Главная » Просмотр файлов » А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии

А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 6

Файл №1117961 А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии) 6 страницаА.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961) страница 62019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Закон преобразования матрицы первой квадратичной формы при замене координат.Запись первой квадратичной формы через дифференциалы.Выясним, как меняется матрица первой квадратичной формы поверхности при замене координат на ней. Поскольку матрица перехода между каноническими базисами —это матрица Якоби, закон преобразования матрицы первой квадратичной формы таков:ее матрица egij = (ρi , ρj ), соответствующая координатам v выражается через матрицуgkm = (rk , rm ) по формуле:nX∂uk ∂umgij =egij .∂v i ∂v jk, m=1Пусть M — поверхность, параметризованная координатами ui; обозначим через dui линейный функционал на касательном пространстве в произвольной точке этой поверхности, ставящий вPсоответствие касательному вектору его i-ю координату в базисе r1 , .

. . , rn(т.е., если a =aj rj , то dui(a) = ai ). Набор функционалов du1, . . . , dun образует базисв пространстве, сопряженном к касательному (двойственный базис к базису r1 , . . . , rn ).Значение первой квадратичной формы на произвольном векторе a (т.е. квадрат длиныэтого вектора) можно записать так:| a| 2 =nXgij ai aj =i, j =1nXgij duiduj (a),i, j =1где под произведением dui duj понимается квадратичная форма:1duiduj (a) = (dui(a)duj (a) + duj (a)dui (a)).2Саму первую квадратичную форму принято обозначать ds2 (имея в виду, что это квадратдлины); в этих обозначениях:nX2ds =gij duiduj .i,j=1Такие обозначения чрезвычайно удобны, поскольку при замене координат ui = ui(v) наповерхности функционалы dui преобразуются в точности как дифференциалы соответствующих функций (докажите!):nX∂ui jdu =dv ;∂v ji,j=1iпоэтому, зная матрицу первой квадратичной формы в одной системе координат, ее легко вычислить в любой другой, подставляя в формулу для ds2 старые координаты, какфункции от новых (при этом их надо подставлять как в аргументы функций gij , так и в“дифференциалы” duj ).23Задачи.1.

Найти первую квадратичную форму:(a) катеноида — поверхности вращения кривой x = a ch(u/a), z = u вокруг оси Oz;(b) геликоида общего вида — поверхности, получающейся равномерным вращениемплоской кривой вокруг оси и одновременным равномерным движением вдольэтой оси;(c) поверхности, образованной касательными к некоторой кривой;(d) эллипсоида, гиперболоида, параболоида;(e) тора вращения — поверхности, полученной вращением окружности вокруг оси,не пересекающей ее;(f) поверхности, образованной нормалями (бинормалями) к заданной пространственной кривой;2.

Найти угол между кривыми:(a) u + v = 0, u − v = 0 на поверхности r = (u cos v, u sin v, av);(b) v = u + 1, v = 3 − u на поверхности r = (u cos v, u sin v, u2);3. Найти длину дуги между произвольными точками кривой v = ln | u ±на поверхности r = (u cos v, u sin v, av).√u2 + a2 | + C4. Найти периметр и углы треугольника, образованного кривыми u = ± av 2 /2, v = 1на поверхности r = (u cos v, u sin v, av).5. Найти кривые, делящие пополам углы между линиями u = const, v = const на поверхности r = (u cos v, u sin v, u2/2).6.

Найти локсодромы (кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом) насфере. Написать уравнения локсодром на поверхности вращения.244 Лекция 4. Ковариантное дифференцирование на поверхностях. Параллельный перенос касательных векторов. Геодезические линии§ 1. Ковариантное дифференцирование на поверхностях. Ковариантная производная векторного поля.Теперь мы рассмотрим два тесно связанных между собой вопроса — как правильноопределить производные от касательных векторов к поверхности и как параллельно переносить такие векторы. Первый из этих вопросов естественно возникает при вычисленииускорений кривых.

Действительно, пусть γ — кривая на поверхности; ее ускорение — этопроизводная от вектора скорости, т.е. от касательного вектора к поверхности. Эту производную можно вычислить, рассмотрев кривую γ как пространственную и затем продифференцировав ее вектор скорости. Однако при этом получится вектор, который, вообщеговоря, не будет касаться поверхности — для того, чтобы в этом убедиться, достаточнорассмотреть в качестве γ пересечение поверхности с двумерной плоскостью, проходящейчерез какую-либо точку P ∈ M и не лежащей в касательном пространстве TP M.

Ясно, что вектор ускорения такого сечения, вычисленный в точке P , будет лежать в этойплоскости, т.е. не будет касаться поверхности. С другой стороны, с точки зрения жителяповерхности, такие векторы не имеют никакого смысла — он может “ наблюдать” только касательные векторы к поверхности. Поэтому для такого жителя ускорение кривойдолжно вычисляться как-то иначе.Аналогичное явление происходит при попытке параллельно перенести касательныйвектор из точки P поверхности в другую точку Q.

Действительно, согласно известнымправилам параллельного переноса в евклидовом пространстве, для этого надо просто построить в точке Q точно такой же (по величине и направлению) вектор, какой был висходной точке. Однако в результате такой операции (как и в результате дифференцирования) касательный вектор к поверхности перестает, вообще говоря, быть таковым — вкачестве простейшего примера можно рассмотреть, например, параллельный перенос изполюса двумерной сферы в точку ее экватора.

Действительно, если касательный векторк сфере в полюсе касался какого-то меридиана, то после параллельного переноса в точку пересечения этого меридиана с экватором он станет перпендикулярным касательнойплоскости к сфере. Поэтому “с внутренней точки зрения” (т.е. с точки зрения жителяповерхности) параллельный перенос должен выглядеть по-другому.Оказывается, оба эти вопроса (о дифференцировании и параллельном переносе) могут быть решены при помощи одной и той же конструкции — ковариантной производнойвекторного поля.Рассмотрим на поверхности кривую γ, параметризованную параметром t; пусть a —вектор скорости этой кривой.

Самый простой способ изготовить из вектора ускоренияda/dt касательный вектор к поверхности — это спроектировать его на касательную плоскость.Определение 1. Ковариантным ускорением ∇γ a кривой γ называется вектор Π(da/dt),где Π — ортогональная проекция на касательную плоскость к поверхности. Длина ковариантного ускорения называется геодезической кривизной кривой γ и обозначаетсяkg : kg = |∇γ a|.Ясно, что ковариантное ускорение зависит не только от кривой как геометрическогоместа точек, но и от выбора параметра на ней — от этого выбора, как известно, зависити обычный вектор ускорения. Для того, чтобы иметь возможность вычислять ковариантные производные от касательных векторов вдоль любых кривых, удобно развить для этих25производных аппарат, аналогичный аппарату частных производных функций нескольких переменных (зная правила вычисления частных производных функций несколькихпеременных, можно вычислять по универсальным формулам производные от функций,ограниченных на любые кривые — именно, производная df /dt функции f (x1 , .

. . , xn ), расP ∂f dxiсматриваемая как функция переменной t на кривой xi = xi (t), имеет вид). Для∂xi dtтого, чтобы это сделать, надо определить семейства касательных векторов к поверхности, зависящие от произвольной точки на поверхности (т.е. меняющиеся от точки к точкекасательные векторы). Такие семейства называются векторными полями.Определение 2. Гладкое векторное поле a(P ) на поверхности M — это касательный векторк M, заданный в каждой точке этой поверхности и гладко меняющийся от точки к точке.Последнее условие означает следующее.

Каждый касательный вектор определяется своими координатами a i в базисе r1 , . . . , rn ; если вектор задан в каждой точке, то ai — функциипараметров u1 , . . . , un . Гладкая зависимость вектора от точки поверхности означает, чтоэти функции бесконечно дифференцируемы.Таким образом, в координатах каждое гладкое векторное поле определяется заданием n функций от n переменных — ai (u1 , . .

. , un ). Определим теперь (частные) ковариантные производные векторного поля a(P ). Для этого рассмотрим произвольную точкуQ поверхности и зафиксируем все ее координаты кроме одной, например, ui, т.е. рассмотрим на поверхности координатную линию i-й координаты, проходящую через точку Q.В каждой точке этой кривой имеется вектор a; таким образом, мы получили семействоN-мерных векторов a(ui ).Определение 3.

Ковариантной производной ∇i a векторного поля a(P ) по координате uiв точке Q называется вектор Π(∂a(ui )/∂ui ), вычисленный в точке Q. Здесь Π — ортогональный проектор на касательную плоскость к поверхности.Замечание 1. Очевидно, вычисляя ковариантную производную ∇i a во всех точках поверхности, получим новое гладкое векторное поле. Аналогично производным по направлению от функций n переменных определяетсяковариантная производная отPвекторного поля вдоль касательного вектора. Именно, пустьa(P ) — векторное поле и b = bi ri (Q) — касательный вектор к поверхности в точке Q.Определение 4.

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее