А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Проверим, что такое движение совмещает кривые γ2 и γ1 целиком. Действительно, пусть (v(s), n(s), b(s)) — репер Френе любой из кривых γ2 , f (γ1 ). Поскольку матрица,составленная из этих векторов удовлетворяет рассмотренной выше задаче Коши для системы линейных дифференциальных уравнений, причем как уравнения, так и начальныеусловия одинаковы для рассматриваемых двух кривых (при s = 0 реперы Френе совпадают по определению движения f ), векторы скорости, нормали и бинормали у кривыхγ2 и f (γ1 ) совпадают при всех s. Из совпадения векторов скорости следует, что радиус–векторы r(s) для этих кривых отличаются на постоянный вектор (ṙ = v(s)), а посколькупри s = 0 точки наших двух кривых совпадают, этот вектор равен нулю, т.е.

целикомсовпадают рассматриваемые кривые.Задача 2. Сформулируйте аналогичное утверждение для плоской кривой и укажите явнуюпроцедуру восстановления кривой, заданной ее функцией кривизны k(s).Замечание 5. Теория кривых в евклидовом пространстве произвольной размерности Nстроится аналогично трехмерному случаю. В точности так же определяются векторскорости, длина дуги, натуральный параметр, соприкасающаяся окружность и кривизна. Различие проявляется при рассмотрении кручения: каждой кривой в N-мерном можно сопоставить N − 2 гладкие функции (кручения) и ортонормированный репер (реперФрене), заданный в каждой точке кривой.

Формулы Френе в многомерном случае похожина трехмерные: производная от k-го вектора репера Френе выражается через (k − 1)-ыйи (k + 1)-ой векторы; коэффициенты и есть кручения (определения кручений и репераФрене и вывод формул Френе в многомерном случае можно найти, например, в книгеА.С. Мищенко и А.Т.

Фоменко “Курс дифференциальной геометрии и топологии”). 15Задачи.1. Найти репер Френе кривой r = (t2 , 1 − t, t3 ).2. Найти кривизну и кручение кривой:(a) r = (t − sin t, 1 − cos t, 4 sin2 (t/2));√(b) r = (et , e−t , t 2);(c) r = (2t, ln t, t2 );(d) r = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 );3. Найти все кривые с постоянными кривизной и кручением.4.

Доказать, что кривая плоская, если кручение равно нулю.5. Доказать существование вектора Дарбу ω, т.ч.v̇ = ω × v,ṅ = ω × n,ḃ = ω × b.Какой механический смысл имеет этот вектор?6. Доказать, что следующие условия эквивалентны:(a) касательные к кривой образуют постоянный угол с фиксированным направлением;(b) главные нормали перпендикулярны фиксированному направлению;(c) бинормали образуют постоянный угол с фиксированным направлением;(d) отношение кривизны к кручению постоянно(кривая, удовлетворяющая этим условиям, называется обобщенной винтовой линией)7.

Доказать, что кривая — обобщенная винтовая тогда и только тогда, когда.. ...< r, r, r (4) >= 0.8. Доказать, что, если все нормальные плоскости к кривой проходят через одну точку,то кривая лежит на сфере.9. Доказать, что кривая лежит на сфере тогда и только тогда, когдаk̇ 21(1+) = R2 .k2k2κ210.

Сфера (r − r0 )2 = R2 называется соприкасающейся к кривой r = r(t) в точке t0 , еслиона имеет с кривой в этой точке касание третьего порядка, т.е.(r(t) − r0 )2 − R2 = o((t − t0 )3 ).Найти центр и радиус соприкасающейся сферы к заданной кривой в заданной точке.Доказать, что, если этот радиус постоянен, то кривая лежит на сфере или имеетпостоянную кривизну.11.

Доказать формулу.. ...< ḃ, b, b >= κ 5 (k/κ)′s .1612. Ввести натуральный параметр на кривой:(a) r = (a sin t, a cos t, bt);(b) r = (et cos t, et sin t, et );(c) r = (ch t, sh t, t);13. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой, заданной какпересечение поверхностей F (x, y, z) = 0 и Φ(x, y, z) = 0. item Доказать, что криваяплоская и найти ее плоскость:(a) x = (1 + t)/(1 − t),(b) x = a1 t2 + b1 t + c1 ,y = 1/(1 − t2 ),z = 1/(1 + t);y = a2 t2 + b2 t + c2 ,z = a3 t2 + b3 t + c3 ;14. Составить уравнение кривой пересечения сферы с цилиндром вдвое меньшего радиуса, проходящего через центр сферы (кривая Вивиани).

Написать уравнения касательной, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости, нормали и бинормали.15. В каждой точке кривойx = t − sin t,y = 1 − cos t,z = 4 sin(t/2)в положительном направлении отложен отрезок, равный учетверенной кривизне вэтой точке. Написать уравнение соприкасающейся плоскости кривой, описанной концом отрезка.16. Кривая, лежащая на сфере и пересекающая меридианы под прямыми углами, называется локсодромой. Найти уравнение локсодромы, ее репер Френе, кривизну икручение.17.

Когда точка движется по кривой, ее единичный вектор скорости (главной нормали,бинормали), описывает линию на единичной сфере. Эта линия называется касательным (нормальным, бинормальным) сферическим образом кривой. Доказать, что касательная к касательному сферическому образу кривой параллельна касательной всоответствующей точке к бинормальному сферическому образу.18. Доказать, что, если касательный сферический образ лежит на большом круге, токривая плоская.19. Доказать, что кривая — обобщенная винтовая линия тогда и только тогда, когдакасательный сферический образ — дуга параллели.173 Лекция 3.

Поверхности в евклидовом пространстве. Перваяквадратичная форма поверхности§ 1. Способы задания поверхностей. Координаты на поверхности.Рассмотрим теперь n-мерные поверхности в N-мерном евклидовом пространстве,N ≥ n (типичный случай — двумерные поверхности в R3 ), в котором заданы стандартные евклидовы координаты x1 , . . . , xN . Способы их задания аналогичны способам заданиякривых; мы сразу приведем наиболее употребительное определение поверхности, заданной параметрически. Ясно, что, поскольку поверхность n-мерна, она должна задаватьсявектором, зависящим от n параметров.Определение 1.

Гладкой регулярной элементарной n-мерной поверхностью в RN называется множество точек N-мерного пространства, заданное уравнениями r = r(u1 , . . . , un ), гдекоординаты xi (u) N-мерной вектор-функции r(u) бесконечно дифференцируемы функции в некоторой открытой области в n-мерном пространстве переменных u = (u1 , . . . , un )(можно считать, например, что эта область — открытый шар), причем во всех точках этойобласти векторы:∂r∂rr1 =, . . .

, rn = n1∂u∂uлинейно независимы; другими словами ранг матрицы:∂xN∂x1 ∂u1 . . . ∂u1  ... ... ...  ∂x1∂xN ...∂un∂unравен n. Параметры (u1 , . . . , un ) называются координатами на поверхности.Замечание 1. Нетрудно привести два других способа задания n-мерных поверхностей,аналогичных способам задания кривых. Именно, пусть f1 (x1 , . .

. , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn ) —гладкие функции в области n-мерного пространства. Их совместный график, т.е. множество точек пространства Rn+k , координаты которых связаны равенствами:xn+1 = f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , xn+k = fk (x1 , . . . , xn ),очевидно, является гладкой регулярной поверхностью (докажите!). Кроме того, поверхность можно задать системой неявных уравнений. Пусть F1 (x1 , . .

. , xN ), . . . , Fk (x1 , . . . , xN ),k < N — гладкие функции в области пространства RN , причем ранг матрицы Якоби:∂F1∂Fk ∂x1 . . . ∂x1  ... ... ...  ∂F∂Fk 1...∂xN∂xNравен k всюду, где:F1 (x1 , . . . , xN ) = 0, . . . , Fk (x1 , . . . , xN ) = 0.Тогда множество точек, заданное этими уравнениями, определяет поверхность.Задача 1. Доказать, что три приведенных способа задания поверхности локально эквивалентны.18Указание. Воспользоваться теоремой о неявной функции.Замечание 2.

Геометрический смысл условия регулярности поверхности (т.е. линейнойнезависимости векторов rj ) аналогичен смыслу условия r ′ 6= 0 в теории кривых; именно, если это условие нарушается, то на поверхности могут возникать “складки” или“изломы” — например, прямая, на которой u1 = 0 (ось x3 ) образует ребро возврата надвумерной поверхности x1 = (u1 )2 , x2 = (u1)3 , x3 = u2 . Замечание 3. Слово “элементарная” в определении поверхности связано с тем, что, вообще говоря, не всякую поверхность можно целиком задать параметрическими уравнениями.

Более общий объект — множество, представимое в виде объединения конечногочисла элементарных поверхностей так, что любое пересечение этого множества с открытым шаром достаточно малого радиуса — элементарная поверхность. При этом“элементарные” куски, вообще говоря, пересекаются — накладываются друг на друга;в пересечениях (каждое из которых само является элементарной поверхностью) возникает два набора координат u и v, которые выражаются друг через друга при помощи дифференцируемых функций ui = ui (v), v i = v i (u).

Существование этих функцийдоказывается в анализе (теорема о неявной функции). Получающаяся таким образомсоставная поверхность — пример важнейшего в геометрии понятия гладкого многообразия, которое подробно изучается в нашем курсе. Однако сперва мы обсудим локальныесвойства поверхностей, и на это время ограничимся элементарными поверхностями,причем прилагательное “элементарная” будем для краткости опускать. Замечание 4.

Как и в случае кривых, одна и та же поверхность допускает разные параметризации; в частности, всегда можно сделать замену координат по формуламui = ui (v 1 , . . . , v n ), где ui (v) - бесконечно дифференцируемые функции, причем определитель матрицы:∂u1∂u1 ∂v 1 . . . ∂v n  ... ... ...

Характеристики

Список файлов лекций