А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Интуитивно ясно, что если 2n < N −1, то эти множества представляют собой нечто, “имеющееразмерность, меньшую размерности сферы”, и потому заведомо ее не покрывающее.Для того, чтобы аккуратно сформулировать и доказать соответствующее утверждение, нам понадобится понятие множества меры нуль в гладком многообразии.Определение 4. Пусть M — гладкое n-мерное многообразие, допускающее счетный атлас.Множество X ⊂ M имеет меру нуль в M, если для любой карты U, ϕ счетного атласамножество ϕ(X ∩ U) имеет меру нуль в Rn .Задача 3.
Доказать, что это определение не зависит от выбора счетного атласа.Замечание 3. Приведенное определение совершенно естественно: в каждой карте множество X можно понимать как подмножество в Rn ; если все эти множества имеют мерунуль, то и все X (в силу счетности числа карт) тоже должно иметь меру нуль. Докажем теперь нужное нам утверждение.Лемма 1. Пусть f : M → N — гладкое отображение гладких многообразий и dim M <dim N, и многообразие M допускает счетный атлас. Тогда множество f (M) имеет мерунуль в N.102Доказательство. Лемму достаточно доказать в одной карте, поэтому можно считать, чтоM = Rm , N = Rn и m < n. Представим пространство Rm в виде объединения счетного числа единичных кубов.
Достаточно доказать утверждение для каждого куба, т.е. показать,что множество f (C) имеет меру нуль, где C — единичный куб.Поскольку куб компактен, и f — гладкое, то существует константа такая, что:|f (x) − f (y)| < c|x − y|.Отсюда следует, что для любого m-мерного куба со стороной a, содержащегося в C, его образ можно покрыть n-мерным кубом со стороной c1 a.
Разобьем каждую сторону куба C наk равных частей; при этом весь куб разобьется на k m маленьких кубиков со стороной 1/k.Образ куба C покрывается образами этих кубиков, причем каждый образ содержится вn–мерном кубике со стороной c1 /k. Итак, множество f (C) покрывается k m n-мернымикубами со стороной c1 /k. Подсчитаем суммарную меру этих кубов. Очевидно, она равна:km(c1 n) = cn1 k m−n .kУстремим теперь k к бесконечности; поскольку m < n, множество f (C) можно покрытькубами сколь угодно малой суммарной меры.
Следовательно, это множество имеет мерунуль. Лемма доказана.Из доказанной леммы немедленно следует утверждение теоремы Уитни. Действительно, при условии 2n < N − 1 множества f (X) и g(Y ) имеют меру нуль в сфере S N −1 .Поэтому найдется v ∈ S N −1 , не попадающий в f (X)∪g(Y ); построенная по такому векторутогда проекция π является вложением.Замечание 4. Если от отображения f требовать, чтобы оно было лишь погружением, множество Y , рассматриваемое при доказательстве теоремы Уитни, можно исключить из рассмотрения.
Пользуясь тем, что множество X имеет размерность, наединицу меньшую (2n − 1), немедленно приходим к следующему утверждению. Любоегладкое компактное n-мерное многообразие можно погрузить в евклидово пространстворазмерности 2n. Задача 4. Построить вложение проективной плоскости в R5 и погружение в R3 .10315 Лекция 15. Примеры гладких многообразийЗдесь мы рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся примеры гладкихмногообразий.§ 1. Многообразия, заданные уравнениями.Пусть M — множество в евклидовом пространстве Rm , заданное системой уравнений:f1 (x1 , .
. . , xm ) = 0, . . . , fk (x1 , . . . , xm ) = 0,k < m,где f1 , . . . , fk — гладкие функции.Теорема 1. Пусть матрица Якоби ∂fi /∂xj во всех точках множества M имеет ранг,равный k (другими словами, градиенты функций f1 (x), . . . , fk (x) линейно независимы длявсех x ∈ M). Тогда M является гладким многообразием размерности n = m − k, причемв качестве локальных координат на M в окрестности произвольной точки этого множества можно выбрать некоторые из координат x1 , .
. . , xn объемлющего пространства.Доказательство. Утверждение теоремы — это, фактически, теорема о неявной функции.Действительно, по теореме о неявной функции множество M в окрестности произвольнойего точки можно задать равенствами x′i = ϕi (x′′ ), i = 1, . . . , k где x′ — некоторый набор изk координат пространства Rm , x′′ — остальные m − k координат, а ϕi — гладкие функциив некоторой области (m − k)–мерного пространства. Рассматривая все такие окрестностина M, получаем на нем атлас карт, координатами в которых являются наборы x′′ координат объемлющего пространства.
Проверим гладкость функций перехода. Если x′′α и x′′β —два набора координат в пересечении двух карт на M, то это пересечение задается двоякимобразом: x′α = fα (x′′α ) и x′β = fβ (x′′β ). Добавив к первым равенствам тождества x′′α = x′′α ,получим соотношения x = F (x′′α ), выражающие в рассматриваемой области множества Mвсе координаты евклидова пространства Rm через координаты x′′α посредством гладкихфункций; в частности, через этот набор координат выражаются и координаты x′′β .Пример 1. Поверхность, заданная одним уравнением f (x, y, z) = 0 в трехмерном пространстве, является гладким двумерным многообразием, если в точках этой поверхностиградиент функции f не обращается в нуль.
В частности, отсюда сразу следует, что сфераx1 + y 2 + z 2 = R2 — гладкое многообразие.Приведенную конструкцию многообразий можно обобщить, рассмотрев уравненияне в евклидовом пространстве, а в произвольном гладком многообразии (многообразиемможет быть как область определения, так и область значений соответствующих функций).Нужное условие на матрицу Якоби в этом случае называется условием регулярности гладкого отображения.Определение 1. Пусть f : M → Q — гладкое отображение m–мерного многообразия M вk–мерное многообразие Q, причем m ≥ k.
Точка P ∈ M называется регулярной точкойотображения f , если дифференциал f в точке P — эпиморфизм (т.е. отображение “на все”пространство Tf (P ) Q). Точка R ∈ Q называется регулярным значением отображения, еслилюбая точка прообраза f −1 (R) регулярна.Замечание 1. Пусть x1 , . . . , xm , y 1 , .
. . , y k — локальные координаты в окрестностях точек P и f (P ) соответственно, а отображение задается функциями y i = f i (x1 , . . . , xm ),i = 1, . . . , k. Условие регулярности точки P означает в точности, что ранг матрицыЯкоби ∂f i /∂xj в точке P равен k. 104Следующее утверждение доказывается точно так же, как предыдущая теорема.Теорема 2. Пусть R — регулярное значение гладкого отображения f : M → Q.
Тогдапрообраз f −1 (R) является гладким многообразием размерности n = m − k, причем вкачестве локальных координат в окрестности произвольной точки этого множестваможно выбрать некоторые из локальных координат многообразия M. § 2. Группы Ли.Среди поверхностей, задаваемых уравнениями, встречаются матричные группы преобразований.
Действительно, обозначим через M(n, R) (соответственно M(n, C)) множество всех вещественных (комплексных) n × n–матриц. Это — линейное пространство размерности n2 (соответственно 2n2 ), координатами в котором являются матричные элементы. Рассмотрим группу O(n) ортогональных n×n–матриц; это — подмножество в M(n, R),заданное уравнениями AT A = E; функции, задающие эти уравнения, являются квадратичными многочленами от матричных элементов A.
Отметим, что не все уравнения независимы; поскольку матрицы в левой и правой частях равенства симметричны, достаточно сравнивать только их элементы, лежащие над диагональю. Таким образом, получаемn(n + 1)/2 уравнений на n2 переменных в M(n, R).Задача 1. Доказать, используя теорему из предыдущего пункта, что O(n) — гладкое многообразие размерности n(n − 1)/2.Ниже мы получим это же утверждение из других соображений. Именно, представимсебе, что нам уже известно, что O(n) — многообразие; найдем касательное пространствок нему в точке E (единичная матрица).
Для этого рассмотрим гладкую кривую A(t),лежащую в O(n) и проходящую при t = 0 через E; обозначим через X вектор скоростиэтой кривой в точке E: X = Ȧ(0). Дифференцируя по t при t = 0 равенство A(t)T A(t) = Eи учитывая, что A(0) = E, получим для X соотношение X T + X = 0. Таким образом,естественно заключить, что множество кососимметричных матриц является касательнымпространством к многообразию O(n) в точке E.Рассмотрим теперь группу GL(n, R) — множество всех невырожденных n×n–матриц.Ясно, что эта группа — гладкое многообразие размерности n2 , поскольку она являетсяоткрытой областью в M(n, R) (докажите!).
Касательное пространство к GL(n, R) в точке E — это все пространство M(n, R). Рассмотрим отображение exp : M(n, R) → GL(n, R),сопоставляющее каждой матрице A ее экспоненту eA . Ясно, что это гладкое отображение,переводящее нулевую матрицу в единичную; подсчитаем дифференциал этого отображения в нуле. Из определения экспоненты:1eA = E + A + A2 + . . . ,2очевидно, что матрица Якоби этого отображения при A = 0 единичная (напомним, чтокоординатами в M(n, R) являются матричные элементы) — все слагаемые, кроме второго,после дифференцирования и подстановки A = 0 исчезают. Итак, дифференциал отображения exp невырожден в нуле; по теореме об обратном отображении, отсюда следует,что существует окрестность U нуля в пространстве M(n, R), диффеоморфно отображающаяся на окрестность V единичной матрицы. Обратное отображение определено в этойпоследней окрестности и называется логарифмом Ln.Теперь мы можем применить отображение exp к кососимметричным матрицам.
Обозначим пространство таких матриц через so(n).Утверждение 1. Отображение exp задает гомеоморфизм окрестности U1 = U ∩ so(n)нуля в пространстве кососимметричных матриц на окрестность V1 = V ∩O(n) единицыв множестве O(n) ортогональных матриц.105Доказательство. Поскольку отображение exp задает гомеоморфизм областей U и V , достаточно проверить, что, если A = exp(X), X ∈ U, A ∈ V , то матрица A ортогональнатогда и только тогда, когда матрица X кососимметрична. Действительно, ортогональностьматрицы A означает, что A = (AT )−1 , т.е.:TeX = e−X ,откуда после применения отображения Ln, получаем, что X = −X T . Обратно, если матрица X кососимметрична, то:T(eX )T eX = eX eX = e−X eX = E,т.е. матрица A ортогональна.Итак, мы построили (координатный) гомеоморфизм ϕE окрестности единицы U1 вмножестве O(n) на окрестность нуля V1 в линейном пространстве so(n), т.е.
одну картуна O(n). Чтобы построить остальные карты, рассмотрим произвольную точку A0 ∈ O(n);отображение левого сдвига LA0 : A 7→ A0 A задает гомеоморфизм окрестности U1 наокрестность точки A0 . Комбинируя его с построенным координатным гомеоморфизмом ϕE ,получаем карту, содержащую точку A0 . Гладкость функций перехода немедленно следуетиз того, что отображения экспоненты, логарифма и левого сдвига — гладкие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
