А.И. Шафаревич - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117961), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Тем самым,доказано, что ортогональная группа является гладким многообразием.Задача 2. Доказать, что TE O(n) = so(n).Аналогичным образом строится атлас карт на других матричных группах: в окрестности единицы карта доставляется отображением exp, а в остальные точки переноситсялевым сдвигом.Задача 3. Доказать, что группы U(n), SU(n), SL(n, R), SL(n, C), O(p, q) унитарных матриц, унитарных матриц с определителем единица, вещественных и комплексных матриц сопределителем единица и псевдоортогональные матрицы типа p, q соответственно являются гладкими многообразиями (псевдоортогональные матрицы — это матрицы преобразований, сохраняющих индефинитное псевдоскалярное произведение сигнатуры p, q). Найтикасательные пространства к этим многообразиям в единице.Приведенные примеры показывают, что на структуру многообразия (в частности,конструкцию атласа карт) существенно влияет наличие группового закона (он наиболееявно проявляется при использовании левого сдвига); естественно поэтому рассмотретьпроизвольные многообразия, на которых задан закон умножения.Определение 2.

Гладкое многообразие M называется группой Ли, если на M задана операция умножения, превращающая это множество в группу, причем отображения умноженияM × M → M : (g1 , g2) 7→ g1 g2 и взятия обратного элемента M → M : g 7→ g −1 — гладкие.Вернемся к рассмотрению группы O(n) ортогональных матриц.

Заметим, что касательное пространство в единице к этой группе Ли обладает следующим свойством:оно замкнуто относительно операции коммутирования матриц; другими словами, еслиX, Y ∈ so(n), то коммутатор [X, Y ] = XY − Y X ∈ so(n) (докажите!). Это обстоятельство не случайно: касательное пространство к любой группе Ли оказывается снабженныманалогичной операцией.Определение 3. Линейное пространство L называется алгеброй Ли, если в нем заданабилинейная операция [· , ·] : L × L → L, X, Y 7→ [X, Y ], называемая коммутатором иудовлетворяющая двум условиям:1061.

Косая симметрия: [X, Y ] = −[Y, X],2. Тождество Якоби: [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0.Теорема 3. Касательное пространство в единице к любой матричной группе Ли имеетестественную структуру алгебры Ли.Доказательство. Достаточно доказать, что такое пространство (будучи подпространствомв пространстве M(n, R)) замкнуто относительно обычного коммутирования матриц: косаясимметрия и тождество Якоби при этом выполнены автоматически, т.к.

они имеют местодля коммутаторов любых матриц.Отметим, прежде всего, что, если X — касательный вектор в единице к группе G, тодля любой матрицы A ∈ G матрица A−1 XA будет касательным вектором к G в точке E.Действительно, т.к. X — касательный вектор, то существует кривая B(t), B(0) = E, длякоторой X является вектором скорости, т.е. X = Ḃ(0). Зафиксировав матрицу A ∈ G,рассмотрим кривую A−1 B(t)A; она лежит в G, проходит при t = 0 через единицу, и еевектор скорости в этой точке равен A−1 XA.Пусть теперь X, Y — касательные векторы в единице к группе G. Рассмотрим кривую A(t), где:A(t) = e−tY X etY .По только что доказанному, эта кривая лежит в касательном пространстве TE G, поэтому ее вектор скорости тоже лежит в этом пространстве; с другой стороны, этот векторскорости Ȧ(0) = [X, Y ].Обсудим теперь (на примере той же ортогональной группы) вопросы о компактностии связности матричных групп Ли.Теорема 4. Ортогональная группа O(n) компактна и несвязна.

Она состоит из двухсвязных подмножеств — ортогональных преобразований с определителем 1 (группа SO(n))и ортогональных преобразований с определителем −1.Доказательство. Компактность следует из замкнутости и ограниченности. Замкнутостьочевидна (поскольку эта группа задается как совместная поверхность уровня гладкихфункций, т.е. является прообразом замкнутого множества — точки — при гладком отображении из M(n, R) в R n(n+1)/ 2 ). Ограниченность также очевидна.

Действительно, столбцы ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему векторов, в частности,сумма квадратовP 2 элементов каждого столбца равна единице. Суммируя по всем столбцам√получаемaij = n; таким образом, ортогональная группа лежит на сфере радиуса n вi, jпространстве M(n, R).Для доказательства того, что группа O(n) несвязна, рассмотрим множества A и Bортогональных преобразований с определителем +1 и −1 соответственно. Легко видеть,что эти подмножества в группе O(n) являются открытыми, непустыми и непересекающимися.

Действительно, они лежат в непересекающихся открытых областях GL+ (n, R) ={A | det A > 0} и GL− (n, R) = {A | det A < 0}.Таким образом, группа O(n) несвязна. Нам осталось доказать, что множества A = SO(n)и B связны.Достаточно показать связность SO(n), поскольку множества A и B диффеоморфны(докажите!). Покажем, что любой ортогональный линейный оператор A с определителем +1 можно связать непрерывным путем с единичным оператором.

Хорошо известно,107что для оператора A существует ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора приобретает следующий блочный вид:cos φ1 sin φ1 − sin φ1 cos φ1cosφsinφ22A=− sin φ2 cos φ2...1 1По диагонали этой матрицы стоят либо блоки, либо единицы (минус единиц четное число,поскольку det A = 1, и мы объединяем их попарно в блоки с φ = π).Рассмотрим непрерывную кривую в пространстве матриц вида:cos φ1 t sin φ1 t − sin φ1 t cos φ1 tcos φ2 t sin φ2 tA(t) = −sinφtcosφt22...1 1Легко видеть, что A(t) ∈ SO(n) при любом t, A(0) = E и A(1) = A. Таким образом,мы построили непрерывную кривую, целиком лежащую в группе SO(n) и соединяющуюоператор A с единичным оператором.

Итак, SO(n) линейно связна и, следовательно, связна. Теорема доказана.Замечание 2. Кривую, соединяющую произвольный ортогональный оператор с определителем +1 с единичным, можно представлять себе следующим образом. Зафиксируем в Rn ортонормированный базис; тогда каждый ортогональный оператор переводитэтот базис в другой ортонормированный базис, причем, если определитель оператораравен единице, эти базисы одинаково ориентированы. Рассмотрим теперь этот второй базис и переведем его в первый непрерывным движением.

Для этого рассмотримпару векторов базисов с одинаковыми номерами; если они не параллельны, их можносовместить, непрерывно поворачивая второй вектор в натянутой на них двумернойплоскости. Проделав такую операцию, мы получим два базиса, все соответствующиевекторы в которых параллельны. Если все такие векторы совпадают, то базисы совпали. В противном случае некоторые из пар соответствующих векторов отличаютсязнаком, причем таких различающихся пар обязательно четное число (т.к.

базисы одинаково ориентированы). Рассмотрим двумерную плоскость, натянутую на две такие парыпараллельных, на направленных в разную сторону векторов. В этой плоскости мы получим два ортонормированных базиса, которые можно совместить поворотом на 180o .Повторяя эту процедуру, мы в конце концов совместим исходные базисы непрерывнымдвижением, причем в процессе движения базис все время остается ортонормированным. Поскольку каждый ортонормированный базис однозначно определяет ортогональный оператор (переводящий фиксированный изначально базис в рассматриваемый), мытем самым получим непрерывную кривую в SO(n), соединяющую произвольный операторс тождественным.

108Задачи.1. Доказать, что группы SL(n, R), GL(n, C), U(n), SU(n) связны, а группы GL(n, R),O(p, q) несвязны. Найдите число компонент связности группы O(1, 1) и опишите явноматрицы из этой группы.2. Доказать, что группы SU(n) и U(n) компактны, а группы SL(n, R), GL(n, R), O(p, q)некомпактны.3. Рассмотрим отображение f : S 2 → RP 2 , сопоставляющее каждой точке сферы втрехмерном пространстве прямую, проходящую через эту точку и начало координат.Доказать, что f — гладкое отображение и все точки S 2 регулярны для f .4.

Рассмотрим отображение f : SO(n) → S n−1 , сопоставляющее каждой матрице еепервый столбец. Доказать, что f — гладкое отображение и все точки SO(n) регулярны для f .5. Рассмотрим отображение f : SU(n) → S 2n−1 , сопоставляющее каждой матрице еепервый столбец. Доказать, что f — гладкое отображение и все точки SU(n) регулярны для f .109ВОПРОСЫпо курсу "Классическая дифференциальная геометрия"весенний семестр, 2000г.Лектор А.И.

Шафаревич1. Плоские кривые. Касательная и нормаль. Соприкасающаяся окружность. Кривизнаи вектор главной нормали. Плоские формулы Френе.2. Пространственные кривые. Бирегулярные кривые. Соприкасающаяся окружность ирепер Френе. Формулы Френе в пространстве. Кривизна и кручение пространственной кривой.3. Вычислительные формулы для кривизны и кручения кривой.4. Теорема о восстановлении кривой по кривизне и кручению.5. Поверхности в евклидовом пространстве. Касательная плоскость к поверхности.

Канонический базис в касательной плоскости.6. Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление длин кривых на поверхностии углов между кривыми. Закон преобразования коэффициентов первой квадратичной формы.7. Векторные поля на поверхностях. Ковариантное дифференцирование векторных полей и его свойства.8. Вычислительные формулы для символов Кристоффеля.9. Параллельный перенос касательных векторов и его свойства.10. Геодезические на поверхностях и их свойства.11. Вторая квадратичная форма гиперповерхности.

Теорема Менье. Кривизны кривых,лежащих на поверхности.12. Главные направления и главные кривизны гиперповерхности. Формула Эйлера.13. Гауссова и средняя кривизны гиперповерхности. Вторая квадратичная форма и отклонение точки поверхности от касательного пространства.14. Деривационные формулы Гаусса–Вейнгартена. Теорема о восстановлении гиперповерхности по паре квадратичных форм.15. Формулы Гаусса и Кодацци.

Характеристики

Список файлов лекций