А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Таким образом, вектор r ′ (t0 ) — направляющий векторкасательной; ее уравнение теперь пишется по известным правилам аналитической геометрии.Замечание 7. Очевидно, канонические уравнения касательной имеют вид:x − x(t0 )y − y(t0 )=.′x (t0 )y ′(t0 )Определение 8. Нормалью к кривой в точке t0 называется прямая, проходящая через этуточку и перпендикулярная касательной в ней.Ясно, что направляющий вектор нормали получается поворотом направляющего вектора касательной на π/2, т.е. имеет вид: (−y ′ (t0 ), x′ (t0 )); уравнения нормали имеют вид:x − x(t0 ) y − y(t0)+= 0.y ′(t0 )x′ (t0 )§ 4.
Соприкасающаяся окружность. Кривизна плоской кривой.Касательная и нормаль описывают поведение кривой вблизи точки с точностью добесконечно малых первого порядка; другими словами, векторы скорости движения покривой и по касательной в данной точке совпадают, если параметры выбрать натуральными. Изучим теперь нашу кривую с точностью до бесконечно малых второго порядка,т.е. попробуем найти для каждой точки t0 другую кривую возможно более простого вида,движение по которой имеет с нашей кривой общую скорость и общее ускорение в этойточке. Прежде чем это делать, приведем аккуратное определение того, что мы понимаемпод “совпадением кривых с точностью до бесконечно малых k–го порядка”.Определение 9.
Две гладкие регулярные кривые называются касающимися в точке P ,если обе они проходят через эту точку и имеют в ней одну и ту же касательную.Ясно, что две кривые касаются в точке P тогда и только тогда, когда на этих кривыхможно выбрать натуральные параметры таким образом, что векторы скорости кривыхв точке P совпадут. Далее будем считать, что кривые параметризованы именно такимспособом; пусть r = r(s) и r = ρ(s) — параметрические уравнения касающихся кривых,причем точка касания соответствует значению параметра s = 0.Определение 10. Две касающиеся кривые имеют в точке s = 0 касание порядка k, есливыполнены равенства:r(0) = ρ(0),drdρdk rdk ρ(0) = (0), .
. . , k (0) = k (0).dsdsdsds6В частности, две кривые имеют касание второго порядка, если совпадают их скорости и ускорения. Оказывается, регулярная кривая имеет в каждой точке касание второгопорядка с некоторой окружностью. При доказательстве этого факта нам понадобится одно простое вспомогательное утверждение, которое будет неоднократно использоваться вдальнейшем.Лемма 1. Пусть a(t) — гладкая вектор–функция, принимающая значения в евклидовомпространстве Rn , причем длина вектора a(t) постоянна (не зависит от t).
Тогда векторda(t)/dt при всех t ортогонален вектору a(t).Доказательство. Дифференцируя равенство:(a(t), a(t)) = |a|2 = const,получаем:что и требовалось.da(t)2 a(t),= 0,dtТеорема 1. Пусть γ : r = r(s) — регулярная кривая, причем в точке s = s0 вектор..ускорения r(s0 ) 6= 0. Тогда существует единственная окружность, имеющая с кривой γкасание второго порядка в этой точке; центр этой окружности лежит на нормали к γ..в направлении вектора ускорения, а ее радиус равен |r(s0 )|−1 .Определение 11. Эта окружность называется соприкасающейся окружностью к кривой γв точке s0 .
Ее радиус называется радиусом кривизны кривой.Доказательство. Нам надо найти окружность, имеющую с кривой γ в точке s0 общиевекторы скорости и ускорения. Чтобы это сделать, найдем скорость и ускорение окружности радиуса R. Вектор скорости, конечно, направлен по касательной к окружности,и его длина равна единице, если параметр натуральный. Далее, по приведённой леммевектор ускорения ортогонален вектору скорости (т.к. последний имеет постоянную длину), т.е.
направлен вдоль диаметра окружности. Подсчитаем его длину и направление.Натуральная параметризация окружности радиуса R с центром в точке x0 , y0 имеет видr = (x0 + R cos(s/R), y0 + R sin(s/R)) (докажите!); дважды дифференцируя, получаем вектор ускорения:1..r = − (cos(s/R), sin(s/R)),R..т.е. этот вектор направлен из точки окружности к ее центру, причем его длина |r| = R−1 .Отсюда сразу же следует утверждение теоремы; действительно, чтобы векторы скоростии ускорения кривой γ и некоторой окружности совпали, необходимо и достаточно, чтобыцентр окружности лежал в направлении вектора ускорения кривой γ, отложенного от..общей точки этих кривых, а ее радиус равнялся |r|−1 (напомним, что, в силу леммы,вектор ускорения кривой γ направлен по нормали к ней, т.к. параметр натуральный).Этими данными окружность задается однозначно...Замечание 8.
Если в данной точке кривой r = 0, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую; ее радиус при этом считается равным бесконечности. ..Определение 12. Величина k(s0 ) = R−1 = |r(s0 )| называется кривизной кривой в точке s0 .7§ 5. Вектор нормали к кривой. Плоские формулы Френе...Пусть в некоторой точке кривой вектор ускорения r отличен от нуля; тогда он ортогонален единичному вектору скорости v = ṙ.
Из этих двух векторов можно построитьортонормированный репер, если нормировать вектор ускорения.....Определение 13. Вектором n нормали к кривой в точке s0 называется вектор |r(s0 )|−1 r(s0 ) =..k −1 (s0 ) r(s0 ), где k(s) — кривизна кривой.Из определения вектора нормали немедленно следует формула для производной вектора скорости v̇(s) = k(s)n(s). Нетрудно выразить через векторы v, n и производную от n.Для этого заметим, что, по доказанной выше лемме, вектор ṅ ортогонален вектору n, т.е.ṅ = cv, c ∈ R.
Продифференцируем теперь равенство (v, n) = 0; получим (v̇, n)+(v, ṅ) = 0,откуда k + c = 0, т.е. c = −k. Итак, окончательно для производных репера (v, n) получаемформулы:v̇(s) = k(s)n(s), ṅ(s) = −k(s)v(s).Эти формулы называются плоскими формулами Френе. Они справедливы в любой точке,в которой кривизна не равна нулю.Замечание 9. Часто бывает удобно приписывать кривизне кривой знак, указывающийна направление вектора ускорения относительно вектора скорости. Именно, определим..новую функцию ek(s), равную k(s), если вращение от вектора ṙ к вектору r происхо..дит против часовой стрелки, и −k(s), если вращение от ṙ к r происходит по часовойстрелке.
Функция ek(s) обладает лучшими аналитическими свойствами, чем k(s) — онабесконечно дифференцируема для любой гладкой кривой, в то время как k(s), вообще говоря, только непрерывна (это, конечно, происходит из-за того, что k = |ek|, а в точке, в....которой r = 0, график функции k(s) имеет излом, если направление r при переходе черезэту точку меняется на противоположное). Если обозначить через ne(s) единичный вектор (−ẏ(s), ẋ(s)), то для векторов v, ne будут по-прежнему выполнены плоские формулыФрене (с заменой k на ek), причем они будут иметь смысл всюду, в том числе и в нуляхкривизны (докажите!). Отметим, что функция ek(s) имеет естественный геометрический (и механический) смысл; именно, если α(s) — угол между вектором скоростикривой и фиксированным направлением (например, осью Ox), то:dαek(s) =ds(докажите!). Конечно, под углом здесь понимается функция, совпадающая с углом сточностью до прибавления слагаемого 2πm (m — целое число); это слагаемое выбираетсятак, чтобы функция α(s) была гладкой.
8Задачи.Уравнения кривых.1. Произвольный луч OE пересекает в точках D и E окружностьa2ax2 + (y − )2 =24и касательную к ней, проходящую через точку C, диаметрально противоположную O.Через точки D и E проведены прямые, параллельные соответственно осям Ox и Oy,до пересечения в точке M. Составить уравнение кривой, образованной точками M(локон Аньези).2. Точка M равномерно движется по прямой ON, равномерно вращающейся вокругточки O. Составить уравнение траектории точки M (спираль Архимеда).3. Прямая OL вращается вокруг точки O с постоянной угловой скоростью, а точка Mдвижется по этой прямой со скоростью, пропорциональной расстоянию |OM|. Составить уравнение траектории точки M.4. Круг катится по прямой без скольжения.
Составить уравнение траектории точки,жестко связанной с кругом и находящейся на расстоянии d от его центра (циклоида,удлиненная или укороченная).5. Окружность катится по другой окружности (с внешней или с внутренней стороны).Составить уравнение траектории точки на катящейся окружности (эпи- или гипоциклоида).Нормаль, касательная, кривизна.6. Составить уравнения касательной и нормали к кривой:(a) r = (a cos t, b sin t);ab(b) r =,;2(t + 1/t) 2(t − 1/t)(c) r = (a cos3 t, a sin3 t);(d) r = (a(1 − cos t), a(t − sin t));(e) r = ( 12 t2 − 41 t4 , 12 t2 + 13 t3 );(f) r = (at cos t, at sin t);7.
Найти кривизну кривой:(a) y = a ch(x/a);(b) ρ = aϕ;(c) ρ = a(1 + cos ϕ);(d) r = (a cos3 t, a sin3 t);(e) r = (a(2 cos t + t sin t), a(sin t − t cos t)) ,9здесь (ρ, ϕ) — полярные координаты на плоскости.8. Найти кривизну кривой, заданной неявным уравнением F (x, y) = 0.9. Найти все кривые с постоянной кривизной.10. Шириной замкнутой выпуклой плоской кривой l в направлении вектора a называется точная нижняя грань расстояний между двумя параллельными прямыми,перпендикулярными a, и такими, что l целиком содержится в полосе, ограниченнойэтими прямыми. Говорят, что кривая имеет постоянную ширину d, если ее ширинав любом направлении равна d.
Доказать, что в этом случае длина кривой l равнаπd (предполагается, что кривая состоит из одного куска). Привести пример кривойпостоянной ширины, отличной от окружности.102 Лекция 2. Пространственные кривые§ 1. Уравнения кривой. Касательная, нормальная плоскость, кривизна.Рассмотрим теперь кривые в трехмерном пространстве с евклидовыми координатами(x, y, z). Через r будем, как и ранее, обозначать радиус-вектор точки. Кривые в трехмерном пространстве можно, как и на плоскости, задавать параметрическими уравнениямиr = r(t).Определение 1. Гладкой регулярной пространственной кривой называется гладкое отображение r = r(t) отрезка в трехмерное пространство, причем вектор скорости r ′ (t) 6= 0.Так же, как и в плоском случае, на кривой можно заменять параметр при помощигладких монотонных функций t = t(τ ). В частности, всегда можно выбрать параметртак, чтобы скорость движения по кривой была равна единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
