А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Хаусдорфово топологическое пространство M называется n–мерным (топологическим) многообразием, если каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфнуюобласти n–мерного евклидова пространства Rn .Ясно, что все многообразие M покрывается (вообще говоря, многими способами) открытыми множествами Uα , гомеоморфными областям Vα ⊂ Rn ; обозначим через ϕα соответствующие гомеоморфизмы ϕα : Ua → Vα . В пространстве Rn рассмотрим стандартныедекартовы координаты x1 , .
. . , xn ; отображение ϕα позволяют сопоставить каждой точкеиз соответствующего множества Uα набор чисел x1 , . . . , xn — координаты соответствующейточки из Vα ; таким образом, в каждом таком множестве возникают координаты.Определение 2. Пары Uα , ϕα называются картами многообразия M; гомеоморфизмы ϕa —координатными гомеоморфизмами, а множество карт, покрывающее все M — атласомна M.Рассмотрим пересечение двух карт Uαβ = Uα ∩ Uβ ; это пересечение отображаетсягомеоморфизмом ϕα на область Vαβ ⊂ Vα , а гомеоморфизмом ϕβ — на область Vβα ⊂ Vβ .Определение 3.
Гомеоморфизм ϕαβ = ϕβ ϕ−1α : Vαβ → Vβα называется функцией переходаиз карты Uα в карту Uβ .Функция перехода — это отображение областей евклидова пространства Rn ; оно задается набором из n функций от n переменных y 1(x1 , . . . , xn ), . . . , y n (x1 , . . . , xn ). Эти функциинепрерывны в области Vαβ (поскольку отображение перехода — гомеоморфизм).Замечание 1. В пересечении множеств Uα и Uβ имеется два набора координат: одинберется из области Vα , другой — из области Vβ .
Поскольку эти координаты изображаютодни и те же точки, они выражаются друг через друга; соответствующие функции иесть функции перехода. Замечание 2. Благодаря наличию координат, функции на многообразии (и его отображения) сводятся (в каждой карте) к обычным функциям нескольких переменных, т.е. кстандартному объекту математического анализа. Обсуждавшаяся ранее теория поверхностей основана на применении аппарата дифференциального исчисления; отметим, что на топологическом многообразии такой аппарат, вообще говоря, развить невозможно.
Действительно, пусть функция f дифференцируема в некоторых локальных координатах x1 , . . . , xn ; в других координатах y 1, . . . , y n она,вообще говоря, дифференцируемой не будет, поскольку функции перехода xi (y) непрерывны, но не обязаны быть гладкими.
Поэтому для того, чтобы использовать аппарат производных, необходимо снабдить топологическое многообразие дополнительной структурой,призванной обеспечить гладкость функций перехода.Определение 4. Гладким n-мерным многообразием называется топологическое n–мерноемногообразие, на котором фиксирован атлас, все функции перехода в котором гладкие.91Замечание 3. Под гладкостью всюду в этом курсе мы понимаем бесконечную дифференцируемость; однако можно рассматривать многообразия конечной гладкости; именно,многообразие класса C r — это топологическое многообразие, снабженное атласом, всефункции перехода в котором имеют непрерывные производные r–го порядка.
На гладком многообразии имеет смысл понятие гладкой функции; действительно,пусть f — скалярная функция, определенная в окрестности некоторой точки P на M;точка P принадлежит некоторой карте Uα заданного на M атласа, поэтому можно рассмотреть функцию fα = f ◦ϕ−1a : Vα → R. Это — обычная функция n переменных; конечно,это и есть исходная функция f , записанная в координатах x1 , . . .
, xn , определенных картой Uα .Определение 5. Функция f называется гладкой в точке P , если функция fα ◦ ϕ−1α гладкаяв точке ϕ(P ). Функция, определенная на всем многообразии M, называется гладкой, еслиона гладкая в каждой точке этого многообразия.Замечание 4. Приведенное определение корректно, поскольку все функции перехода в заданном на многообразии атласе гладкие; таким образом, если функция f гладкая в однихкоординатах, она гладкая и в других. Аналогичным образом определяется гладкое отображение гладких многообразий.Именно, если M и Q — гладкие многообразия размерности n и m соответственно, иf : M → Q — отображение, то в окрестности каждой точки P ∈ M оно задается набором из m функций y i(x1 , . . . , xn ), i = 1, .
. . , m от n переменных; здесь xj — координатына M в окрестности точки P , а y i — координаты на Q в окрестности точки f (P ).Определение 6. Отображение f называется гладким в точке P , если все функции y i(x)гладкие (в соответствующей точке).Замечание 5. Конечно, на гладком многообразии можно использовать не только картыи локальные координаты, соответствующие фиксированному атласу. Однако при использовании других координат необходимо следить за тем, чтобы все функции переходамежду соответствующими картами и картами фиксированного атласа были гладкими. Само определение гладкого многообразия можно переформулировать так, чтобы избавиться от привязки к фиксированному атласу.
Именно, будем рассматривать всевозможные атласы на топологическом многообразии M, такие, что все функции переходамежду картами (одного и того же атласа) гладкие. Два атласа назовем эквивалентными, если все функции перехода из карт первого атласа в карты второго и наоборот —гладкие. Множество рассматриваемых атласов при этом распадается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу атласов. Гладким многообразием (или гладкойструктурой на топологическом многообразии) называется класс эквивалентности атласов.
Практически задать структуру гладкого многообразия можно, зафиксировав одинатлас, все функции перехода в котором гладкие (тем самым задается его класс эквивалентности). Именно так мы и поступили, определяя выше гладкое многообразие. § 2. Касательное пространство к гладкому многообразию.Теория поверхностей начинается с рассмотрения касательных пространств к поверхности в каждой точке.
Касательное пространство в точке P — это множество векторовскоростей всевозможных кривых, лежащих на поверхности и проходящих через точку P .Попробуем определить аналогичным образом касательное пространство к гладкому многообразию. Для этого сперва определим на нем гладкие кривые.92Определение 7. Гладкой кривой на многообразии M называется гладкое отображение γотрезка [a, b] в многообразие M; другими словами, это отображение, которое в окрестности каждой точки t0 ∈ [a, b] задается набором гладких функций x1 (t), .
. . , xn (t) однойпеременной (здесь x1 , . . . , xn — локальные координаты на M в окрестности точки γ(t0 )).Перейдем теперь к определению касательного вектора к многообразию. Здесь мысталкиваемся с трудностью, связанной с отсутствием объемлющего пространства: векторскорости кривой, лежащей на многообразии, не представляется в виде вектора какого–тонаперед заданного линейного пространства. Для того, чтобы обойти эту трудность, воспользуемся тем, что вектор скорости однозначно определяется самой кривой; поэтому егоможно определить, используя эту кривую. Однако соответствие между кривыми и их векторами скорости не взаимно однозначно: разные кривые могут иметь один и тот же векторскорости в данной точке. Поэтому касательный вектор к многообразию определяется какмножество кривых, у которых скорость в данной точке одна и та же, т.е.
кривых, касающихся друг друга в данной точке. Определим сперва понятие касания кривых. Пустьγ1 , γ2 — две кривые, проходящие через точку P ∈ M; в некоторой системе локальныхкоординат x1 , . . . , xn они задаются функциями xi1 (t) и xi2 (t) соответственно; пусть перваякривая проходит через точку P при t = t1 а вторая — при t = t2 .Определение 8.
Кривые γ1 и γ2 называются касающимися (или соприкасающимися) вточке P , если ẋi1 (t1 ) = ẋi2 (t2 ), i = 1, . . . , n.Утверждение 1. Это определение корректно, т.е. не зависит от выбора локальных координат x1 , . . . , xn .Доказательство. Пусть y 1 , . . . , y n — другие локальные координаты в окрестности точкиP .
Они выражаются через старые посредством гладких функций y i(x1 , . . . , xn ), и рассматриваемые кривые в этих координатах задаются уравнениями yji = yji (t), где yji (t) =y i(x1j (t), . . . , xnj (t)), j = 1, 2. По теореме о производной сложной функции имеем:ẏji (tj ) =nX∂y i(P )ẋkj (tj ).k∂xk=1Из этой формулы сразу же следует, что, если ẋi1 (t1 ) = ẋi2 (t2 ), то и ẏ1i (t1 ) = ẏ2i (t2 ).Определение 9.
Касательным вектором к многообразию M в точке P называется класскасающихся друг друга в точке P гладких кривых на M. Вектором скорости кривой γв точке P называется класс кривых, касающихся γ в этой точке. Множество всех касательных векторов в точке P называется касательным пространством к многообразию Mв этой точке и обозначается TP M.Как практически задать касательный вектор? Ответ на этот вопрос, фактически, ужеобсуждался: если x1 , . . . , xn — система координат в окрестности точки P , каждой кривойxi = xi (t), проходящей через эту точку, можно сопоставить набор из n чисел ξ 1 , . . . , ξ n ,где ξ i = ẋi (t0 ) (кривая проходит через точку P при t = t0 ). Ясно, что эти наборы чиселвзаимно–однозначно соответствуют классам касающихся кривых (при фиксированной системе координат); тем самым каждый набор определяет касательный вектор. Отметим,что при замене координат y = y(x) набор чисел, задающий данный касательный вектор,меняется: если вектор в координатах x задавался числами ξ 1 , .
. . , ξ n , то в координатах yон будет задаваться числами η 1 , . . . , η n , где:ηi =nX∂y i jξ .j∂xj=193(1)Этот закон преобразования можно положить в основу альтернативного определения касательного вектора.Определение 10. Касательным вектором к многообразию M в точке P называется соответствие, сопоставляющее каждой системе координат, заданной в окрестности точки P ,набор чисел ξ 1 , . .
. , ξ n , причем числа, соответствующие разным системам координат, связаны соотношением (1).Закон преобразования чисел, задающих касательный вектор, напоминает закон преобразования координат вектора линейного пространства при замене базиса. Это, конечно,не случайно; в касательном пространстве TP M имеется естественная структура линейного пространства: сумма и произведение на число касательных векторов определяются“покомпонентно”, т.е. если в данной системе координат векторы ξ и η задаются наборамичисел ξ 1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
