А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Уравнения Гаусса и Кодацци суть условиясовместности (разрешимости) этой системы. § 4. Гауссова кривизна двумерной поверхности. Теорема Гаусса. Эллиптические, гиперболические и параболические точки.Отметим, что из доказанной в предыдущем пункте формулы Гаусса немедленно вытекает следующееУтверждение 1 (Теорема Гаусса). Гауссова кривизна двумерной поверхности в R3 выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы.

Действительно, гауссова кривизна определяется через матрицы G и B первой и второй квадратичной форм по формуле:K=det B.detGС другой стороны, уравнение Гаусса выражает определитель второй квадратичной формычерез первую.Это означает, что гауссова кривизна зависит только от геометрии на самой поверхности (а не от того, как поверхность помещена в трехмерное пространство); вчастности, она сохраняется при изометриях — отображениях поверхностей, не меняющих скалярного произведения касательных векторов (подробнее об изометриях см. следующую Лекцию).Обсудим геометрический смысл знака гауссовой кривизны двумерной поверхности.Поскольку он совпадает со знаком определителя второй квадратичной формы, этот знакопределяет локальное расположение поверхности M относительно касательной плоскости48к ней в точке P (см.

предыдущую Лекцию). Именно, пусть в некоторой точке поверхностиK > 0; тогда главные кривизны в этой точке одного знака, т.е. все нормальные сеченияискривлены в одну и ту же сторону (ek > 0 или ek < 0 сразу для всех нормальных сечений).Другими словами, для всех таких сечений центры соприкасающихся окружностей лежатпо одну и ту же сторону от касательной плоскости к поверхности. Поэтому достаточно малая окрестность точки P на поверхности лежит по одну сторону от касательной плоскостии не пересекает ее нигде, кроме точки P .Определение 1.

Точки, в которых K > 0, называются эллиптическими точками поверхности M.Пусть теперь K(P ) < 0. Тогда главные кривизны разного знака; нормальные сечения, проведенные в главных направлениях, загнуты в разные стороны. Поэтому скольугодно малые кусочки этих нормальных сечений вблизи точки P лежат по разные стороны от касательной плоскости к M в этой точке. Таким образом, любая малая окрестностьточки P на поверхности M разбивается на две части, лежащие по разные стороны от касательной плоскости; касательная плоскость пересекает любую такую окрестность, вообщеговоря, по некоторой кривой.Определение 2.

Точки, в которых K < 0, называются гиперболическими точками поверхности M.Наконец, в некоторых точках поверхности гауссова кривизна может обращаться внуль. В этом случае первая и вторая квадратичная формы не дают полной информациио том, как расположена малая окрестность точки P на поверхности относительно касательной плоскости; для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассматриватьпроизводные третьего порядка вектора r(u1 , u2 ) в точке P .Определение 3. Точки, в которых K = 0, называются параболическими точками поверхности M.49Задачи.1.

Найти эллиптические, гиперболические и параболические точки:(a) на торе;(b) на эллипсоиде, гиперболоиде, параболоиде;(c) на гиперболическом цилиндре;p(d) на поверхности z = f ( x2 − y 2).507 Лекция 7. Риманова метрика на поверхности и в области евклидова пространства. Изометрии римановой метрики§ 1. Риманова метрика на поверхности.Первая квадратичная форма поверхности определена евклидовой структурой (скалярным произведением) в объемлющем пространстве RN . В дальнейшем мы будем изучать “поверхности, не помещенные ни в какое евклидово пространство” (многообразия);поэтому полезно аксиоматизировать понятие первой квадратичной формы, исключив изсоответствующего определения упоминание об объемлющем пространстве.

Чтобы это сделать, отметим, что первая квадратичная форма определяет зависящую от точки положительно определенную симметричную билинейную форму в касательных пространствах.Произвольный объект такого вида называется римановой метрикой.Определение 1. Римановой метрикой на поверхности M называется соответствие, сопоставляющее каждой точке P поверхности положительно определенную симметричнуюбилинейную форму в касательном пространстве TP M, гладко зависящую от точки P .Последнее условие означает следующее.

Пусть u1 , . . . , un — координаты на поверхности. Они порождают канонический базис r1 , . . . , rn в любом касательном пространстве.В этом базисе метрика задается своей матрицей gij (u) = (ri , rj ). Гладкая зависимость отточки означает бесконечную дифференцируемость функций gij (u).Задача 1.

Доказать, что понятие гладкой зависимости от точки не зависит от выборакоординат u1 , . . . , un .Как уже отмечалось, в произвольной системе координат ui риманова метрика задается своей матрицей gij (u). При переходе к другой системе координат v i эта матрицаменяется по закону:gij (v) =enX∂uk ∂umgij (u(v)).∂v i ∂v j(1)k,m=1(докажите!). Это свойство можно считать определением римановой метрики.Определение 2. Римановой метрикой на поверхности называется соответствие, сопоставляющее каждой системе координат u1 , .

. . , un n × n матрицу gij (u), элементы которой —гладкие функции. При этом должны быть выполнены следующие условия:1. При каждом значении переменных u матрица gij (u) симметрична и положительноопределена.2. Если координатам ui соответствует матрица gij (u), а координатам v i — матрицаgij (v), то эти матрицы связаны равенствами (1).eУтверждение 1. Два приведенных определения римановой метрики эквивалентны.Доказательство.

В одну сторону утверждение очевидно — если задана билинейная формав касательных пространствах, то ее матрица gij (u) в произвольном каноническом базисеудовлетворяет условиям 1, 2.Обратно, пусть для каждой системы координат ui задана матрица gij (u). Определимбилинейную форму в каждом касательном пространстве TP M, полагая ее матрицу в каноническом базисе r1 , . . . , rn равной gij (u). Свойство 2 гарантирует, что при этом получитсяодна билинейная форма, не зависящая от выбора координат. Свойство 1 означает, что этаформа симметрична и положительна.51Замечание 1.

Приведенные два определения римановой метрики иллюстрируют типичную для дифференциальной геометрии ситуацию: геометрические объекты можно определять двумя способами — инвариантным (пользуясь языком линейной алгебры) и координатным (задавая закон преобразования объекта при замене координат).

Пусть M — область в евклидовом пространстве Rn . Очевидно, ее можно считатьчастным случаем поверхности. Произвольные координаты ui в области принято называть(в отличие от евклидовых x) криволинейными координатами, а кривые ui = const приi 6= i0 — координатными линиями, соответствующими криволинейной координате с номером i0 . Касательные пространства TP M как множества совпадают со всем объемлющимпространством, однако векторы считаются отложенными от точки P . Риманова метриказадается билинейной формой в каждом таком пространстве, или матрицей gij (x1 , .

. . , xn ),гладко зависящей от точки области. В частности, евклидова структура в Rn задает риманову метрику, называемую стандартной евклидовой метрикой; в евклидовых координатах x1 , . . . , xn ее матрица единичная, т.е.:2ds =nX(dxj )2 .j=1Определение 3. Риманова метрика на поверхности M называется евклидовой, если наM существуют координаты, в которых матрица метрики единичная.

Такие координатыназываются евклидовыми.Задача 2. Доказать, что первая квадратичная форма двумерной сферы не евклидова дажелокально (т.е. евклидовых координат не существует ни в какой открытой области).§ 2. Индуцированная метрика.Пусть M, Q — две поверхности в RN , причем поверхность Q лежит в поверхности M.Если u = (u1 , .

. . , un ) — координаты на M, а v = (v 1 , . . . , v k ) — координаты на Q (k ≤ n),то множество Q задается в M параметрическими уравнениями ui = ui(v 1 , . . . , v k ), причемранг матрицы ∂ui /∂v j равен k (проверьте!). Ясно, что для любой точки P ∈ Q касательноепространство TP Q содержится в касательном пространстве TP M: произвольный векторρj = ∂r/∂v j канонического базиса в TP Q имеет вид:ρj =nX∂uii=1∂v jri ,j = 1, . . .

, n,т.е. принадлежит TP M.Пусть теперь g — риманова метрика на M; ограничивая соответствующую билинейную форму с пространства TP M на пространство TP Q, получим, очевидно, римановуметрику на Q.Определение 4. Эта метрика называется индуцированной c поверхности M на поверхность Q. В частности, если M — область в евклидовом пространстве, получаем метрику,индуцированную из области на поверхность.Замечание 2 (Важное замечание!). Первая квадратичная форма поверхности — это риманова метрика, индуцированная на ней из объемлющего евклидова пространства (в котором рассматривается стандартная евклидова метрика).

Выясним, как выглядит индуцированная метрика в координатах.52Предложение 1. Пусть gij (u) — риманова метрика на поверхности M, и ui = ui (v) —параметрические уравнения Q в M. Тогда матрица индуцированной на поверхности Qметрики имеет вид:nX∂uk ∂umgij (v) =egkm(u(v)).∂v i ∂v jk,m=1Доказательство. Нужная формула сразу же следует из приведенной выше формулыразложения векторов ρj канонического базиса на Q по каноническому базису r1 , . . .

, rnна M.Замечание 3. Таким образом, для того, чтобы получить координатную формулу для индуцированной метрики, надо просто подставить в выражение для метрики на M:ds2 =nXgij (u)duiduji,j=1уравнения u = u(v) поверхности Q (конечно, подставлять эти функции надо как в аргументы функций gij , так и в дифференциалы dui). В частности, первая квадратичнаяформа поверхности r = r(u1, .

. . , un ) в евклидовом пространстве RN имеет вид:ds2 =X X ∂xi ∂xi()duj duk .jk∂u ∂uij, k§ 3. Изометрии поверхностей.Пусть M, Q — поверхности в евклидовом пространстве RN . Рассмотрим произвольноеотображение f : M → Q одной поверхности в другую; если на поверхностях заданыкоординаты ui и v i соответственно, то это отображение задается набором из n функцийот n переменных v i = f i (u1 , . .

Характеристики

Список файлов лекций