А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

. . , fn перейдет при этом в новый базис e1 , . . . , en (базис главных осей); матрицавторой квадратичной формы в нем диагональна. Кроме того, этот базис ортонормирован (т.к. он получен из ортонормированного ортогональным преобразованием), поэтомуматрица первой квадратичной формы в нем единичная.e — матрица второй квадраЗапишем теперь эту процедуру в координатах. Пусть Bтичной формы в базисе f1 , . . .

, fn , а T — матрица перехода от базиса r1 , . . . , rn к f1 , . . . , fn .e = T t BT, E = T t GT (E — единичная n × n-матрица). Собственные числа λjТогда Be − λE) = 0;квадратичной формы b находятся из характеристического уравнения det(Bподставляя сюда предыдущие формулы, перепишем это уравнение в виде:det(T t BT − λT t GT ) = det(T t (B − λG)T ) = (det T )2 det(B − λG) = 0,откуда получаем (5). Таким образом, осталось только проверить формулу (6). Обозначимчерез q1 , . . . , qn столбцы из координат векторов e1 , . . . , en в базисе f1 , .

. . , fn . Эти столбцы —e − λj E); с другой стороны, они связаны со столбцами a1 , . . . , anнуль-векторы матриц (Bформулами aj = T qj . Отсюда получаем:e − λj E) qj = T t (B − λj G)T qj = T t (B − λj G)aj ,0 = (Bоткуда немедленно следует (6).38Определение 4. Числа λ1 , . . . , λn называются главными кривизнами, а направления векторов e1 , . . .

, en (т.е. прямые, проходящие через эти векторы) — главными направлениямиповерхности M в точке P .Замечание 3. Если все главные кривизны различны, то главные направления определеныоднозначно — в этом случае ранг матриц (B − λj G) равен n − 1. Если же k главныхкривизн совпадают, то эти матрицы имеют ранг n − k, и в касательном пространстве имеется k-мерное подпространство, любое направление в котором — главное. Еслиповерхность двумерна, то в каждой точке имеется всего две главных кривизны; еслиони совпадают, то любое касательное направление — главное (в частности, в качествебазиса e1 , e2 можно взять любой ортонормированный базис в касательной плоскости).В последнем случае точка P двумерной поверхности M называется омбилической (илиточкой закругления). В омбилической точке поверхность имеет касание второго порядка с некоторой сферой.

Среди чисел λj содержатся максимальное и минимальное значения кривизн нормальных сечений. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произвольное нормальное сечениеповерхности M в точке P . Оно задается направлением своего единичного касательноговектора v, которое, вPсвою очередь, определяется своими углами α1 , . .

. , αn с главныминаправлениями: v =ei cos αi . Подставляя это выражение в формулу Менье (3), получим с учетом диагональности матрицы второй квадратичной формы в базисе e1 , . . . , en :ek=nXλi cos2 αi .(7)i=1Замечание 4. Формула (7) называется формулой Эйлера.Пусть λ1 — максимальная среди главных кривизн.Представив cos2 α1 в виде:n−1X1−cos2 αi ,i=1получим из (7):ek = λ1 −n−1X(λ1 − λi ) cos2 αi .i=1Из последней формулы, очевидно, следует, что ek ≤ λ1 и при αi = 0, i = 1, . . . , n − 1,ek = λ1 , т.е. кривизна нормального сечения, проведенного через главное направление,соответствующее максимальной главной кривизне, максимальна и равна этой главнойкривизне. Аналогично получаем, что кривизна нормального сечения, проведенного через главное направление, соответствующее минимальной главной кривизне, минимальна.Если несколько главных кривизн совпадают, то кривизны всех нормальных сечений, касательные векторы к которым лежат в соответствующем инвариантном подпространстве,совпадают и равны главной кривизне (докажите!).§ 4.

Гауссова и средняя кривизны поверхности.Часто вместо главных кривизн удобнее пользоваться другими величинами, которыечерез них выражаются.Определение 5. Гауссовой кривизной K поверхности M в точке P называется произведениеглавных кривизн, а средней кривизной H — их сумма:K = λ1 · . . . · λn ;H = λ1 + . . . + λn .39Замечание 5. Иногда средней кривизной называют среднее арифметическое главных кривизн. Вычислительные формулы для гауссовой и средней кривизны немедленно следуютиз теоремы о корнях характеристического уравнения.

Именно, перепишем уравнение дляглавных кривизн в виде det(BG−1 − λE) = 0. Применяя указанную теорему, получаем:H = tr(BG−1 ), K = det(BG−1 ) =det B.det G§ 5. Геометрический смысл первой и второй квадратичных форм.Обсудим геометрический смысл первой и второй квадратичных форм.

Как мы видели выше, первая квадратичная форма полностью определяет геометрию, возникающуюна самой поверхности — длины, углы, операцию параллельного переноса и аналоги прямых (геодезические) можно вычислять, зная только матрицу gij (u). Вторая квадратичная форма (и, в частности, главные кривизны) показывает, в какую сторону и насколькоискривлена поверхность в объемлющем пространстве (в этом смысле информация, доставляемая главными кривизнами, похожа на информацию, доставляемую кривизной икручением пространственной кривой).

В частности, вторая квадратичная форма определяет локальное расположение поверхности M относительно касательного пространства кней в точке P . Именно, зафиксируем на поверхности M точку P и вектор нормали mв этой точке и рассмотрим в окрестности P на M функцию δ, равную отклонению точки поверхности от касательного пространства TP M в точке P . Это – гладкая функция nпеременных u, обращающаяся в нуль в точке P .Утверждение 1.

Точка P — критическая точка функции δ, причем ее матрица Гессе вточке P совпадает с матрицей второй квадратичной формы поверхности в этой точке.Доказательство. Очевидно, функция δ(u) имеет вид δ(u) = (m(P ), r(u)−r(P )). Ее первыепроизводные:∂δ= (rj (u), m(P ))∂ujобращаются в нуль в точке P , так что P — критическая точка δ. Далее, вторые производные этой функции в точке P имеют вид:∂2δ= (rij (P ), m(P )) = bij (P ).∂ui ∂ujСледствие 1. Если все главные кривизны одного знака, то функция δ имеет в точке Pэкстремум (т.к. матица вторых производных знакоопределена), т.е. в некоторой проколотой окрестности этой точки она сохраняет знак.

Это означает, что некотораяокрестность точки P на поверхности M целиком лежит по одну сторону от касательного пространства TP M.Если среди главных кривизн поверхности в точке P есть как положительные, таки отрицательные, то P — седловая точка для функции δ. Это означает, что в любойокрестности точки P на M найдутся как точки, в которых δ > 0, так и точки, вкоторых δ < 0.

Другими словами, любая такая окрестность пересекается касательнымпространством TP M, и часть ее лежит по одну, а часть — по другую сторону от этогопространства.Если же среди главных кривизн есть нулевые, а все остальные одного знака, томатрица второй квадратичной формы не определяет полностью поведения функции δ40(т.е.

расположения M относительно касательного пространства TP M) в окрестноститочки P . Для исследования этого поведения необходимо рассматривать третьи производные функции r(u) в этой точке. 41Задачи.1. Найти вторую квадратичную форму:(a) поверхности вращения;(b) сферы;(c) эллипсоида, гиперболоида, параболоида вращения;(d) катеноида;(e) геликоида.2. Найти главные кривизны и главные направления в вершинах двуполостного гиперболоида (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 = 1.3.

Найти главные кривизны и главные направления прямого геликоида r = (u cos v, u sin v, av),его гауссову и среднюю кривизны.4. Найти главные кривизны поверхности z = xy в точке (1, 1, 1).5. Найти гауссову кривизну параболоида (x/a)2 + (y/b)2 = 2z.6. Дана поверхность r = (u2 + v 2 , u2 − v 2 , uv) и точка P : u = v = 1. Найти в этой точкеглавные кривизны поверхности и кривизну нормального сечения, касательного ккривой v = u2 .p7. Найти гауссову и среднюю кривизну поверхности z = f ( x2 + y 2).8.

Найти гауссову кривизну поверхности, у которой ds2 = du2 + exp(2u)dv 2.9. Найти омбилические точки на эллипсоиде вращения.10. Поверхность S задана уравнениями r = r0 (u, v), а поверхность S ∗ — уравнениямиr = r0 (u, v) + am(u, v). Выразить среднюю и гауссову кривизны поверхности S ∗ черезсреднюю и гауссову кривизны поверхности S.426 Лекция 6. Деривационные формулы. Восстановление поверхности по паре квадратичных форм.

Уравнения Гаусса и Кодацци. Теорема Гаусса. Гауссова кривизна§ 1. Деривационные формулы.С каждой точкой гиперповерхности связан базис r1 , . . . , rn , m объемлющего пространства; этот базис можно считать аналогом репера Френе, возникающего в теориикривых (хотя, в отличие от репера Френе, базис, порожденный гиперповерхностью, неортонормирован). Естественно поэтому попытаться получить аналог формул Френе —равенства, выражающие производные от базисных векторов r1 , . . .

, rn , m через сами этивекторы и, тем самым, описывающие движение базиса при изменении точки поверхности.Такие формулы в теории поверхностей называются деривационными формулами.Теорема 1 (Деривационные формулы Гаусса–Вейнгартена). Обозначим через rij и mj производные векторов ri , m по координате uj :∂2rrij =,∂ui ∂ujmj =∂m.∂ujИмеют место равенства:rij =nXΓkij rk + bij m,k=1mi =nX(1)βij rj .j =1Здесь Γkij — символы Кристоффеля (формулы для них получены в Лекции 4), bij — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности (см. предыдущую Лекцию), коэффициенты βij выражаются через первую и вторую квадратичные формы следующимобразом:nXβij = −g jk bikk=1ij(напомним, что матрица g обратна к матрице gij ).Доказательство. Разложим вектор rij на касательную и нормальную к поверхности Mкомпоненты:rij = Π(rij ) + mij ,где Π — оператор ортогонального проектирования на касательную плоскость к поверхности, mij — проекция вектора rij на нормаль.

Вектор Π(rij ) вычислен в Лекции 4 (формулы(2) – (3)):nXΠ(rij ) =Γkij rk ;k=1вектор mij , очевидно, равен:mij = (m, rij )m = bij m.Таким образом, первая часть формул (1) доказана. Для вычисления векторов mj заметим,что они ортогональны вектору m (т.к.

последний имеет единичную длину — см. Лемму,43доказанную в первой Лекции), и поэтому разлагаются по каноническому базису r1 , . . . , rn :mi =nXβik rk ,(2)k=1где βik — некоторые (пока неопределенные) коэффициенты. Для того, чтобы их найти,умножим (2) скалярно на rm ; получим:(mi , rm ) =nXβik gkm ,k=1откуда:βij=nXg js (mi , rs ).s =1Наконец, дифференцируя по ui равенство (m, rm ) = 0, получим (mi , rm ) + bim = 0, откуданемедленно следует нужное выражение для βik .Как уже отмечалось, деривационные формулы похожи на формулы Френе теориикривых — они описывают движение репера r1 , . .

. , rn , m при движении точки по поверхности. Это движение, таким образом, определяется парой квадратичных форм — первойи второй формами поверхности, которые в этом смысле играют ту же роль, что кривизнаи кручение кривой. Напомним, что задание кривизны и кручения полностью определяеткривую с точностью до ее расположения в пространстве (т.е. с точностью до его движения); кроме того, эту пару функций можно задавать произвольно: если k(s), κ(s) —гладкие функции и k > 0, всегда найдется кривая, для которой эти функции будут кривизной и кручением.

Доказательство этих фактов основано на анализе дифференциальныхуравнений, определенных формулами Френе.Выясним, как обстоит дело в случае поверхностей; таким образом, нас сейчас интересуют два вопроса:1. Определяется ли поверхность (с точностью до своего расположения в пространстве)заданием первой и второй квадратичных форм?2. Можно ли эту пару форм задавать произвольно (позаботившись лишь о положительности первой квадратичной формы)?Оказывается, ответы на эти два вопроса противоположны: первый решается положительно, а второй отрицательно.

Характеристики

Список файлов лекций