А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 5
Текст из файла (страница 5)
∂un∂un ...∂v 1∂v nотличен от нуля. Последнее условие гарантирует, что множество, параметризованноекоординатами v является элементарной поверхностью (докажите!); написанная матрица называется матрицей Якоби замены координат u → v. § 2. Кривые на поверхности. Касательное и нормальное пространства к поверхности.Займемся изучением локального устройства поверхностей. Как и в случае кривых,самую грубую информацию доставляют касательные векторы. Однако, в отличие от кривых, в случае поверхностей эта информация гораздо более содержательна — дело в том,что касательные векторы к n-мерной поверхности образуют n-мерное пространство, в котором естественно возникает евклидова геометрия. Эта геометрия переносится на самуповерхность; однако при этом возникают “искажения”, приводящие к существенным отличиям геометрии на поверхности от евклидовой.Касательные векторы к поверхности естественно определять как векторы скоростейкривых, лежащих на поверхности, поэтому мы сперва определим такие кривые.
Они определяются точно так же, как плоские или пространственные, только роль декартовых координат играют координаты ui на поверхности.Определение 2. Гладкой кривой, лежащей на поверхности M, называется гладкое отображениеγ : [a, b] → M отрезка на поверхность, т.е. набор гладких функций u1 = u1 (t), . . . , un = un (t),где параметр t меняется на отрезке [a, b].19Замечание 5. Такое определение кривой естественно с точки зрения “существа, живущего на поверхности”: такое существо имеет дело только с координатами ui на поверхности, и кривая для него — это закон изменения этих координат со временем.
Замечание 6. Каждая кривая, лежащая на поверхности, является, конечно, гладкой кривой в объемлющем пространстве RN : ее параметрические уравнения в RN получаютсяподстановкой ее уравнений в координатах ui в уравнения поверхности:r = r(u1(t), . . . , un (t)). Зафиксируем теперь точку P на поверхности; пусть ее координаты u10 , . . . , un0 . Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на поверхности и проходящие через эту точку;будем откладывать от нее вектора скоростей этих кривых в точке P .Утверждение 1.
Множество векторов скоростей кривых, лежащих на n-мерной поверхности и проходящих через точку P , образует n-мерное линейное пространство; базисомв нем является набор векторов r1 = ∂r/∂u1 (P ), . . . , rn = ∂r/∂un (P ) (откладываемых отточки P ).Доказательство. Пусть ui = ui (t) — кривая, проходящая через точку P в момент времениt0 ; ее вектор скорости имеет вид:nX∂r i ′u (t0 ),r (t0 ) =∂uii=1′где векторы ∂r/∂ui вычисляются в точке ui(t0 ), т.е. в точке P . Таким образом, вектор скорости любой кривой, проходящей через эту точку, естькомбинация векторов riPлинейная1′n′iс коэффициентами u (t0 ), . . . , u (t0 ). Обратно, пустьc ri — линейная комбинация этихвекторов с произвольными коэффициентами c1 , .
. . , cn ; эта линейная комбинация являетсявектором скорости кривой ui = ui0 + ci t, проходящей при t = 0 через точку P .Определение 3. Пространство векторов скоростей кривых на поверхности M, проходящих через точку P , называется касательным пространством к поверхности в этой точкеи обозначается TP M. Векторы из этого пространства называются касательными векторами к поверхности в точке P .
Базис r1 , . . . , rn называется каноническим базисом в TP M,порожденным координатами u1 , . . . , un .Выясним, как меняется канонический базис при замене координат. Пусть u и v —два набора координат на поверхности, так что ui = ui(v 1 , . . . , v n ) — гладкие функции.Если ri = ∂r/∂ui и ρj = ∂r/∂v j — векторы соответствующих канонических базисов, то, потеореме о дифференцировании сложной функции:ρj =nX∂uii=1∂v jri .Таким образом, значение матрицы Якоби замены координат в точке P является матрицей перехода между соответствующими каноническими базисами в пространстве TP M.Замечание 7. Каждый касательный вектор задается набором своих координат c1 , .
. . , cnв базисе r1 , . . . , rn ; эти координаты можно представлять себе как координаты вектора сточки зрения жителя поверхности. При замене координат на поверхности координатывектора меняются по закону:nX∂ui jic =ec ,∂v jj=1где ec j — его координаты в базисе ρ1 , . . . , ρn (докажите!). 20Перпендикулярно касательному пространству через точку P можно провести (N − n)–мерную плоскость.Определение 4. Ортогональное дополнение к пространству TP M в евклидовом пространстве RN с началом координат в точке P называется нормальным пространством к поверхности M в этой точке.Пример 1. Нормальное пространство к двумерной поверхности в R3 — прямая; ее направляющий вектор, очевидно, можно выбрать в виде:n=r1 (P ) × r2 (P )|r1 (P ) × r2 (P )|Ясно, что направление этого вектора зависит, вообще говоря, от параметризации поверхности; например, если поменять местами координаты ui (т.е.
перейти к новым координатамv 1 = u2 , v 2 = u1 ), направление вектора нормали изменится на противоположное.Задача 2. Выяснить, при каких заменах параметра направление вектора нормали меняется, а при каких — нет.Ответ. Направление не изменится, если и ∂u1 ∂v 1 ∂u2∂v 1только если:∂u1 ∂v 2 > 0.∂u2 ∂v 2§ 3. Первая квадратичная форма поверхности. Геометрия на поверхности.В каждой точке n-мерной поверхности имеется касательное пространство; посколькуоно лежит в объемлющем евклидовом пространстве, имеет смысл скалярное произведениекасательных векторов.
Таким образом, в каждой точке поверхности задана (зависящая отточки) положительно определенная квадратичная (=симметричная билинейная) форма.Определение 5. Эта квадратичная форма называется первой квадратичной формой поверхности.Координаты u1 , . . .
, un на поверхности определяют базис r1 , . . . , rn в касательном пространстве к поверхности в каждой точке. В этом базисе первая квадратичная форма задается своей матрицей gij (u) = (ri , rj ), i, j = 1, . . . , n. Элементы этой n × n-матрицы —бесконечно дифференцируемые функции переменных ui ; ясно, что для каждого фиксированного значения координат матрица gij симметрична и положительно определена. Еслидва касательных вектора a и b из однойPи той же касательнойплоскости заданы своимиP iкоординатами ai и bi в базисе ri (т.е. a = ai ri , b =b ri ), то их скалярное произведениеимеет вид:nX(a, b) =gij ai bj .i, j =1В частности, длина касательного вектора a вычисляется по формуле:vuXu n| a| = tgij ai aj ,i, j =121а угол ϕ между векторами a и b — по формуле:(a, b)cos ϕ ==sn| a|| b|Pi, j =1nPgij ai bjs.nPgij ai ajgij bi bji, j =1i, j =1Таким образом, первая квадратичная форма — это скалярное произведение “с точки зрения жителя поверхности” : зная функции gij (u), он может вычислять длины касательныхвекторов (в частности, скорости движения по кривым, лежащим на поверхности) и углымежду ними.Если в какой-то точке поверхности пересекаются две кривые, лежащие на ней, тоугол между их векторами скорости называется углом между кривыми, лежащими наповерхности.
Приведенные выше формулы позволяют вычислять этот угол, зная уравнения кривых и первую квадратичную форму. Действительно, если ui = v i (t) — уравненияпервой кривой, а ui = w i(τ ) — уравнения второй, и точка пересечения отвечает значениям t0P, τ0 параметровскоростей кривых в точке пересечения имеют вид:P t iи τ , то векторы′′a =ai ri и b =b ri , где ai = v i (t0 ), bi = w i (τ0 ). Подставляя эти значения в приведенную выше формулу для угла между касательными векторами, получим выражение,определяющее угол между пересекающимися кривыми.Далее, зная первую квадратичную форму, житель поверхности может вычислятьдлины дуг кривых, лежащих на поверхности. Действительно, пусть ui = ui (t) — такаякривая.
Длина l ее дуги между точкамиP i′ t1 и t2 — это, по определению, интеграл от t1 доt2 от длины вектора скорости a =u ri . Учитывая формулу для длины касательноговектора, получаем для длины дуги:Z t2 qgij (u(t))ui′ (t)uj ′ (t)dt.l=t1Наконец, объем n-мерной области U на поверхности также выражается через первую квадратичную форму:nz }| Z{Z√V (U) = .
. .det G du1du2 . . . duneU(здесь G – ее матрица в базисе ri и интегрирование ведется по той области в Rn , которуюпробегают координаты ui ).Итак, первая квадратичная форма позволяет жителю поверхности проводить геометрические вычисления и доказывать геометрические теоремы: например, он может изучатькриволинейные многоугольники, их углы, периметры и т.д. Ниже мы увидим, что на каждой поверхности естественным образом определяется параллельный перенос и имеютсякривые, аналогичные прямым на плоскости.
Таким образом, каждая поверхность наделяется геометрией; эта геометрия, вообще говоря, разная для разных поверхностей — онаопределяется тем, как устроена в разных точках поверхности первая квадратичная форма. Отметим в связи с этим, что в теории кривых разных геометрий не возникает — налюбой кривой можно ввести натуральный параметр s, и расстояние на кривой между двумя точками s1 и s2 (т.е. длина дуги) будет всегда вычисляться по универсальной формуле|s2 − s1 |, одинаковой для всех кривых.22§ 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
