А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Устройствоповерхности вблизи P можно исследовать следующим образом. Будем пересекать M двумерными плоскостями, проходящими через единичный вектор нормали m к гиперповерхности в этой точке; ясно, что таких плоскостей бесконечно много — можно произвольнымобразом выбрать единичный вектор a в касательном пространстве TP M и затем провестиплоскость через векторы m и a. Каждая плоскость будет высекать на поверхности некоторую кривую; малые отрезки этих кривых, содержащие внутри себя точку P , заполнятнекоторую окрестность этой точки на поверхности.Определение 2.

Кривая, получающаяся пересечением поверхности M и двумерной плоскости, проходящей через вектор нормали к M в точке P , называется нормальным сечениемM в этой точке.Поверхность вблизи точки P “ склеена” из нормальных сечений; поэтому мы начнемс изучения кривизн этих кривых.

Поскольку каждое из нормальных сечений — плоская кривая, и, кроме того, в точке P задан вектор m, перпендикулярный касательной клюбой из этих кривых, кривизне нормального сечения в точке P можно приписать знак(см. Замечание в конце первой лекции). Именно, через ek обозначим число, равное кривизненормального сечения, если вектор главной нормали к нему в точке P направлен в ту жесторону, что и вектор m, и кривизне со знаком “ минус”, если направления этих двух векторов противоположны. Другими словами, если ускорение при движении по нормальному35сечению направлено по вектору m (т.е.

центр соприкасающейся окружности находится вэтом направлении от точки P ), то ek положительно, а если ускорение направлено в проeтивоположную сторону, то k отрицательно. В дальнейшем “ кривизну со знаком” ek будемназывать просто кривизной. Заметим, что число ek однозначно определяется заданием касательного вектора a к нормальному сечению в точке P ; таким образом, на касательномпространстве TP M к поверхности возникает функция, сопоставляющая каждому касательному вектору кривизну (нормального) сечения поверхности плоскостью, проведеннойчерез этот вектор (и вектор нормали m). Эта функция, очевидно, не зависит от длины касательного вектора a; оказывается, после умножения на | a|2 она становится квадратичнойформой.Определение 3. Второй квадратичной формой гиперповерхности M в точке P называетсяфункция b (a, a) на касательном пространстве TP M, сопоставляющая вектору a умноженную на | a|2 кривизну нормального сечения, проведенного в направлении этого вектора:b(a, a) = | a|2 ek(a).Предложение 1.

Функция b действительно является квадратичной формой, заданной впространстве TP M; матрица этой формы в каноническом базисе, порожденном системой координат u1 , . . . , un имеет вид:bij = (m(P ), rij (P )) ≡ (m(P ),∂2r(P )).∂ui ∂ujДоказательство. Пусть s — натуральный параметр на нормальном сечении, отсчитываемый от точки P (т.е. в этой точке s = 0), и ui = ui (s) — уравнения нормального сечения наповерхности. Уравнения этой кривой в объемлющем пространстве имеют вид r = r(u(s));..ясно, что кривизна ek имеет вид ek = (m, r(0)) (докажите!).

Дважды применяя теорему опроизводной сложной функции, получаем:nnXd X.. iir(0) =ri u̇ | s=0 =rij (P )u̇i(0)u̇j (0) + ri (P )u (0),ds i=1i,j=1..(1)где:∂r∂2r,r=.ij∂ui∂ui ∂uj..Умножая вектор r(0) скалярно на m и учитывая, что (ri (P ), m) = 0, получим:ri =ek=nX(m, rij (P ))u̇i(0)u̇j (0).(2)i,j =1Таким образом, кривизна нормального сечения действительно является квадратичнойфункцией от координат единичного вектора скорости. Если в качестве касательного вектора взять вектор a, длина которого не равна единице, функция b, вычисленная на этомвекторе, очевидно, будет равна:2e2e2b(a, a) = | a| k(a) = |a| k(v) = | a |где v =nXi j(m, rij )v v =i,j =1nX(m, rij )ai aj ,i,j =1a— единичный вектор, касающийся нормального сечения.| a|36Задача 1.

Найти закон преобразования коэффициентов второй квадратичной формы призамене координат u → v на поверхности.Ответ.ebij =nX∂uk ∂umbkm .∂vi ∂vjk, m=1§ 2. Формулы Менье.Вторая квадратичная форма позволяет вычислять кривизны (ускорения) всевозможных нормальных сечений в данной точке; тем самым она описывает, как искривлена вблизи этой точки сама поверхность. Прежде чем переходить к более детальному изучению этого искривления, покажем, как при помощи второй квадратичной формы вычислять кривизны произвольных кривых на поверхности. Прежде всего напомним, что | a|2 = g(a, a),где g — первая квадратичная форма поверхности. Отсюда получаем окончательное выражение для кривизны нормального сечения:nPbij ai ajb(a,a)i,j=1ek== P,(3)ng(a, a)ijgij a ai,j=1где ai = dui/dt.

Таким образом, кривизна нормального сечения γ равна отношению второйи первой квадратичных форм поверхности, вычисленных на касательном векторе к γ.Рассмотрим теперь произвольную кривую l, лежащую на поверхности и проходящуючерез точку P . Пусть ν — вектор главной нормали к l в точке P . Если r = r(s) — натураль..ная параметризация пространственной кривой l, то r(0) = kν(P ), где k — кривизна l в точкеP (натуральный параметр s отсчитывается от точки P ). Умножая это равенство на векторm нормали к поверхности, получаем:..(m, r(P )) = k(m, ν).Левая часть равенства вычислена выше (см. (1)– (3)): она равна кривизне ek нормальногосечения, проведенного через касательный вектор a к кривой l.

Правая часть, очевидно,равна произведению кривизны кривой k на косинус угла ϕ между векторами m и ν. Отсюдаполучаем формулу:b(a, a)k cos ϕ = ek=.g(a, a)(4)Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.Теорема 1. Пусть l — произвольная кривая на поверхности M, проходящая через точку P , a — касательный вектор к l в этой точке, и γ — нормальное сечение M плоскостью, проходящей через вектор a (таким образом, γ лежит в плоскости векторовa и m — вектора нормали к поверхности). Тогда кривизны k и ek кривых l и γ соответственно определяются по формулам (4), (3), где g, b — первая и вторая квадратичныеформы поверхности M в точке P , ϕ — угол между векторами ν — главной нормали ккривой l и m — нормали к поверхности M (оба вектора вычислены в точке P ).

Замечание 1. Приведенная теорема называется теоремой Менье. Замечание 2. Кривизна ek нормального сечения γ, касающегося кривой l в точке P (т.е.имеющего общий с l вектор скорости), называется нормальной кривизной кривой l вэтой точке. Другими словами, нормальная кривизна — это проекция вектора ускорениякривой на нормаль к поверхности (если параметр на кривой натуральный). 37§ 3. Главные кривизны и главные направления. Формула Эйлера.Рассмотрим теперь геометрические характеристики поверхности, определяемые второй квадратичной формой.

Зная эту форму, можно вычислять кривизны всех нормальныхсечений поверхности в фиксированной точке P . Эти кривизны показывают, на сколько и вкакую сторону (относительно вектора нормали к поверхности) искривляется поверхностьвблизи данной точки.Кривизна нормального сечения однозначно определяется его вектором скорости вточке P ; меняя направление этого вектора и вычисляя для каждого значения угла кривизну ek, мы получим дифференцируемую функцию на (n − 1)-мерной сфере (множествеединичных векторов в n-мерном касательном пространстве).

Мы сейчас опишем эту функцию явной формулой; в частности, легко вычисляются точки экстремума этой функции —они определяют направления, в которых кривизна нормального сечения максимальна илиминимальна. Для этого нам понадобится следующее утверждение.Теорема 2. Пусть P — точка на поверхности M. Тогда существует базис e1 , . . . , en вкасательном пространстве к M в точке P , в котором матрица первой квадратичнойформы — единичная, а матрица второй квадратичной формы — диагональная. Диагональные элементы λ1 , .

. . , λn этой матрицы суть корни уравнения:det(B − λG) = 0,(5)где G и B — матрицы первой и второй квадратичных форм соответственно в базисе r1 , . . . , rn (т.е. B — матрица с элементами bij , а G — матрица с элементами gij ).Столбцы a1 , . . . , an координат векторов (e1 , . . . , en ) в базисе r1 , . . . , rn — нуль–векторыматриц (B − λj G):(B − λj G)aj = 0.(6)Доказательство. Существование базиса e1 , .

. . , en сразу следует из известной теоремылинейной алгебры о приведении квадратичной формы к главным осям ортогональнымпреобразованием. Действительно, пусть f1 , . . . , fn — произвольный ортонормированныйбазис в касательном пространстве TP M.

В этом базисе матрица первой квадратичнойформы единичная (т.к. это матрица скалярных произведений базисных векторов), а матрица второй квадратичной формы — какая-то. Совершим теперь в касательной плоскостиортогональное преобразование, приводящее вторую квадратичную форму к главным осям.Базис f1 , .

Характеристики

Список файлов лекций