А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Закон преобразования матрицы первой квадратичной формы при замене координат.Запись первой квадратичной формы через дифференциалы.Выясним, как меняется матрица первой квадратичной формы поверхности при замене координат на ней. Поскольку матрица перехода между каноническими базисами —это матрица Якоби, закон преобразования матрицы первой квадратичной формы таков:ее матрица egij = (ρi , ρj ), соответствующая координатам v выражается через матрицуgkm = (rk , rm ) по формуле:nX∂uk ∂umgij =egij .∂v i ∂v jk, m=1Пусть M — поверхность, параметризованная координатами ui; обозначим через dui линейный функционал на касательном пространстве в произвольной точке этой поверхности, ставящий вPсоответствие касательному вектору его i-ю координату в базисе r1 , .

. . , rn(т.е., если a =aj rj , то dui(a) = ai ). Набор функционалов du1, . . . , dun образует базисв пространстве, сопряженном к касательному (двойственный базис к базису r1 , . . . , rn ).Значение первой квадратичной формы на произвольном векторе a (т.е. квадрат длиныэтого вектора) можно записать так:| a| 2 =nXgij ai aj =i, j =1nXgij duiduj (a),i, j =1где под произведением dui duj понимается квадратичная форма:1duiduj (a) = (dui(a)duj (a) + duj (a)dui (a)).2Саму первую квадратичную форму принято обозначать ds2 (имея в виду, что это квадратдлины); в этих обозначениях:nX2ds =gij duiduj .i,j=1Такие обозначения чрезвычайно удобны, поскольку при замене координат ui = ui(v) наповерхности функционалы dui преобразуются в точности как дифференциалы соответствующих функций (докажите!):nX∂ui jdu =dv ;∂v ji,j=1iпоэтому, зная матрицу первой квадратичной формы в одной системе координат, ее легко вычислить в любой другой, подставляя в формулу для ds2 старые координаты, какфункции от новых (при этом их надо подставлять как в аргументы функций gij , так и в“дифференциалы” duj ).23Задачи.1.

Найти первую квадратичную форму:(a) катеноида — поверхности вращения кривой x = a ch(u/a), z = u вокруг оси Oz;(b) геликоида общего вида — поверхности, получающейся равномерным вращениемплоской кривой вокруг оси и одновременным равномерным движением вдольэтой оси;(c) поверхности, образованной касательными к некоторой кривой;(d) эллипсоида, гиперболоида, параболоида;(e) тора вращения — поверхности, полученной вращением окружности вокруг оси,не пересекающей ее;(f) поверхности, образованной нормалями (бинормалями) к заданной пространственной кривой;2.

Найти угол между кривыми:(a) u + v = 0, u − v = 0 на поверхности r = (u cos v, u sin v, av);(b) v = u + 1, v = 3 − u на поверхности r = (u cos v, u sin v, u2);3. Найти длину дуги между произвольными точками кривой v = ln | u ±на поверхности r = (u cos v, u sin v, av).√u2 + a2 | + C4. Найти периметр и углы треугольника, образованного кривыми u = ± av 2 /2, v = 1на поверхности r = (u cos v, u sin v, av).5. Найти кривые, делящие пополам углы между линиями u = const, v = const на поверхности r = (u cos v, u sin v, u2/2).6.

Найти локсодромы (кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом) насфере. Написать уравнения локсодром на поверхности вращения.244 Лекция 4. Ковариантное дифференцирование на поверхностях. Параллельный перенос касательных векторов. Геодезические линии§ 1. Ковариантное дифференцирование на поверхностях. Ковариантная производная векторного поля.Теперь мы рассмотрим два тесно связанных между собой вопроса — как правильноопределить производные от касательных векторов к поверхности и как параллельно переносить такие векторы. Первый из этих вопросов естественно возникает при вычисленииускорений кривых.

Действительно, пусть γ — кривая на поверхности; ее ускорение — этопроизводная от вектора скорости, т.е. от касательного вектора к поверхности. Эту производную можно вычислить, рассмотрев кривую γ как пространственную и затем продифференцировав ее вектор скорости. Однако при этом получится вектор, который, вообщеговоря, не будет касаться поверхности — для того, чтобы в этом убедиться, достаточнорассмотреть в качестве γ пересечение поверхности с двумерной плоскостью, проходящейчерез какую-либо точку P ∈ M и не лежащей в касательном пространстве TP M.

Ясно, что вектор ускорения такого сечения, вычисленный в точке P , будет лежать в этойплоскости, т.е. не будет касаться поверхности. С другой стороны, с точки зрения жителяповерхности, такие векторы не имеют никакого смысла — он может “ наблюдать” только касательные векторы к поверхности. Поэтому для такого жителя ускорение кривойдолжно вычисляться как-то иначе.Аналогичное явление происходит при попытке параллельно перенести касательныйвектор из точки P поверхности в другую точку Q.

Действительно, согласно известнымправилам параллельного переноса в евклидовом пространстве, для этого надо просто построить в точке Q точно такой же (по величине и направлению) вектор, какой был висходной точке. Однако в результате такой операции (как и в результате дифференцирования) касательный вектор к поверхности перестает, вообще говоря, быть таковым — вкачестве простейшего примера можно рассмотреть, например, параллельный перенос изполюса двумерной сферы в точку ее экватора.

Действительно, если касательный векторк сфере в полюсе касался какого-то меридиана, то после параллельного переноса в точку пересечения этого меридиана с экватором он станет перпендикулярным касательнойплоскости к сфере. Поэтому “с внутренней точки зрения” (т.е. с точки зрения жителяповерхности) параллельный перенос должен выглядеть по-другому.Оказывается, оба эти вопроса (о дифференцировании и параллельном переносе) могут быть решены при помощи одной и той же конструкции — ковариантной производнойвекторного поля.Рассмотрим на поверхности кривую γ, параметризованную параметром t; пусть a —вектор скорости этой кривой.

Самый простой способ изготовить из вектора ускоренияda/dt касательный вектор к поверхности — это спроектировать его на касательную плоскость.Определение 1. Ковариантным ускорением ∇γ a кривой γ называется вектор Π(da/dt),где Π — ортогональная проекция на касательную плоскость к поверхности. Длина ковариантного ускорения называется геодезической кривизной кривой γ и обозначаетсяkg : kg = |∇γ a|.Ясно, что ковариантное ускорение зависит не только от кривой как геометрическогоместа точек, но и от выбора параметра на ней — от этого выбора, как известно, зависити обычный вектор ускорения. Для того, чтобы иметь возможность вычислять ковариантные производные от касательных векторов вдоль любых кривых, удобно развить для этих25производных аппарат, аналогичный аппарату частных производных функций нескольких переменных (зная правила вычисления частных производных функций несколькихпеременных, можно вычислять по универсальным формулам производные от функций,ограниченных на любые кривые — именно, производная df /dt функции f (x1 , .

. . , xn ), расP ∂f dxiсматриваемая как функция переменной t на кривой xi = xi (t), имеет вид). Для∂xi dtтого, чтобы это сделать, надо определить семейства касательных векторов к поверхности, зависящие от произвольной точки на поверхности (т.е. меняющиеся от точки к точкекасательные векторы). Такие семейства называются векторными полями.Определение 2. Гладкое векторное поле a(P ) на поверхности M — это касательный векторк M, заданный в каждой точке этой поверхности и гладко меняющийся от точки к точке.Последнее условие означает следующее.

Каждый касательный вектор определяется своими координатами a i в базисе r1 , . . . , rn ; если вектор задан в каждой точке, то ai — функциипараметров u1 , . . . , un . Гладкая зависимость вектора от точки поверхности означает, чтоэти функции бесконечно дифференцируемы.Таким образом, в координатах каждое гладкое векторное поле определяется заданием n функций от n переменных — ai (u1 , . .

. , un ). Определим теперь (частные) ковариантные производные векторного поля a(P ). Для этого рассмотрим произвольную точкуQ поверхности и зафиксируем все ее координаты кроме одной, например, ui, т.е. рассмотрим на поверхности координатную линию i-й координаты, проходящую через точку Q.В каждой точке этой кривой имеется вектор a; таким образом, мы получили семействоN-мерных векторов a(ui ).Определение 3.

Ковариантной производной ∇i a векторного поля a(P ) по координате uiв точке Q называется вектор Π(∂a(ui )/∂ui ), вычисленный в точке Q. Здесь Π — ортогональный проектор на касательную плоскость к поверхности.Замечание 1. Очевидно, вычисляя ковариантную производную ∇i a во всех точках поверхности, получим новое гладкое векторное поле. Аналогично производным по направлению от функций n переменных определяетсяковариантная производная отPвекторного поля вдоль касательного вектора. Именно, пустьa(P ) — векторное поле и b = bi ri (Q) — касательный вектор к поверхности в точке Q.Определение 4.

Характеристики

Список файлов лекций