А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Другими словами, для двух данных точек P, Q и данного касательного в точке P вектора aможет существовать много векторов, получающихся из a в результате параллельного30переноса в точку Q; каждый их них соответствует некоторой кривой γ, соединяющей эти две точки. В частности, если P = Q, то, перенося вектор a вдоль какой-либозамкнутой кривой, мы получим, вообще говоря, другой вектор, касающийся поверхности в той же точке. Таким образом, для каждой замкнутой кривой, начинающейся изаканчивающейся в точке P , возникает отображение A : TP M → TP M касательногопространства TP M к поверхности в себя, определенное параллельным переносом вдольэтой кривой.
Это отображение — линейный оператор (докажите!); он называется оператором голономии, соответствующим данной кривой. Задача 1. Найти оператор голономии, соответствующий параллели широты α на единичной сфере.Ответ. Это оператор поворота на угол 2π sin α.Замечание 9. Использование ковариантных производных при определении параллельногопереноса неизбежно: если определить параллельное семейство векторов, как семейство снулевой производной da/dt, то, как правило семейств касательных векторов, параллельных вдоль кривых, не будет существовать. Действительно, равенство da/dt = 0 — этоn уравнений на N координат (a1 (t), .
. . , an (t)) касательного вектора. Это обстоятельство фактически уже обсуждалось в начале предыдущего параграфа — геометрическионо означает, что параллельный перенос в трехмерном пространстве “выталкивает”вектор из касательного пространства к поверхности. § 5. Свойства параллельного переноса.Пусть P, Q — точки на поверхности M, TP M, TQ M — соответствующие касательныеплоскости, γ — гладкая кривая на M, соединяющая P с Q.Теорема 2. Параллельный перенос вдоль γ из P в Q — линейный ортогональный оператор,действующий из TP M в TQ M.Доказательство.
Линейность оператора параллельного перенесения очевидна: если a(t),a′ (t) — семейства векторов, параллельные вдоль γ, то семейство ca(t) + c′ a′ (t) (c, c′ —числа) также параллельно (докажите!). Чтобы доказать его ортогональность, надо проверить, что параллельный перенос не меняет скалярного произведения векторов. Для этогорассмотрим параллельные семейства a(t), a′ (t); их скалярное произведениеf (t) = (a(t), a′ (t)) — дифференцируемая функция одной переменной t. Вычислим ее производную.
Используя свойства ковариантной производной (см. Предложение 1 из § 1.),получим:df= (∇b a, a′ ) + (a, ∇b a′ ),dtгде b — касательный вектор к кривой γ. Из параллельности рассматриваемых семействследует, что оба слагаемых в правой части равны нулю. Поэтому функция f не зависитот t; в частности, она одинакова в точках, соответствующих P и Q. Это и означает, чтоскалярное произведение сохраняется при параллельном переносе.Следствие 1.
При параллельном переносе сохраняются длины векторов и углы междувекторами. § 6. Геодезические.Понятие ковариантной производной (или параллельного переноса) позволяет определить на поверхности линии, аналогичные прямым на плоскости (или в трехмерном пространстве). Действительно, прямые — это в точности те кривые на плоскости, ускорение31которых равно нулю, если параметр натуральный. Другими словами, они обладают следующим свойством: их вектор скорости параллелен вдоль них (параллельно перенося касательный вектор к прямой вдоль нее, мы все время будем получать касательный к нейвектор).Определение 8. Кривая γ на поверхности называется геодезической, если ее ковариантное ускорение равно нулю (другими словами, равна нулю геодезическая кривизна), т.е.единичный вектор скорости v параллелен вдоль нее: ∇v v = 0.Выпишем уравнения, которым должны удовлетворять геодезические в координатахu , .
. . , un на поверхности. Если уравнения этой кривой ui = ui(s) (s — натуральный параметр), то, подставляя в уравнения параллельного переноса (12) в качестве ai компонентыu̇i вектора скорости, получим уравнения геодезических :1.. iu +nXΓijk (u1 (s), u2(s))u̇j u̇k = 0.(13)j, k=1Замечание 10. Уравнения геодезических (13) представляют собой систему из n нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на n неизвестных функцийu1 (s), . .
. , un (s). Из теоремы существования и единственности решения задачи Коши длятаких уравнений следует, что локально (т.е. при достаточно малых s) эта системаимеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:ui (0) = Qi ,u̇i (0) = ai ,i = 1, . . . , n.Задание таких условий эквивалентно заданию начальной точки Q = (Q1 , . . . , Q n ) и начального вектора скорости a = (a1 , . .
. , an ) нашей кривой. Таким образом, мы получаемследующий вывод: через каждую точку поверхности в каждом направлении проходитровно одна геодезическая. Замечание 11. Рассматривая кривую на поверхности как пространственную и используяопределение ковариантной производной, условие параллельности касательного векторавдоль кривой можно переформулировать так: проекция вектора ускорения этой кривой внатуральном параметре на касательную плоскость к поверхности равно нулю.
Другимисловами, геодезические — это ровно те кривые вектор главной нормали к которым вкаждой точке перпендикулярен поверхности. Замечание 12. Пусть две n-мерные поверхности M и Q касаются друг друга вдоль общейкривой γ, т.е. в любой точке γ(t) этой кривой касательные пространства к поверхностям совпадают: Tγ(t) M = Tγ(t) Q. Тогда, очевидно, ковариантная производная вдоль γ отлюбого семейства касательных векторов на поверхности M совпадает с ковариантнойпроизводной от того же семейства на поверхности Q. Поэтому параллельный переносвдоль этой кривой на поверхностях M и Q — одно и то же: любое семейство векторов,параллельное вдоль γ на M, параллельно и на Q. По той же причине γ — геодезическаяна M тогда и только тогда, когда она является геодезической на Q.
Этими свойствами удобно пользоваться при практическом вычислении параллельного переноса: иногдабывает возможно подобрать достаточно простую поверхность, касающуюся данной вточках кривой, вдоль которой надо перенести касательный вектор. В этом случае егоможно переносить на этой простой поверхности.
32Задачи.1. Найти символы Кристоффеля:(a) на сфере;(b) на эллипсоиде;(c) на конусе;(d) на катеноиде; x = a ch(u/a) cos v, y = a ch(u/a) sin v, z = u;(e) на геликоиде x = u cos v, y = u sin v, z = av.2. На какой угол повернется вектор при параллельном переносе вдоль:(a) замкнутой кривой на цилиндре;(b) замкнутой кривой на конусе;(c) параллели на сфере;(d) треугольника на сфере, состоящего из двух отрезков меридианов и части экватора;(e) треугольника на сфере, состоящего из двух отрезков меридианов и части параллели?3. Параллельно перенести вектор вдоль параллели на поверхности вращения.4. Параллельно перенести вектор вдоль пространственной кривой на поверхности, образованной главными нормалями (бинормалями) к этой кривой.5.
Найти геодезические:(a) на евклидовой плоскости;(b) на сфере;(c) на конусе;(d) на цилиндрической поверхности;(e) на плоскости Лобачевского;(f) на R2 \{0} с метрикой ds2 = (dx2 + dy 2 )/(x2 + y 2 )2 .6. Будет ли геодезической на поверхности вращения:(a) параллель;(b) меридиан?7. Для геодезических на поверхности вращения доказать теорему Клеро:ρ cos µ = const, где ρ — расстояние от точки геодезической до оси вращения, µ —угол между геодезической и параллелью.8. Исследовать поведение геодезических:(a) на эллипсоиде вращения;(b) на однополостном гиперболоиде вращения;(c) на торе вращения.339.
Доказать, что геодезические на поверхности с лиувиллевой метрикойds2 = (f (x) + ϕ(y))(dx2 + dy 2) задаются уравнениями:ZZdxdyp=± p+ b.f (x) + aϕ(y) − a345 Лекция 5. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизны§ 1. Нормальные сечения и вторая квадратичная форма поверхности.Займемся теперь изучением локального строения поверхности с точностью до бесконечно малых второго порядка. Для этого мы используем тот же прием, который привелнас к изучению касательной плоскости — рассмотрим всевозможные кривые, лежащие наповерхности. Отклонение каждой такой кривой от ее касательной описывается кривизной (или ускорением). Посмотрим, через какие характеристики поверхности выражаютсякривизны лежащих на ней кривых, и изучим эти характеристики.
При этом мы ограничимся рассмотрением простейшего случая т.н. гиперповерхностей, т.е. поверхностей, размерность которых на единицу меньше размерности объемлющего пространства (типичныйпример — двумерные поверхности в R3 ).Определение 1. Поверхность размерности n в RN называется гиперповерхностью, еслиN = n + 1.В этой и следующей лекциях всюду рассматриваются гиперповерхности. Нормальные пространства к гиперповерхности одномерны; зафиксируем гладко зависящий от точки единичный вектор m из этого пространства. Если на поверхности заданы координатыu1 , .
. . , un , вектор m можно определить по формуле, аналогичной формуле векторногопроизведения:e1 . . . en+1 ∂x1∂xn+1 1 ...∂u1 m = det ∂u,... ... ... ∂x1∂xn+1 ...∂un∂unгде e1 , . . . , en+1 — базисные орты в Rn+1 и определитель считается разложенным по первойстроке.Пусть P — точка на поверхности M : r = r(u), координаты которой ui0 .