .

. . , un , вектор m можно определить по формуле, аналогичной формуле векторногопроизведения:e1 . . . en+1 ∂x1∂xn+1  1 ...∂u1 m = det  ∂u,...  ... ... ∂x1∂xn+1 ...∂un∂unгде e1 , . . . , en+1 — базисные орты в Rn+1 и определитель считается разложенным по первойстроке.Пусть P — точка на поверхности M : r = r(u), координаты которой ui0 .

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее