Главная » Просмотр файлов » А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии

А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 10

Файл №1117961 А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии) 10 страницаА.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961) страница 102019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

. . , fn перейдет при этом в новый базис e1 , . . . , en (базис главных осей); матрицавторой квадратичной формы в нем диагональна. Кроме того, этот базис ортонормирован (т.к. он получен из ортонормированного ортогональным преобразованием), поэтомуматрица первой квадратичной формы в нем единичная.e — матрица второй квадраЗапишем теперь эту процедуру в координатах. Пусть Bтичной формы в базисе f1 , . . .

, fn , а T — матрица перехода от базиса r1 , . . . , rn к f1 , . . . , fn .e = T t BT, E = T t GT (E — единичная n × n-матрица). Собственные числа λjТогда Be − λE) = 0;квадратичной формы b находятся из характеристического уравнения det(Bподставляя сюда предыдущие формулы, перепишем это уравнение в виде:det(T t BT − λT t GT ) = det(T t (B − λG)T ) = (det T )2 det(B − λG) = 0,откуда получаем (5). Таким образом, осталось только проверить формулу (6). Обозначимчерез q1 , . . . , qn столбцы из координат векторов e1 , . . . , en в базисе f1 , .

. . , fn . Эти столбцы —e − λj E); с другой стороны, они связаны со столбцами a1 , . . . , anнуль-векторы матриц (Bформулами aj = T qj . Отсюда получаем:e − λj E) qj = T t (B − λj G)T qj = T t (B − λj G)aj ,0 = (Bоткуда немедленно следует (6).38Определение 4. Числа λ1 , . . . , λn называются главными кривизнами, а направления векторов e1 , . . .

, en (т.е. прямые, проходящие через эти векторы) — главными направлениямиповерхности M в точке P .Замечание 3. Если все главные кривизны различны, то главные направления определеныоднозначно — в этом случае ранг матриц (B − λj G) равен n − 1. Если же k главныхкривизн совпадают, то эти матрицы имеют ранг n − k, и в касательном пространстве имеется k-мерное подпространство, любое направление в котором — главное. Еслиповерхность двумерна, то в каждой точке имеется всего две главных кривизны; еслиони совпадают, то любое касательное направление — главное (в частности, в качествебазиса e1 , e2 можно взять любой ортонормированный базис в касательной плоскости).В последнем случае точка P двумерной поверхности M называется омбилической (илиточкой закругления). В омбилической точке поверхность имеет касание второго порядка с некоторой сферой.

Среди чисел λj содержатся максимальное и минимальное значения кривизн нормальных сечений. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произвольное нормальное сечениеповерхности M в точке P . Оно задается направлением своего единичного касательноговектора v, которое, вPсвою очередь, определяется своими углами α1 , . .

. , αn с главныминаправлениями: v =ei cos αi . Подставляя это выражение в формулу Менье (3), получим с учетом диагональности матрицы второй квадратичной формы в базисе e1 , . . . , en :ek=nXλi cos2 αi .(7)i=1Замечание 4. Формула (7) называется формулой Эйлера.Пусть λ1 — максимальная среди главных кривизн.Представив cos2 α1 в виде:n−1X1−cos2 αi ,i=1получим из (7):ek = λ1 −n−1X(λ1 − λi ) cos2 αi .i=1Из последней формулы, очевидно, следует, что ek ≤ λ1 и при αi = 0, i = 1, . . . , n − 1,ek = λ1 , т.е. кривизна нормального сечения, проведенного через главное направление,соответствующее максимальной главной кривизне, максимальна и равна этой главнойкривизне. Аналогично получаем, что кривизна нормального сечения, проведенного через главное направление, соответствующее минимальной главной кривизне, минимальна.Если несколько главных кривизн совпадают, то кривизны всех нормальных сечений, касательные векторы к которым лежат в соответствующем инвариантном подпространстве,совпадают и равны главной кривизне (докажите!).§ 4.

Гауссова и средняя кривизны поверхности.Часто вместо главных кривизн удобнее пользоваться другими величинами, которыечерез них выражаются.Определение 5. Гауссовой кривизной K поверхности M в точке P называется произведениеглавных кривизн, а средней кривизной H — их сумма:K = λ1 · . . . · λn ;H = λ1 + . . . + λn .39Замечание 5. Иногда средней кривизной называют среднее арифметическое главных кривизн. Вычислительные формулы для гауссовой и средней кривизны немедленно следуютиз теоремы о корнях характеристического уравнения.

Именно, перепишем уравнение дляглавных кривизн в виде det(BG−1 − λE) = 0. Применяя указанную теорему, получаем:H = tr(BG−1 ), K = det(BG−1 ) =det B.det G§ 5. Геометрический смысл первой и второй квадратичных форм.Обсудим геометрический смысл первой и второй квадратичных форм.

Как мы видели выше, первая квадратичная форма полностью определяет геометрию, возникающуюна самой поверхности — длины, углы, операцию параллельного переноса и аналоги прямых (геодезические) можно вычислять, зная только матрицу gij (u). Вторая квадратичная форма (и, в частности, главные кривизны) показывает, в какую сторону и насколькоискривлена поверхность в объемлющем пространстве (в этом смысле информация, доставляемая главными кривизнами, похожа на информацию, доставляемую кривизной икручением пространственной кривой).

В частности, вторая квадратичная форма определяет локальное расположение поверхности M относительно касательного пространства кней в точке P . Именно, зафиксируем на поверхности M точку P и вектор нормали mв этой точке и рассмотрим в окрестности P на M функцию δ, равную отклонению точки поверхности от касательного пространства TP M в точке P . Это – гладкая функция nпеременных u, обращающаяся в нуль в точке P .Утверждение 1.

Точка P — критическая точка функции δ, причем ее матрица Гессе вточке P совпадает с матрицей второй квадратичной формы поверхности в этой точке.Доказательство. Очевидно, функция δ(u) имеет вид δ(u) = (m(P ), r(u)−r(P )). Ее первыепроизводные:∂δ= (rj (u), m(P ))∂ujобращаются в нуль в точке P , так что P — критическая точка δ. Далее, вторые производные этой функции в точке P имеют вид:∂2δ= (rij (P ), m(P )) = bij (P ).∂ui ∂ujСледствие 1. Если все главные кривизны одного знака, то функция δ имеет в точке Pэкстремум (т.к. матица вторых производных знакоопределена), т.е. в некоторой проколотой окрестности этой точки она сохраняет знак.

Это означает, что некотораяокрестность точки P на поверхности M целиком лежит по одну сторону от касательного пространства TP M.Если среди главных кривизн поверхности в точке P есть как положительные, таки отрицательные, то P — седловая точка для функции δ. Это означает, что в любойокрестности точки P на M найдутся как точки, в которых δ > 0, так и точки, вкоторых δ < 0.

Другими словами, любая такая окрестность пересекается касательнымпространством TP M, и часть ее лежит по одну, а часть — по другую сторону от этогопространства.Если же среди главных кривизн есть нулевые, а все остальные одного знака, томатрица второй квадратичной формы не определяет полностью поведения функции δ40(т.е.

расположения M относительно касательного пространства TP M) в окрестноститочки P . Для исследования этого поведения необходимо рассматривать третьи производные функции r(u) в этой точке. 41Задачи.1. Найти вторую квадратичную форму:(a) поверхности вращения;(b) сферы;(c) эллипсоида, гиперболоида, параболоида вращения;(d) катеноида;(e) геликоида.2. Найти главные кривизны и главные направления в вершинах двуполостного гиперболоида (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 = 1.3.

Найти главные кривизны и главные направления прямого геликоида r = (u cos v, u sin v, av),его гауссову и среднюю кривизны.4. Найти главные кривизны поверхности z = xy в точке (1, 1, 1).5. Найти гауссову кривизну параболоида (x/a)2 + (y/b)2 = 2z.6. Дана поверхность r = (u2 + v 2 , u2 − v 2 , uv) и точка P : u = v = 1. Найти в этой точкеглавные кривизны поверхности и кривизну нормального сечения, касательного ккривой v = u2 .p7. Найти гауссову и среднюю кривизну поверхности z = f ( x2 + y 2).8.

Найти гауссову кривизну поверхности, у которой ds2 = du2 + exp(2u)dv 2.9. Найти омбилические точки на эллипсоиде вращения.10. Поверхность S задана уравнениями r = r0 (u, v), а поверхность S ∗ — уравнениямиr = r0 (u, v) + am(u, v). Выразить среднюю и гауссову кривизны поверхности S ∗ черезсреднюю и гауссову кривизны поверхности S.426 Лекция 6. Деривационные формулы. Восстановление поверхности по паре квадратичных форм.

Уравнения Гаусса и Кодацци. Теорема Гаусса. Гауссова кривизна§ 1. Деривационные формулы.С каждой точкой гиперповерхности связан базис r1 , . . . , rn , m объемлющего пространства; этот базис можно считать аналогом репера Френе, возникающего в теориикривых (хотя, в отличие от репера Френе, базис, порожденный гиперповерхностью, неортонормирован). Естественно поэтому попытаться получить аналог формул Френе —равенства, выражающие производные от базисных векторов r1 , . . .

, rn , m через сами этивекторы и, тем самым, описывающие движение базиса при изменении точки поверхности.Такие формулы в теории поверхностей называются деривационными формулами.Теорема 1 (Деривационные формулы Гаусса–Вейнгартена). Обозначим через rij и mj производные векторов ri , m по координате uj :∂2rrij =,∂ui ∂ujmj =∂m.∂ujИмеют место равенства:rij =nXΓkij rk + bij m,k=1mi =nX(1)βij rj .j =1Здесь Γkij — символы Кристоффеля (формулы для них получены в Лекции 4), bij — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности (см. предыдущую Лекцию), коэффициенты βij выражаются через первую и вторую квадратичные формы следующимобразом:nXβij = −g jk bikk=1ij(напомним, что матрица g обратна к матрице gij ).Доказательство. Разложим вектор rij на касательную и нормальную к поверхности Mкомпоненты:rij = Π(rij ) + mij ,где Π — оператор ортогонального проектирования на касательную плоскость к поверхности, mij — проекция вектора rij на нормаль.

Вектор Π(rij ) вычислен в Лекции 4 (формулы(2) – (3)):nXΠ(rij ) =Γkij rk ;k=1вектор mij , очевидно, равен:mij = (m, rij )m = bij m.Таким образом, первая часть формул (1) доказана. Для вычисления векторов mj заметим,что они ортогональны вектору m (т.к.

последний имеет единичную длину — см. Лемму,43доказанную в первой Лекции), и поэтому разлагаются по каноническому базису r1 , . . . , rn :mi =nXβik rk ,(2)k=1где βik — некоторые (пока неопределенные) коэффициенты. Для того, чтобы их найти,умножим (2) скалярно на rm ; получим:(mi , rm ) =nXβik gkm ,k=1откуда:βij=nXg js (mi , rs ).s =1Наконец, дифференцируя по ui равенство (m, rm ) = 0, получим (mi , rm ) + bim = 0, откуданемедленно следует нужное выражение для βik .Как уже отмечалось, деривационные формулы похожи на формулы Френе теориикривых — они описывают движение репера r1 , . .

. , rn , m при движении точки по поверхности. Это движение, таким образом, определяется парой квадратичных форм — первойи второй формами поверхности, которые в этом смысле играют ту же роль, что кривизнаи кручение кривой. Напомним, что задание кривизны и кручения полностью определяеткривую с точностью до ее расположения в пространстве (т.е. с точностью до его движения); кроме того, эту пару функций можно задавать произвольно: если k(s), κ(s) —гладкие функции и k > 0, всегда найдется кривая, для которой эти функции будут кривизной и кручением.

Доказательство этих фактов основано на анализе дифференциальныхуравнений, определенных формулами Френе.Выясним, как обстоит дело в случае поверхностей; таким образом, нас сейчас интересуют два вопроса:1. Определяется ли поверхность (с точностью до своего расположения в пространстве)заданием первой и второй квадратичных форм?2. Можно ли эту пару форм задавать произвольно (позаботившись лишь о положительности первой квадратичной формы)?Оказывается, ответы на эти два вопроса противоположны: первый решается положительно, а второй отрицательно.

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее