А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Мы начнем с обсуждения первого.§ 2. Восстановление поверхности по паре квадратичных форм.Теорема 2. Пусть M, Q — две n–мерные гиперповерхности. Следующие два условия эквивалентны.1. На поверхностях M и Q можно выбрать единые координаты u = (u1 , . . . , un )(а также направления единичных векторов нормалей) так, что матрицы первойи второй квадратичных форм в этих координатах совпадут.2.
Существует движение (т.е. композиция сдвига и ортогонального преобразования)пространства Rn+1 , переводящее поверхность M в поверхность Q.44Доказательство. Пусть x 7→ Ax + a — движение объемлющего пространства, переводящее поверхность M в поверхность Q (здесь A — ортогональный оператор в Rn+1 , a —вектор из этого пространства). Зададим M (какими угодно) параметрическими уравнениями r = r(u); тогда точки поверхности Q можно задать уравнениями r = ρ(u), гдеρ(u) = Ar(u) + a. В силу ортогональности оператора A:(∂ρ(u) ∂ρ(u)∂r(u) ∂r(u),)=(,),ij∂u∂u∂ui∂ujт.е. матрицы первых квадратичных форм поверхностей M и Q в координатах u совпадают.
Заметим теперь, что, если m(u) — единичный вектор нормали к поверхности M, тоAm(u) — единичный вектор нормали к поверхности Q; поэтому из равенств:(∂ 2 r(u)∂ 2 ρ(u),m)=(, Am)∂ui ∂uj∂ui ∂ujследует, что матрицы вторых квадратичных форм также совпадают. Итак, из второгоусловия следует первое.Обратно, пусть на поверхностях M, Q выбраны координаты так, что матрицы первойи второй квадратичных форм в этих координатах одинаковы.
Тогда между точками этихповерхностей можно установить взаимно–однозначное соответствие: именно, соответствующими друг другу назовем точки, имеющие одинаковые координаты. Выберем теперь наповерхностях M и Q пару соответствующих точек и сдвинем поверхность Q на вектор,соединяющий эти точки; в результате новая поверхность будет иметь общую точку с поверхностью M. Рассмотрим теперь канонические базисы, порожденные координатами ui вкасательных пространствах к двум поверхностям в этой общей точке. В силу совпаденияматриц первых квадратичных форм, длины соответствующих векторов в этих базисах иуглы между соответствующими векторами одинаковы.
Поэтому оператор, переводящийканонический базис и единичный вектор нормали второй поверхности в канонический базис и единичный вектор нормали первой поверхности в их общей точке — ортогональный(сохраняет длины и углы). Итак, композицией сдвига и ортогонального оператора можнодобиться того, что наши две поверхности будут иметь общую точку (обозначим ее через P0 )и в этой точки совпадут соответствующие вектора канонических базисов касательных пространств и единичных нормалей (обозначим эти векторы r10 , . . .
, rn0 , m0 соответственно).Докажем теперь, что такое движение объемлющего пространства совмещает поверхноf, полученной из Qсти, т.е. что соответствующие точки поверхности M и поверхности Mуказанным движением, совпадают. Действительно, пусть P — произвольная точка M; соединим ее с точкой P0 гладкой кривой γ ⊂ M, заданной параметрическими уравнениямиf,ui = ui(t), t ∈ [0, T ]. Кривая γe, заданная теми же параметрическими уравнениями на Mсоединяет P0 с точкой Pe, соответствующей точке P . Рассмотрим теперь семейства векторов ri (t), m(t), состоящих из векторов канонического базиса и нормали к поверхности Mв точках кривой γ. Производные этих векторов по параметру t имеют вид:dri (t)∂ri dujdujduj= j= Γkij (u(t))rk (t) + bij (u(t))m(t),dt∂u dtdtdtdm(t)∂m dujdujk==β(u(t))rk (t).jdt∂uj dtdtТаким образом, если обозначить через R(t) матрицу размера (n + 1) × (n + 1), строкамикоторой являются координаты векторов r1 (t), .
. . , rn (t), m(t), эта матрица будет удовлетворять уравнению:dR(t)= U(t)R(t),dt45где элементы матрицы U(t) выражаются через элементы матриц первой и второй квадратичной форм поверхности M (а также их производные) при u = u(t) и через производныеeфункций ui (t). Рассмотрим теперь матрицу R(t),построенную аналогичным образом поf в точках кривой eвекторам re1 , .
. . , ern , me канонического базиса и нормали поверхности Mγ.iПоскольку эти две кривые заданы в координатах u одинаковыми параметрическими уравf совпадают,нениями, а матрицы первой и второй квадратичных форм поверхностей M, Meдля R будет выполнено то же уравнение (с той же матрицей U(t)), что и для R. Далее,eпри t = 0 (т.е. в точке P0 ) матрицы R(t) и R(t)совпадают, т.к. совпадают соответствующие векторы. Следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши дляe совпалинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, матрицы R и Rдают при всех t ∈ [0, T ], т.е.
при таких t: ri (t) = rei (t), m(t) = m(t).eРассмотрим теперьрадиус–векторы r(t) точек кривой γ на поверхности M. По формуле Ньютона–Лейбницаполучаем:Z TZ Tduidrr(P ) = r(T ) = r(0) +( ) = r(P0 ) +ri (t)dt.dtdt00Аналогично, рассматривая радиус–векторы re(t) точек кривой eγ , получим:Z TZ Tderduier(P ) = re(T ) = re(0) +( ) = r(P0 ) +rei (t)dt.dtdt00Поскольку подинтегральные функции в двух выписанных интегралах совпадают, совпаf.дают и радиус–векторы точек P и Pe, т.е. совпадают поверхности M и M§ 3.
Формулы Гаусса и Кодацци.Исследуем теперь вопрос о том, насколько произвольно можно задавать матрицыпервой и второй квадратичной форм поверхности. Другими словами, пусть заданы двегладкие симметричные матричные функции gij (u) и bij (u), причем матрица gij (u) положительно определена. Можно ли найти поверхность, заданную параметрическими уравнениями r = r(u) так, чтобы эти заданные функции совпали с ее первой и второй квадратичными формами? Ответ на этот вопрос отрицательный; мы исследуем препятствие кпостроению такой поверхности в простейшем случае n = 2 (т.е. двумерной поверхности втрехмерном пространстве).Теорема 3.
Пусть M — двумерная поверхность в R3 , заданная параметрическими уравнениями r = r(u1, u2 ), и пусть gij (u), bij (u) — матрицы ее первой и второй квадратичнойформ соответственно. Имеют место три соотношения между элементами этих матриц:2X1 ∂ 2 g111 ∂ 2 g22∂ 2 g12k mdet B = 1 2 −−+gkm(Γk12 Γm12 − Γ11 Γ22 );∂u ∂u2 (∂u2 )2 2 (∂u1 )2k, m=122∂bi1 X k∂bi2 X k+Γb=+Γ bk1 ,k2∂u2 k=1 i1∂u1 k=1 i2i = 1, 2.Здесь B — матрица второй квадратичной формы.Замечание 1. Первое из этих соотношений называется уравнением Гаусса, а два последних — уравнениями Кодацци.Доказательство.
Докажем сперва равенство Гаусса–Вейнгартена. Для этого рассмотримскалярную функцию:2(r11 , r22 ) − (r12)46и подставим выражения для rij из деривационных формул Гаусса. Учитывая ортогональность векторов m и ri , получим:(r11 , r22 ) −откуда:2(r12)=2Xk m2(rk , rm )(Γk11 Γm22 − Γ12 Γ12 ) + (b11 b22 − b12 ),k, m=1det B = (r11 , r22 ) −2(r12)+2Xk, m=1k mgkm (Γk12 Γm12 − Γ11 Γ22 ).Таким образом, для доказательства равенства Гаусса достаточно проверить, что:2(r11 , r22 ) − (r12)=∂ 2 g121 ∂ 2 g111 ∂ 2 g22−−.∂u1 ∂u2 2 (∂u2 )2 2 (∂u1 )2Для этого вспомним, что символы Кристоффеля 1-го рода:Γij,k = (rij , rk )выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы по формулам:1 ∂gik ∂gjk ∂gijΓij,k = ( j +− k ).2 ∂u∂ui∂uПродифференцируем это равенство по координате ul ; в результате получим:∂Γij,k1 ∂ 2 gik∂ 2 gjk∂ 2 gij=(r,r)+(r,r)=(+−),lijkijlk∂ul2 ∂ul ∂uj ∂ul ∂ui ∂ul ∂ukгде:∂3r.∂ul ∂ui ∂ujЭти равенства справедливы при всех значениях индексов i, j, k, l, поэтому в них можнопоменять местами l и j.
Вычитая получающееся при этом равенство из выписанного, иучитывая, что rij l = ri lj (теорема о равенстве смешанных производных), получим:rlij =∂ 2 gjk∂ 2 glk∂ 2 gjk∂ 2 gij1 ∂ 2 gil(rij , rlk ) − (ril , rjk ) = ( j k + l i − i j + l i − l k ).2 ∂u ∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u ∂uПолагая в последней формуле i = j = 1, l = k = 2, получим требуемое равенство.Докажем теперь формулы Кодацци. Для этого запишем коэффициенты второй квадратичной формы в виде:bij = (rij , m) = −(ri , mj ),где mj = ∂m/∂uj . Продифференцируем это равенство при j = 2 по переменной u1 , а приj = 1 по переменной u2 , и вычтем друг из друга два получившихся соотношения.
С учетомравенства смешанных производных вектора m получим:∂bi2 ∂bi1− 2 + (ri1 , m2 ) − (ri2 , m1 ) = 0.∂u1∂uПодставим в полученное соотношение выражение для rij из деривационных формул Гаусса.Учитывая, что (mk , m) = 0 и (mk , rs ) = −bks , получим:22X∂bi2 ∂bi1 X k−−Γb+Γki2 bk1 = 0,k2∂u1∂u2 k=1 i1k=1что и требовалось.47Следствие 1. Отнюдь не любые симметричные матричные функции gij (u) и bij (u) (дажепри условии положительности первой матрицы) могут быть реализованы как первая ивторая квадратичные формы некоторой поверхности — для этого они, по крайней мере,должны удовлетворять равенствам Гаусса и Кодацци.
Замечание 2. Можно показать, что равенства Гаусса и Кодацци не только необходимы,но и достаточны для того, чтобы существовала поверхность, для которой gij и bij былибы первой и второй квадратичной формами. Именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 4. Пусть в некоторой открытой области на плоскости (u1 , u2 ) задана пара гладких матричных функций gij (u), bij (u), удовлетворяющих следующим условиям:1. При каждом ui обе матрицы симметричны, а матрица gij (u) положительно определена.2.
Функции gij и bij удовлетворяют уравнениям Гаусса и Кодацци.Тогда в достаточно малой окрестности произвольной точки этой области найдетсятрехмерная вектор–функция r = r(u), задающая двумерную поверхность в R3 , для которой заданные матрицы являются матрицами первой и второй квадратичных формсоответственно (по доказанному выше эта поверхность определена однозначно с точностью до движения пространства).Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Отметим, чтодеривационные формулы Гаусса–Вейнгартена можно трактовать как систему уравнений в частных производных на координаты вектор–функции r(u), коэффициенты которой заданы, если заданы матрицы gij и bij .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
