А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

, ξ n и η 1 , . . . , η n соответственно, их линейной комбинацией aξ + bη считаетсявектор, задаваемый числами aξ i + bη i , i = 1, . . . , n.Задача 1. Доказать, что сумма векторов и произведение вектора на число не зависят отиспользованной системы координат.Задача 2. Определить сумму и произведение на число касательных векторов, понимаемыхкак классы касающихся кривых.Пусть в окрестности точки P задана система координат x1 , . . . , xn ; в касательномпространстве TP M рассмотрим базис e1 , . . . , en , состоящий из векторов, которые задаютсяв данной систем координат наборами чисел eij = δji .Определение 11. Этот базис называется каноническим базисом, соответствующим системекоординат x1 , . .

. , xn .Ясно, что базисный вектор ej — это вектор скорости к j–й координатной линии, т.е.кривой вида xi = xi0 , i 6= j, xj = xj0 + t, проходящей через точку P (здесь xi0 — координатыэтой точки). Числа, сопоставленные касательному вектору в данной системе координат —это его координаты в соответствующем каноническом базисе.

При замене координат канонический базис меняется; матрица перехода от одного канонического базиса к другому —это в точности матрица Якоби замены координат (докажите!); формула (1) — это законпреобразования координат вектора при замене базиса.Помимо двух описанных способов определения касательного вектора существует ещетретий способ — определить этот вектор при помощи операции дифференцирования вдольнего. Именно, рассмотрим всевозможные гладкие функции на M, определенные в некоторой окрестности точки P и пусть ξ ∈ TP M — касательный вектор. Рассмотрим произвольную проходящую через P кривую γ, для которой ξ является вектором скорости, иограничим гладкую функцию f на эту кривую, т.е.

рассмотрим гладкую функцию f ◦ γодной переменной t: f ◦ γ(t) = f (γ(t)), t ∈ [a, b]. Будем считать, что кривая γ проходитчерез точку P при t = t0 .Определение 12. Производной функции f вдоль касательного вектора ξ в точке P называется число:d ∂ξ (f ) = f (γ(t)).dt t=t0Утверждение 2. Приведенное определение корректно, т.е. не зависит от выбора кривой γ,представляющей касательный вектор ξ.94Доказательство.

В локальных координатах x1 , . . . , xn функция f — это обычная гладкая функция n переменных f (x1 , . . . , xn ). Кривая γ задается уравнениями xi = xi (t), акасательный вектор ξ — координатным набором чисел ξ 1, . . . , ξ n :ξi =Отсюда находим:dxi .dt t=t0nnXXd ∂fdxj ∂f1n∂ξ (f ) = f (x (t), . . .

, x (t)) =(P )(P )ξ j . =jjdt t=t0∂xdt t=t0 j =1 ∂xj =1Последнее выражение зависит только от функции f и вектора ξ.Таким образом каждый касательный вектор определяет отображение множествагладких функций, заданных в окрестности P , в числа (каждой функции сопоставляетсяее производная вдоль этого вектора), причем это отображение удовлетворяет очевиднымсвойствам:1. ∂ξ (af + bg) = a∂ξ (f ) + b∂ξ (f ),a, b ∈ R (линейность),2.

∂ξ (f g) = f (P )∂ξ (f ) + g(P )∂ξ (f ) (правило Лейбница).Определение 13. Отображение множества гладких функций на M в числа, удовлетворяющее условием 1), 2) называется дифференцированием множества функций на M вточке P .Ясно, что каждый касательный вектор из TP M определяет единственное дифференцирование. Оказывается, это соответствие взаимно–однозначно.Теорема 1. Для каждого дифференцирования A множества гладких функций на M вточке P найдется единственный вектор ξ ∈ TP M, для которого:A(f ) = ∂ξ (f ).Доказательство. Зафиксируем систему координат x1 , . . .

, xn в окрестности точки P и рассмотрим произвольную гладкую функцию f . Из формулы Тейлора следует, что в окрестности точки P эта функция представляется в виде:f = f (P ) +nnXX∂fjj(P)(x−x)+hj (x)(xj − xj0 ),0j∂xi =1i, j =1где xi0 — координаты точки P , а hj (x) — гладкие функции, причем hj (P ) = 0 (докажите!).Применим к этой функции отображение дифференцирования A; пользуясь линейностью,получим:nnXX∂fjjA(f ) = f (P )A(1) +(P )A(x − x0 ) + A(hj (x)(xj − xj0 )).j∂xj =1i, j =1Из правила Лейбница следует, что A(1) = A(1 • 1) = A(1) + A(1), откуда A(1) = 0; крометого, из того же правила следует, что:A(nXi, j =1hj (x)(xj − xj0 )) = 095(каждое слагаемое в этой сумме представлено в виде произведения двух функций, каждаяиз которых обращается в нуль в точке P ).

Обозначая ξ i = A(xi − xi0 ), получим:A(f ) =nX∂f(P )ξ j = ∂ξ (f ),j∂xi =1где ξ — касательный вектор, заданный в системе координат x1 , . . . , xn числами ξ 1 , . . . , ξ n .Докажем, что вектор ξ единственный. Действительно, из равенства ∂ξ (f ) = ∂η (f ) следует,что:nX∂f j(ξ − η j ) = 0,j∂xj =1которое должно быть выполнено для любой гладкой функции f .

Выбирая f = xk ,k = 1, . . . , n получим ξ k = η k , т.е. ξ = η.Таким образом, мы приходим к третьему определению касательного вектора.Определение 14. Касательным вектором в точке P к многообразию M называется дифференцирование множества гладких функций на M в точке P .Ясно, что при фиксированной системе координат x1 , . .

. , xn дифференцирование, соответствующее вектору ej канонического базиса — это дифференцирование по локальнойкоординате xj :∂f∂ej (f ) = j .∂xПоэтому для этого вектора часто используется обозначение ∂/∂xj ; таким образом, канонический базис, порожденный в касательном пространстве координатами x1 , .

. . , xn , состоитиз векторов:∂∂,...,,∂x1∂xnа каждый касательный вектор ξ имеет вид:ξ=nXξjj =196∂.∂xjЗадачи.1. Построить атлас:(a) на окружности;(b) на сфере;(c) на цилиндре(d) на торе.2. Доказать, что множество M, заданное в трехмерном пространстве уравнением F (x, y, z) = 0,причем ∇F |M 6= 0, является многообразием. Найти его размерность.3. Доказать, что множество M, заданное в n–мерном пространстве системой уравнений:F1 (x1 , . .

. , xn ) = 0, . . . , Fk (x1 , . . . , xn ) = 0,причем ранг матрицы Якоби ∂Fi /∂xj во всех точках M равен k, является многообразием. Найти его размерность.4. Доказать, что проективная прямая (множество прямых на плоскости, проходящихчерез начало координат) — многообразие. Найти его размерность.5.

Доказать, что проективная плоскость (множество прямых в трехмерном пространстве, проходящих через начало координат) — многообразие. Найти его размерность.6. Доказать, что следующие матричные группы являются многообразиями и найти ихразмерности:(a) SL(2,R) — 2 × 2-матрицы с определителем 1,(b) SO(2) — 2 × 2 ортогональные матрицы с определителем 1,(c) SU(2) — 2 × 2 унитарные матрицы с определителем 1,(d) SL(n,R) — n × n-матрицы с определителем 1,(e) T(n,R) — верхнетреугольные n × n-матрицы,(f) SO(3) — 3 × 3 ортогональные матрицы с определителем 1,λ 0(g)λ > 0, a > 0 − фиксировано.0 λa7. Доказать, что прямое произведение конечного числа многообразий — многообразие.Найти его размерность.8.

Найти касательные пространства к многообразиям из задач 2,3,6.9. Доказать, что следующие матричные группы являются многообразиями, найти ихразмерности и касательные пространства в единице:(a) SL(n,R),(b) SO(n),(c) SU(n).9710. Найти касательное пространство к группе SO(3) в точке:√1/23/20√A =  − 3/2 1/2 0  .00111. Найти координату единичного вектора, касающегося окружности радиуса R точкеϕ = π/3 в системе координат “полярный угол” и в координате стереографическойпроекции.12. Найти координаты касательного вектора к образующей и параллели на конусе вкоординатах: (r, ϕ), (z, ϕ), (x, y).13. На цилиндре найти координаты вектора, касающегося винтовой линии с шагом d, вцилиндрических координатах (ϕ, z).√14.

На цилиндре найти координаты касательного вектора (−R 3, R, 1) в точке ϕ = π/3,z = 1 в цилиндрических координатах (ϕ, z) и в координатах стереографической проекции.√√√ √15. На сфере найти координаты касательного вектора (− 2, 2, 1) в точке (1/ 2, 1/ 2, 0)в сферических координатах и в координатах стереографической проекции.16. То же для вектора, касающегося:(a) меридиана;(b) параллели;(c) большого круга, лежащего в плоскости x + 3y − 2z = 0.17. На проективной плоскости (множестве прямых в R3 ) найти координаты в аффинныхкартах касательного вектора в точке t = π/4 к кривой r = (cos t, sin t, t).18.

Доказать, что для всякого многообразия M его касательное и кокасательное расслоения являются многообразиями. Найти их размерность. Поясним, что касательноерасслоение к многообразию M — это множество пар вида (P, ξ), где P — точка многообразия M, а ξ — касательный вектор к M в этой точке; кокасательное расслоениеобразовано парами (P, α), где α — линейный функционал на касательном пространстве TP M.9814 Лекция 14. Вложения и погружения многообразий§ 1. Дифференциал гладкого отображения.Выше мы видели, что гладкое отображение поверхностей индуцирует отображениекасательных векторов к ним: вектор скорости некоторой кривой на первой поверхности переходит в вектор скорости образа этой кривой (в соответствующей точке) на второй поверхности.

Точно так же обстоит дело и в случае произвольных многообразий.Именно, пусть M, Q — гладкие многообразия размерностей n, m соответственно, и пустьf : M → Q — гладкое отображение. Рассмотрим произвольный касательный вектор ξ кмногообразию M в точке P . Это — класс касающихся в точке P гладких кривых на M;пусть γ — одна из кривых (представитель) этого класса.

Отображение f переводит этукривую в гладкую кривую f (γ), лежащую на многообразии Q и проходящую через точкуf (P ); обозначим через dP f (ξ) вектор скорости кривой f (γ) в этой точке.Теорема 1. Вектор dP f (ξ) не зависит от выбора кривой γ из класса, определяющеговектор ξ; таким образом, описанная конструкция корректно определяет отображениеdP f : TP M → Tf (P ) Q.

Характеристики

Список файлов лекций