А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Чтобы явно ввести этотпараметр, определим сперва длину дуги кривой (она определяется точно так же, как идля плоских кривых).Определение 2. Пусть t1 , t2 — две точки на кривой r = r(t), t1 < t2 . Длиной дуги кривой,заключенной между точками t1 и t2 , называется число:Z t2Z t2 p′l=| r (t)|dt =(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt.t1t1Теперь натуральный параметр s определяется аналогично плоскому случаю.
Именно,на кривой фиксируется точка t0 и значение параметра s в точке t полагается равным длинедуги между точками t0 и t с соответствующим знаком:Z ts(t) =| r ′(t1 )|dt1 .t0Ясно, что, если кривая задана в натуральной параметризации, то | ṙ| = | dr/ds| = 1.Касательная к пространственной кривой в точке t0 определяется точно так же, какк плоской; ее уравнения имеют такой же вид:r = r ′ (t0 )τ + r(t0 ).Первое различие между плоскими и пространственными кривыми возникает при рассмотрении нормали: в плоском случае через данную точку кривой перпендикулярно касательной проходит ровно одна прямая, а в пространственном случае — бесконечно много; всеони лежат в одной плоскости, называемой нормальной плоскостью к кривой.
Уравнениенормальной плоскости к кривой в точке t0 , очевидно, имеет вид:(r − r(t0 ), r ′(t0 )) = (x − x(t0 ))x′ (t0 ) + (y − y(t0 ))y ′ (t0 ) + (z − z(t0 ))z ′ (t0 ) = 0.Кривизна пространственной кривой определяется аналогично плоскому случаю. Именно,пусть r = r(s) — натуральная параметризация; поскольку | ṙ| = 1, ускорение при движе..нии по кривой чисто центростремительно, т.е r ⊥ ṙ.
Длина этого вектора и называетсякривизной пространственной кривой:..k(s) = | r(s)| .Задача 1. Соприкасающейся окружностью к пространственной кривой в точке s0 называется окружность, имеющая с кривой в точке s0 касание второго порядка. Доказать, чтоцентр соприкасающейся окружности лежит на прямой, проходящей через данную точку..кривой в направлении вектора r(s0 ), а ее радиус равен 1/| k(s0 )| ...Замечание 1. Плоскость векторов ṙ, r называется соприкасающейся плоскостью к кривой.
11§ 2. Формулы Френе в трехмерном пространстве. Кручение кривой...Пусть в точке s пространственной кривой r 6= 0. Тогда, поделив этот вектор на егодлину (т.е. на кривизну кривой в данной точке) получим единичный вектор, перпендикулярный касательной.Определение 3. Этот вектор называется вектором главной нормали к кривой в данной..точке; по определению, он равен r/k.Обозначение. Единичный вектор скорости ṙ в точке s обозначается через v(s), а векторглавной нормали — через n(s).Из определения вектора главной нормали немедленно следует формула v̇(s) = k(s)n(s),аналогичная формуле Френе в плоском случае.
Однако вторая формула, определяющаяпроизводную от вектора n, будет уже другой; это обстоятельство связано с тем, что вслучае пространственной кривой пара векторов v, n не образует базиса в R3 — векторовменьше, чем надо. Однако эту пару векторов легко дополнить до ортонормированногобазиса, добавив к ним третий вектор — их векторное произведение.Определение 4. Вектор b(s) = v(s) × n(s) называется вектором бинормали к кривой вточке s ; ортонормированная тройка (v, n, b) называется репером Френе...Замечание 2. Репер Френе определен в тех точках кривой, в которых r 6= 0 или, другимисловами, k(s) 6= 0.
Определение 5. Кривая, кривизна которой не обращается в нуль, называется бирегулярной.Замечание 3. На каждую пару векторов из тройки (v, n, b) можно натянуть двумернуюплоскость. Таким образом, в каждой точке кривой определены три плоскости, проходящие через эту точку.
Две из них нам уже встречались: плоскость (n, b) — это нормальная плоскость к кривой, а плоскость (v, n) — соприкасающаяся. Третья плоскость(натянутая на векторы v, b) называется спрямляющей плоскостью к кривой в даннойточке. Рассмотрим теперь производные v̇, ṅ, ḃ векторов репера Френе и выразим их черезсами эти векторы. Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.Лемма 1.
Пусть A(t) — гладкая, невырожденная при всех t, n × n–матричная функцияdA −1и пусть Φ(t) =A . Если матрица A(t) при всех t ортогональна, то матрица Φ(t)dtкососимметрична (т.е. ΦT = −Φ). Обратно, если матрица Φ(t) кососимметрична привсех t и матрица A ортогональна хотя бы при одном значении t = t0 , то эта матрицаортогональна и при всех t.Доказательство. Дифференцируя произведение AT A, получаем:d TdA dAT(A A) = AT+A = AT ΦA + AT ΦT A = AT (Φ + ΦT )A.dtdtdtОтсюда вытекает утверждение леммы. Действительно, если матрица A(t) ортогональна,левая часть равенства равна нулю (производная от единичной матрицы), откуда ΦT + Φ = 0.Обратно, если матрица Φ кососимметрична, то правая часть равенства равна нулю, т.е.матрица AT A не зависит от t. Поэтому, если эта матрица единичная при t = t0 , то онаединичная и при всех t.12Замечание 4.
В терминах теории линейных дифференциальных уравнений эту леммуможно переформулировать следующим образом. Оператор Коши системы линейных дифференциальных уравнений с кососимметричной матрицей является ортогональным, инаоборот, если оператор Коши при всех t ортогонален, то матрица системы кососимметрична. Перейдем теперь к доказательству формул Френе.Теорема 1. Имеют место формулы:v(s) = k(s)n(s),n(s) = −k(s)v(s) − κ(s)b(s),b(s) = κ(s)n(s),(1)где κ(s) — бесконечно дифференцируемая функция в любой точке кривой, в которойk(s) 6= 0.Определение 6.
Число κ(s) называется кручением пространственной кривой в точке s;формулы (1) называются пространственными формулами Френе.Доказательство. Составим из векторов–строк (v, n, b) 3 × 3–матрицу A(s):v1 v2 v3A(s) = n1 n2 n3 b1 b2 b3Эта матрица ортогональна, поскольку репер Френе ортонормирован. По только что доказанной лемме, отсюда следует, что Ȧ = ΦA, где Φ — кососимметричная матрица.
С другойстороны, поскольку v̇ = k(s)n(s), первая строка матрицы Φ имеет вид (0, k(s), 0). Отсюдаи из косой симметрии следует, что:0k(s)00−κ(s) ,Φ(s) = −k(s)0κ(s)0где κ(s) — гладкая функция, что и требовалось.§ 3. Вычислительные формулы для кривизны и кручения.Если кривая задана в натуральной параметризации, то ее кривизна легко вычисля..ется: k(s) = |r(s)|. Однако кривые бывают заданы в другой параметризации; возникаетвопрос: как в этом случае вычислить кривизну? Конечно, можно сперва перейти к натуральному параметру, а затем применить написанную выше формулу; однако переход отпроизвольного параметра к натуральному требует вычисления неопределенных интегралов и обратных функций, что, как правило, весьма затруднительно. Поэтому желательноиметь явные формулы для кривизны (и кручения) кривой, заданной произвольной параметризацией; оказывается, такие формулы нетрудно получить и они содержат толькооперации дифференцирования и умножения.Предложение 1.
Пусть r = r(t) — параметрические уравнения кривой. Тогда ее кривизнаи кручение вычисляются по формулам:| r ′(t) × r ′′ (t)|,| r ′(t)| 3< r ′ (t), r ′′ (t), r ′′′ (t) >κ(t) = −.| r ′(t) × r ′′ (t)| 2k(t) =..Выражение для кручения справедливо в тех точках кривой, в которых r 6= 0.13Доказательство. Получим сперва формулу для кривизны.
Для этого выразим производные вектора r по параметру s через его производные по параметру t. Дважды дифференцируя, получаем:ṙ = r ′dt,ds..r = r ′′ (dt 2d2 t) + r′ 2 .dsds(2)Вычисляя векторное произведение скорости и ускорения, получаем:..ṙ × r = |dt 3 ′| r × r ′′ .dsИз определения натурального параметра получаем ds/dt = | r ′| , откуда следует, что dt/ds =|r ′ |−1 (теорема о производной обратной функции; напомним, что r ′ 6= 0).
Таким образом,кривизна кривой имеет вид:....k(s) = | r| = | ṙ × r| =| r ′ × r ′′ |.| r′| 3Перейдем теперь к вычислению кручения. Вычислим его сперва как функцию натурального параметра. Из второй формулы Френе имеем κ = −(ṅ, b) = − < ṅ, v, n >.
С другой.......стороны, ṅ = (r/k)′s = r/k + r d(k −1 )/ds. Из этих формул, с учетом параллельности век..торов n и r получаем:.. ......< r, ṙ, n >< ṙ, r, r >=−.κ=−kk2(3)Поскольку формула для кривизны как функции произвольного параметра t уже получена, для вычисления кручения достаточно выразить через t смешанное произведение.. ......< ṙ, r, r >.
Для этого вычислим третью производную r. Дифференцируя второе равенство в (2), получаем:3dt 2 d2 tdt...′d tr = r ′′′ ( )3 + 3r ′′+r.dsds ds2ds3Вычисляя смешанное произведение этого вектора, вектора скорости и ускорения (см.
(2)),получим:dt< r ′, r ′′ , r ′′′ >.. ...< ṙ, r, r >= ( )6 < r ′ , r ′′ , r ′′′ >=.ds| r′| 6Подставляя в (3) эту формулу вместе с уже доказанной формулой для кривизны, немедленно получаем нужную формулу для кручения.§ 4. Восстановление кривой по кривизне и кручению. Натуральные уравнения кривой.Оказывается, кривизна и кручение однозначно определяют кривую с точностью доее расположения в пространстве.Теорема 2. Пусть k(s) и κ(s) — гладкие функции и k(s) > 0. Тогда существует и притомединственная (с точностью до движения в R3 ) бирегулярная пространственная криваяr(s) = (x(s), y(s), z(s)), параметризованная гладким параметром s, такая, что функцииk(s) и κ(s) являются ее кривизной и кручением соответственно.Доказательство.
Рассмотрим дифференциальные уравнения, совпадающие по своему виду с формулами Френе: v̇0k 0vṅ = −k 0 κ n .0 −κ 0bḃ14Мы будем интерпретировать эти уравнения как матричное уравнение (т.е. линейное дифференциальное уравнение в 9–мерном пространстве 3 × 3–матриц), представляя каждыйиз векторов v, n, b как строку из их координат. Рассмотрим задачу Коши для этого уравнения, задав при s = 0 произвольную правую ортонормированную тройку векторов v0 , n0 , b0 .Теорема существования и единственности решения задачи Коши для систем линейныхдифференциальных уравнений гарантирует существование единственного гладкого решения v(s), n(s), b(s) нашей задачи при всех s, причем из доказанной в § 2.
леммы вытекает,что эти три вектора образую при всех s правую ортонормированную тройку (матрица,составленная из этих векторов, ортогональна при всех s). Рассмотрим кривую в R3 , заданную параметрическими уравнениями:Z sr = r0 +v(u)du;0докажем, что кривизна и кручение этой кривой равны k(s) и κ(s) соответственно. Действительно, вектор скорости нашей кривой, очевидно, равен v(s); далее, сравнивая уравнениена вектор v(s) с первой формулой Френе, записанной для рассматриваемой кривой, полу..чаем, что k(s) = |r| и n(s) — вектор главной нормали.
Отсюда сразу следует, что b(s) —бинормаль (т.к. b = v × n), а из сравнения уравнения на этот вектор с третьей формулойФрене получаем, что κ(s) — кручение нашей кривой. Итак, искомая кривая построена.Докажем, что она определена однозначно с точностью до движения пространства. Пустьγ1 , γ2 — две кривые, для которых k(s) — кривизна, а κ(s) — кручение. Рассмотрим движение пространства f , совмещающее точки этих кривых с нулевым значением параметра sи переводящее репер Френе при s = 0 кривой γ1 в репер Френе при s = 0 кривой γ2 (такоедвижение, конечно, всегда существует — это композиция параллельного переноса, совмещающего начальные точки и поворота вокруг этой общей точки, совмещающего реперыФрене).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
