А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Доказать, что при малых длинах сторон сферическая теорема косинусов переходит в евклидову; другими словами, если a = a1 ε, b = b1 ε, c = c1 ε, ε → 0, то:a21 = b21 + c21 − 2b1 c1 cos α0 + O(ε),где α0 = lim α.ε→0§ 9. Теорема синусов.Предложение 2. Имеет место равенство:sin αsin βsin γ==.sin(a/R)sin(b/R)sin(c/R)Доказательство. Рассмотрим выражение sin α/ sin (a/R) и выразим sin α из теоремы косинусов. Получим:sin α=(2)sin(a/R)p 2sin (b/R) sin2 (c/R) − cos2 (a/R) − cos2 (b/R) cos2 (c/R) + 2 cos(a/R) cos(b/R) cos(c/R).sin(a/R) sin(b/R) sin(c/R)Выражая в числителе синусы через косинусы, получим:sin α=sin(a/R)p1 − cos2 (a/R) − cos2 (b/R) − cos2 (c/R) + 2 cos(a/R) cos(b/R) cos(c/R)=.sin(a/R) sin(b/R) sin(c/R)Последнее выражение симметрично по a, b, c.Замечание 4. При малых a, b, c приведенное равенство переходит в евклидову теоремусинусов.

§ 10. Двойственная теорема косинусов.Приведенные выше формулы были естественными аналогами соответствующих формул евклидовой геометрии (хотя и отличались от них “количественно”). Однако в сферической геометрии существуют утверждения, не имеющие аналогов в евклидовом случае.Одно из важнейших — выражение для стороны треугольника через его углы.Предложение 3 (Двойственная теорема косинусов).

Имеет место равенство:cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos62a.RДоказательство. Приведенное утверждение можно получить из теоремы косинусов чистоалгебраическими выкладками. Однако мы приведем другое доказательство, использующее еще одно специфическое для сферы понятие — полярных треугольников. Рассмотримтреугольник ABC и построим другой треугольник A′ B ′ C ′ следующим образом. Проведемчерез вершины B, C и центр сферы плоскость µ, и через A′ обозначим ту точку пересечения сферы с прямой, проходящей через центр сферы перпендикулярно µ, которая лежит втой же полусфере, отсекаемой этой плоскостью, что и A. Аналогично построим вершиныB ′ , C ′ .

Если через ξ1 , ξ2, ξ3 обозначить радиус-векторы вершин A, B, C, а через ξ1′ , ξ2′ , ξ3′ —радиус-векторы вершин A′ , B ′ , C ′ , то полярный треугольник определяется равенствами:(ξi , ξi′) > 0,(ξi, ξj′ ) = 0,i 6= j.Отсюда немедленно следует, что соотношение полярности взаимно (т.е. треугольник ABCполярен к A′ B ′ C ′ ). Покажем, что углы и стороны полярных треугольников связаны равенствами:a′b′c′α+ =β+ =γ+= π.RRRДействительно, a′ /R — это угол между векторами ξ2′ и ξ3′ , который равен разности между π и углом между ортогональными этим векторам плоскостями (O, ξ1, ξ3 ) и (O, ξ1, ξ2 ).С другой стороны, угол между этими плоскостями, очевидно, равен α. Из приведенногоравенства и теоремы косинусов, записанной для полярного треугольника A′ , B ′ , C ′ , немедленно следует двойственная теорема косинусов.§ 11.

Признаки равенства треугольников.Назовем два сферических треугольника равными, если их можно перевести один вдругой изометрией сферы. Подобно евклидовой теории, из теоремы косинусов следуютпризнаки равенства треугольников “по трем сторонам”, по “двум сторонам и углу междуними” и “по стороне и двум прилежащим к ней углам”(докажите!). Однако, в отличиеот евклидовой, в сферической геометрии есть еще один признак — “признак равенстватреугольников по трем углам” (он сразу же вытекает из двойственной теоремы косинусовили из соотношения между сторонами и углами полярных треугольников).

Таким образом,углы сферического треугольника полностью его определяют!§ 12. Сумма углов треугольника.На сфере не верна теорема о сумме углов треугольника: например, треугольник,с вершинами в точках (0, 0, R), (0, R, O), (R, 0, 0) имеет три прямых угла! Оказывается,сумма углов треугольника на сфере всегда больше π; более того, разность этих двух чиселпропорциональна площади треугольника.Предложение 4. Пусть α, β, γ — углы треугольника, S — его площадь. Тогда:α+β+γ−π =S.R2Доказательство. Продолжим стороны AB и AC нашего треугольника до больших кругови обозначим через ΣA площадь области, заключенной между этими большими кругами исодержащей треугольник ABC (Рис.

5). Ясно, что ΣA пропорциональна углу α; кроме того, если α = π, то ΣA — это площадь сферы, т.е. 4πR2 . Отсюда получаем, что ΣA = α4R2 .Аналогично находим ΣB = β4R2 и ΣC = γ4R2 . Заметим теперь, что в сумме эти три области покрывают всю сферу, но при этом трижды (вместо одного раза) считается площадьтреугольника ABC и симметричного равного ему треугольника A′ B ′ C ′ . Таким образом:4R2 (α + β + γ) + 4S = 4πR2 ,63Рис. 5откуда после деления на 4R2 следует требуемое равенство.649 Лекция 9. Индефинитные (псевдоримановы) метрики и пространство Минковского§ 1.

Индефинитные метрики на поверхностях.Во многих областях математики и теоретической физики (особенно в теории относительности) встречаются поверхности, на которых задан объект, аналогичный римановойметрике, но вместо условия положительности удовлетворяющий более слабому условиюневырожденности. Такие объекты называют псевдоримановыми или индефинитными метриками.Определение 1. Псевдоримановой (индефинитной) метрикой на поверхности M называется соответствие, сопоставляющее каждой точке P ∈ M невырожденную симметричнуюбилинейную форму в касательном пространстве TP M, гладко зависящую от точки P .Замечание 1. Гладкая зависимость от точки определяется точно так же, как и дляримановой метрики.

Замечание 2. В каждой системе координат ui псевдориманова метрика g задается симметричной невырожденной матрицей gij (u) = g(ri(u), rj (u)). Закон преобразования этойматрицы при переходе к другой системе координат точно такой же, как и для римановой метрики. Замечание 3. В каждом касательном пространстве существует базис, в котором матрица билинейной формы g диагональна, причем диагональные элементы равны ±1 (докажите!). Пусть положительных диагональных элементов p штук, а отрицательных —q штук.

Тогда псевдориманова метрика называется метрикой сигнатуры (p, q). Ясно,что метрика сигнатуры (n, 0) — риманова. § 2. Псевдоевклидово скалярное произведение и пространство Минковского.Простейший пример поверхности с псевдоримановой метрикой строится следующимобразом. Рассмотрим линейное пространство L в котором задана симметричная невырожденная билинейная форма сигнатуры (p, q).

Такое пространство будем обозначать Rpq ;саму форму будем называть псевдоевклидовым скалярным произведением и обозначать(так же, как и обычное скалярное произведение) круглыми скобками. Любая область впространстве с псевдоевклидовым скалярным произведением является поверхностью спсевдоримановой метрикой сигнатуры (p, q); более того, если M — поверхность в Rpq , топсевдоевклидово скалярное произведение можно ограничить на касательные пространства к M. Отметим, что в результате этой операции, вообще говоря, может получитьсявырожденная билинейная форма (см. примеры ниже); если же во всех касательных пространствах билинейная форма оказывается невырожденной, мы получаем псевдоримановуметрику на поверхности M. Эта метрика называется индуцированной из псевдоевклидовапространства Rpq .Задача 1.

Пусть N ⊂ Rpq — линейное подпространство. Его ортогональным дополнением N ⊥ называется множество векторов ξ ∈ Rpq , ортогональных N, т.е. таких, что (ξ, η) = 0∀η ∈ N. Выяснить, верны ли для всех N следующие равенства:1. dim N + dim N ⊥ = dim Rpq = p + q.2. N ⊕ N ⊥ = Rpq .65В специальной теории относительности центральную роль играет частный случайпространства Rpq — т.н. пространство Минковского. Такое же пространство является объемлющим для геометрии Лобачевского — эта геометрия возникает на двумерной поверхности (псевдосфере) в трехмерном пространстве Минковского.Определение 2. Пространством Минковского называется псевдоевклидово пространство Rn1 .По определению, в пространстве Rn1 существует базис e0 , e1 , .

. . , en , в котором скалярное произведение векторов ξ, η имеет вид (ξ, η) = −ξ 0 η 0 + ξ 1η 1 + · · · + ξ n η n . Такойбазис (как и в евклидовом случае) будем называть ортонормированным; координаты внем будем обозначать x0 , x1 , . . . , xn .Замечание 4. В специальной теории относительности координаты x = (x1 , . . . , xn ) —пространственные, а координата x0 — временна́я (точнее, x0 = ct, где c — скоростьсвета).

Точки пространства Минковского называются событиями. Замечание 5. Иногда (в основном в физической литературе) скалярному произведению впространстве Минковского приписывают противоположный знак, т.е. полагают (ξ, η) =ξ 0 η 0 − ξ 1 η 1 − · · · − ξ n η n . Ясно, что все формулы векторной алгебры и дифференциальнойгеометрии при этих двух разных определениях пространства Минковского просто пересчитываются друг через друга (в нужных местах надо поменять знаки). Отличия между евклидовой и псевдоевклидовой геометрией немедленно проявляются при рассмотрении длин векторов. Действительно, в евклидовой геометрии квадратдлины любого ненулевого вектора — положительное число.

В геометрии Минковского этоне так: у некоторых векторов скалярный квадрат положителен, у некоторых отрицателен,у некоторых — нулевой.Определение 3. Векторы ξ ∈ Rn1 , для которых (ξ, ξ) > 0 называются пространственноподобными; векторы, для которых (ξ, ξ) < 0 — времениподобными, и векторы, для которых(ξ, ξ) = 0 — изотропными или светоподобными.Пример 1. Векторы e1 , . . . , en из определенного выше базиса (и любые их линейные комбинации) пространственноподобны, вектор e0 времениподобен, а векторы e0 +ei , i = 1, . . .

Характеристики

Список файлов лекций