А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если поверхность “общая” (т.е. не обладает никакими специальными свойствами), геометрия на ней может быть устроена достаточно сложно — например, “простейшая” задача о нахождении геодезических (т.е. об описании движения по инерции) на таких поверхностях бывает в некотором смысле безнадежно трудной. Поэтому мы подробнорассмотрим геометрию на простейших, наиболее симметричных поверхностях. Первая изних — сфера в евклидовом пространстве. Геометрия на сфере имеет самое непосредственное отношение к человеческой деятельности — ведь поверхность Земли (в некотором приближении) можно считать сферой.
Поэтому сферическая геометрия активно используетсяв географии, геологии, геофизике, а также и в чисто практических областях — например,при составлении маршрутов кораблей или самолетов.§ 2. Метрика сферы.Сфера радиуса R с центром в начале координат задается в трехмерном пространствеуравнением x2 + y 2 + z 2 = R2 . Для работы с первой квадратичной формой удобно иметьпараметрические уравнения сферы; они имеют следующий вид:x = R cos θ cos ϕ,y = R cos θ sin ϕ,z = R sin θ,(1)где параметры (θ, ϕ) — широта и долгота соответственно.
Параметр θ меняется на интервале (−π/2, π/2), параметр ϕ — на интервале (0, 2π). При таком изменении параметроввыписанные параметрические уравнения задают всю сферу, кроме меридиана ϕ = 0. Ясно, что те же уравнения, в которых параметр ϕ меняется на другом интервале (например,(−π, π)) зададут область на сфере, включающую почти всю эту дугу — точнее, всю, кромеполюсов сферы, т.е. точек x = y = 0, z = ±R. Полюса, конечно, тоже можно включить вобласть, задаваемую параметрическими уравнениями — для этого достаточно, например,поменять в (1) местами z и y.
Найдем первую квадратичную форму сферы. Элементарныевычисления дают для нее следующее выражение: 2R0G=0 R2 cos2 θ(здесь роль первой координаты u1 играет широта θ, а роль второй u2 — долгота ϕ).§ 3. Геодезические и изометрии.Аналог прямых на сфере — геодезические — находятся очень просто.Определение 1. Большим кругом на сфере называется окружность, получающаяся припересечении сферы плоскостью, проходящей через начало координат (т.е. через центрсферы).Утверждение 1. Геодезическими на сфере являются дуги больших кругов и только они.58Доказательство. Докажем сперва, что любой большой круг — геодезическая. Для этогодостаточно заметить, что его вектор ускорения направлен к центру сферы, т.е. ортогонален касательной плоскости.
То, что других геодезических, кроме дуг больших кругов,нет — очевидно: через каждую точку в каждом направлении проходит большой круг. § 4. Свойства геодезических.Прямые на плоскости обладают следующими свойствами: через любые две различные точки проходит ровно одна прямая; через каждую точку, не лежащую на даннойпрямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной (т.е. не пересекающаяся сней); длина любой прямой бесконечна. На сфере все эти свойства нарушаются: через диаметрально противоположные точки сферы проходит бесконечно много геодезических (меридианы); параллельных геодезических вообще не бывает; все геодезические замкнуты;длина каждой геодезической конечна и равна 2πR.Найдем теперь изометрии сферы.Заметим сперва, что поворот трехмерного пространства вокруг любой оси, проходящей через начало координат, оставляет сферу на месте, т.е. определяет ее отображениев себя.
Это отображение, конечно, изометрия — при вращениях сохраняются скалярныепроизведения любых трехмерных векторов, в частности, и векторов, касающихся сферы.Тем же свойством обладает симметрия (отражение) относительно любой плоскости, проходящей через начало координат. Таким образом, мы получили широкий запас изометрийсферы в себя — это повороты и отражения, а также все их композиции.Задача 1. Рассмотрим отображение сферы в себя, называемое антиподальным: точка срадиус-вектором ξ переходит в диаметрально противоположную ей точку −ξ.
Доказать,что это отображение — изометрия, и представить его в виде композиции поворотов иотражений.Задача 2. Доказать, что все изометрии сферы исчерпываются приведенными; другимисловами, установить, что группа изометрий сферы изоморфна O(3) — группе ортогональных 3 × 3–матриц.Замечание 1. Наличие большого запаса изометрий связано с тем, что сфера очень “симметрична”.
Именно этот факт позволяет эффективно исследовать ее геометрию. § 5. Расстояние.Расстояние между двумя точками на плоскости — это длина отрезка прямой, соединяющей эти две точки. Естественно поэтому определить расстояние между точкамина поверхности как длину соответствующей геодезической. При этом надо иметь в виду,что через две точки поверхности может проходить несколько разных геодезических (насфере это именно так).
Расстояние — это длина кратчайшей, т.е. минимальное время, закоторое можно, двигаясь с единичной скоростью, добраться от одной точки поверхностидо другой.Определение 2. Расстоянием между двумя точками на сфере называется длина кратчайшей дуги геодезической, соединяющей эти две точки.Замечание 2. Возможны два разных случая:1. Рассматриваемые точки не лежат на одном диаметре сферы; тогда их соединяют две дуги геодезической (пересечение сферы плоскостью, проходящей через этиточки и центр сферы), причем длины этих двух дуг различны и расстояние — этодлина более короткой дуги.592.
Рассматриваемые точки диаметрально противоположны; тогда их соединяет бесконечно много дуг геодезических, но все эти дуги имеют одинаковую длину πR (половина длины экватора). Замечание 3. Расстояние между точками поверхности можно определить как точнуюнижнюю грань длин дуг всевозможных гладких кривых, соединяющих эти точки. Тогда предыдущее определение превращается в теорему: минимум длины реализуется нагеодезических. Задача 3. Доказать эту теорему для сферы.Выпишем явную формулу для расстояния между двумя точками на сфере. Пустьξ, η — радиус-векторы этих точек; расстояние — это длина дуги окружности радиуса R,заключенной между этими векторами.
Таким образом, расстояние ρ находится по формулеρ = Rα, где α — угол между векторами ξ и η. Вспоминая, что (ξ, η) = |ξ||η| cos α и|ξ| = |η| = R, получим для расстояния формулу:R 2 cos(ρ/R) = (ξ, η).§ 6. Окружности.Окружности в любой геометрии определяются точно так же, как на плоскости.Определение 3. Окружностью с центром в точке P радиуса a на сфере называется множество точек сферы, находящихся от P на расстоянии a.Очевидно, окружностями на сфере являются обычные евклидовы окружности, т.е.пересечения сферы с плоскостями (параллели).
Центр такой окружности лежит на пересечении сферы с прямой, проходящей через центр сферы перпендикулярно плоскостиокружности (см. Рис. 3). Отметим, что у каждой окружности два центра — диаметральнопротивоположные точки сферы — и два радиуса; кроме того, большой круг на сфере — этоодновременно и окружность и геодезическая, т.е.
аналог прямой (очевидно, оба радиусатакой окружности равны πR/2). Получим общую формулу, выражающую длину окружно-Рис. 3сти через ее радиус (напомним, что на плоскости отношение длины окружности к радиусуравно 2π). Пусть ξ — радиус-вектор центра окружности, η — радиус-вектор произвольнойточки, лежащей на ней, а b — ее евклидов радиус (см. Рис. 1). Тогда длина окружностиl = 2πb; с другой стороны, b = R sin α (α — угол между векторами ξ и η) и радиус окружности a = Rα.
Исключая из этих равенств α и b, получим формулу, связывающую длинусферической окружности с ее радиусом:al = 2πR sin( ).RЗаметим, что, если a/R очень мало, то sin(a/R) близко к a/R и в пределе получаем евклидову формулу:l(a)lim= 2π.(a/R)→0 a60§ 7. Треугольники.Рассмотрим на сфере три точки A, B, C, не лежащие на одной геодезической. Соединим их попарно кратчайшими дугами больших кругов; в результате получится фигура,называемая сферическим треугольником. Длины его сторон обозначим через a, b, c, а величины углов — через α, β, γ (Рис. 4). В сферической геометрии действуют другие формулы“решения треугольников”, чем в евклидовой; сейчас мы выведем эти формулы.Рис. 4§ 8.
Теорема косинусов.Выразим длину стороны a через длины сторон b, c и угол между этими сторонами.Предложение 1. Имеет место формула:cosabcbc= cos cos + sin sin cos α.RRRRRДоказательство. Пусть ξ1 , ξ2, ξ3 — радиус-векторы вершин A, B, C треугольника соответственно. Через η, ζ обозначим касательные векторы к сторонам b, c треугольника в точке A.Очевидно:(η, ζ).cos α =|η||ζ|Вектор η касается большого круга, проходящего через центр сферы и точки A, B, поэтомуон лежит в плоскости векторов ξ1 , ξ2 : η = ξ2 + λξ1 , где λ — некоторое число.
Чтобы найтиего, умножим предыдущее равенство скалярно на ξ1 ; получим:(ξ1 , η) = (ξ1 , ξ2 ) + λ(ξ1 , ξ1 ).Левая часть равенства равна нулю: вектор ξ1 — радиус сферы, проведенный в точку A,а η касается сферы в этой точке. Скалярное произведение (ξ1 , ξ2 ) выражается через расстояние между точками A и B, т.е. через сторону c треугольника (см. § 3.): (ξ1 , ξ2 ) =R2 cos(c/R); наконец, (ξ1 , ξ1) = R2 . Отсюда находим λ и η:λ = − cosc,Rη = ξ2 − ξ1 cosАналогично получаем:c.Rb.RВычисляя скалярные произведения этих векторов и подставляя в формулу для косинуса α,получим:cos α − cos β cos γ,cos α =sin β sin γоткуда немедленно следует требуемое равенство.ζ = ξ3 − ξ1 cos61Следствие 1 (Теорема Пифагора). Пусть треугольник ABC прямоугольный, т.е. α = π/2.Тогда:abccos = cos cos .RRRЗадача 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
