А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ковариантной∇b a векторного поля a вдоль вектора b назыP производнойiвается касательный векторb ∇i a, где производные ∇i a вычисляются в точке Q.Очевидно, ковариантная производная вдоль вектора b может быть описана следующим образом. Рассмотрим гладкую кривую γ, лежащую на поверхности, проходящуючерез точку Q и имеющую в этой точке вектор скорости, равный b (такая кривая всегдасуществует). Рассмотрим векторное поле a в точках этой кривой — это дифференцируемоесемейство N-мерных векторов a(t), зависящее от параметра t на кривой. Ковариантнаяпроизводная ∇b a имеет вид :da(t) ∇b a = Π,dt t=t0где t0 — значение параметра, определяющее точку Q.Иногда приходится дифференцировать не векторные поля, а семейства касательных векторов, определенные только в точках некоторой кривой, лежащей на поверхности.Приведенная выше формула показывает, как определить такую производную.
Пусть гладкая кривая γ задана параметрическими уравнениями ui = ui (t); гладкое семейство a(t)касательных Pвекторов в точках γ задается набором из n дифференцируемых функцийia (t) : a(t) = ai (t)ri (u(t)).26Определение 5. Ковариантной производной ∇γ a семейства векторов a(t) вдоль кривой γназывается гладкое семейство векторов:da(t)∇γ a = Π.dtВ частности, определенное в начале этого пункта ковариантное ускорение кривой γ —это ковариантная производная вдоль кривой от семейства ее векторов скорости.Замечание 2.
Пусть a(t) — гладкое семейство касательных векторов в точках кривой γ.Рассмотрим произвольное векторное поле ea на поверхности, совпадающее в точках γ ссемейством a(t). Выше было показано, что ковариантная производная ∇b ea поля ea вдольвектора скорости b к кривой γ совпадает с ковариантной производной ∇γ a.
В частности, эта производная одинакова для всех полей ea, совпадающих с a(t) в точках γ. Замечание 3 (Простое, но важное замечание). Все ковариантные производные — касательные векторы к поверхности, т.е. естественные с точки зрения жителя поверхностиобъекты. § 2. Свойства ковариантной производной.Предложение 1. Операция ∇ обладает следующими свойствами: если a, a′ — векторныеполя, f, f ′ — гладкие функции на поверхности (т.е.
бесконечно дифференцируемые функции переменных ui ), b, b′ — касательные векторы, то справедливы равенства:∇(f b+f ′ b ′ ) a = f ∇b a + f ′ ∇b ′ a ;∇b (a + a′ ) = ∇b a + ∇b a′ ;∇b (f a) = f ∇b a + a ∂ b (f );где ∂ b (f ) =P∂ b (a, a′ ) = (∇b a, a′ ) + (a, ∇b a′ ),b i ∂f /∂ui — производная функции f вдоль касательного вектора b.Доказательство.
Первые два равенства очевидны. Третье следует из правила Лейбница:∂(af )/∂ui = f ∂a/∂ui + a ∂f /∂ui . Докажем последнее равенство. Рассмотрим его правуючасть:nX∂a∂a′′′(∇b a, a ) + (a, ∇b a ) =bi [(Π( i ), a′ ) + (a, Π( i ))].∂u∂ui=1Поскольку оба вектора a, a′ всюду касаются поверхности, а разность Π(e) − e для любоговектора e направлена перпендикулярна касательной плоскости, оператор Π в правой частивыписанного равенства можно опустить: (Π(e), a) = (e, a), (Π(e), a′ ) = (e, a′ ) ∀ e. Послеэтого требуемая формула следует из правила Лейбница:∂∂a ′∂a′′(a,a)=(,a)+(a,).∂ui∂ui∂uiЗамечание 4.
Очевидно, такими же свойствами обладает ковариантная производнаясемейства касательных векторов в точках произвольной кривой. 27§ 3. Вычисление ковариантных производных. Символы Кристоффеля.Для того, чтобы аппаратом ковариантных производных можно было практическипользоваться, необходимо иметь формулы, выражающие их в координатах ui на поверхности; в этом пункте мы получим такие формулы.
Пусть a(P ) — гладкое векторное поiле;P вi координатах это функции a (u). В объемлющем пространстве поле a(P ) имеет видa (u)ri (u), где r = r(u) — уравнения поверхности. Вычислим ковариантную производную ∇j a; имеем:∇j a =nXi=1nniX ∂aiX ∂ai∂ i∂2ri ∂riΠ( j a (u)ri(u)) =Π( j ri + a)=Π(ri ) + a Π( i).∂u∂u∂uj∂uj∂u ∂uji=1i=1Поскольку векторы ri и так касаются поверхности, Π(ri ) = ri и формула приобретает вид:∇j a =n X∂aii=1∂2r ri + a Π( i) .∂uj∂u ∂uji(1)Таким образом, для нахождения ковариантной производной надо вычислить векторы2r). Эти векторы не зависят от поля a(P ) и определяются только поверхностью;Π( ∂u∂i ∂ujкаждый из них можно разложить по базису r1 , .
. . , rn в касательной плоскости. Найдемкоэффициенты такого разложения.Теорема 1. Имеют место равенства:nX∂2rΠ( i j ) =Γkij rk ,∂u ∂u(2)k=1где коэффициенты Γkij имеют вид:Γkij =nX∂gij1 k m ∂gmi ∂gjmg ( j +−).im2∂u∂u∂um=1(3)Здесь gij — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, g ij — элементыматрицы, обратной к gij .Определение 6. Коэффициенты Γij k , определенные формулами (2), (3), называются символами Кристоффеля (иногда употребляют термин “символы Кристоффеля 2 рода”) иликоэффициентами связности.2rДоказательство.
Для упрощения дальнейших формул введем обозначения rij = ∂u∂i ∂uj .Разложим эти векторы на касательную и нормальную к поверхности составляющие; касательную составляющую, в свою очередь, разложим по базису r1 , . . . , rn . Получим:rij =nXΓsi j rs + mij , (rk , mij ) = 0,(4)s=1где Γsij — некоторые (пока неопределенные) коэффициенты.
Для их вычисления умножимравенства (4) скалярно на вектор rm . Учитывая, что (rm , nij ) = 0, получим:defΓij, m = (rm , rij ) = Γsij (rs , rm ) = gsm Γsij .28(5)Вычислим сперва коэффициенты Γij, m . Для этого продифференцируем по um равенствоgij = (ri , rj ). Получим:∂g ij= (ri , rjm) + (rim , rj ) = Γj m, i + Γim,j .∂um(6)Последние равенства выполнены для всех значений индексов i, j, m (каждый из них меняется от единицы до n). Поэтому в них можно циклически переставить эти индексы, т.е.заменить в (6) i на j, j на m и m на j. В результате получим:∂gj m= Γmi, j + Γji, m .∂ui(7)Повторяя эту операцию еще раз, получим:∂gmi= Γij, m + Γmj, i .∂uj(8)Сложим теперь равенства (7) и (8) и вычтем из полученной суммы (6). Учитывая, чтоrij = rji (теорема о равенстве смешанных частных производных) и потому для всех значений индексов Γij, m = Γji, m , получим в результате:∂gj m ∂gmi∂gij+− m = 2Γij, m .ij∂u∂u∂u(8)Поделим это равенство на 2 и подставим в формулу (5).
Умножив полученное равенствона элемент g km обратной к gkm матрицы и просуммировав по m от единицы до n, получимтребуемые формулы (3).Замечание 5. Формулы (1) для ковариантных производных можно теперь переписать ввиде:∇i a =nnX∂ak X k jΓij a ) rk ,( i +∂uj=1k=1(9)а производная вдоль касательного вектора b = (b1 , . . . , bn ) примет вид:nnX∂ak X k j iΓij a )b rk .∇b a =( i +∂uj=1i, k=1(10)Замечание 6.
Очевидно, символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам:Γkij = Γkji. Таким образом, набор этих символов — это n2 (n + 1)/2 гладких функций от ui .Замечание 7. Функции Γij, m , определенные формулами (5) и вычисляемые по формулам(9), называют иногда символами Кристоффеля первого рода. 29§ 4.
Параллельный перенос касательных векторов.Займемся теперь вопросом о правильном определении параллельного переноса касательных векторов на поверхности. Возникающая здесь трудность, как уже указывалось в начале предыдущего параграфа, аналогична трудности, возникающей при попыткепродифференцировать касательный вектор — параллельный перенос в объемлющем пространстве “не уважает” поверхности (касательный вектор в результате переноса перестаетбыть таковым). Как мы сейчас увидим, эта трудность может быть преодолена при помощиуже введенного нами понятия ковариантной производной.Пусть P и Q — точки на поверхности, a — касательный вектор в точке P .
Рассмотрим сперва в качестве нашей поверхности евклидово пространство. Тогда параллельныйперенос вектора a из точки P в Q — это построение в точке Q вектора, в точности такого же, как a. Эту процедуру можно себе представлять следующим образом. Соединимточки P и Q произвольной гладкой кривой γ и построим в каждой точке этой кривойвектор, равный a; другими словами, определим семейство векторов a(t) (t — параметр накривой), такое, что da(t)/dt = 0. Тогда вектор этого семейства, выходящий из точки Q,и будет результатом параллельного переноса вектора a из P в Q.
Теперь определим аналогичную конструкцию на произвольной поверхности. Соединим точки P и Q гладкойкривой γ; пусть эти точки отвечают значениям t1 и t2 параметра t. Определим семействоa(t) касательных к поверхности в точках кривой γ векторов так, чтобы их можно былосчитать одинаковыми; для этого потребуем, чтобы ковариантная производная векторовэтого семейства вдоль кривой равнялась нулю.Определение 7.
Гладкое семейство a(t) касательных к поверхности в точках кривой γвекторов называется параллельным вдоль γ, если:∇γ a = ∇v a = 0(11)(здесь v — вектор скорости кривой γ).Запишем условие параллельности в координатах. Пусть кривая γ задана уравнениями ui = ui (t); тогда ее вектор скорости имеет вид (du1 /dt, . . . , dun/dt). Любое семействокасательных векторов имеет вид (a1 (t), . . . , an (t)); согласно формулам (10), (11) и определению ковариантной производной от семейства векторов, условие параллельности (11)запишется в виде:nXdaiduk+Γij k (u1 (t), . . . , un (t))aj (t)= 0.dtdtj, k=1(12)Равенства (11), (12) называются уравнениями параллельного переноса вдоль кривой γ.Определим теперь процедуру параллельного переноса.
Пусть в точке P задан касательный вектор a = (a10 , . . . , an0 ). Найдем семейство векторов, параллельное вдоль кривой γ и совпадающее в точке P с вектором a. Для этого надо решить систему (12)из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями a1 (t1 ) = a10 , . . .
, an (t1 ) = an0 . Теорема существования и единственности решения задачиКоши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений гарантирует, что такоесемейство существует и единственно. Рассмотрим вектор этого семейства в точке Q; это иесть результат параллельного переноса вектора a из точки P в точку Q вдоль кривой γ.Замечание 8 (Очень важное!). Результат параллельного переноса на поверхности зависит, вообще говоря, от того, вдоль какой кривой этот перенос осуществляется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
