В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 7
Текст из файла (страница 7)
По докаRзанному ранее (лемма 3.2), существует δ > 0, такое что fn dµ < 2ε при условиях A0 ∈ A и µ(A0 ) < δ сразу дляA0всех n. Пусть теперь A ∈ Aµ — произвольное множество с µ(A) < ε. Из предложения 2.14 следует, что существуетA0 ∈ A , такоеRчто A0 ⊂ A и µ(Aдля любой функции h ∈ L 1 (µ) имеемR множествоRR 0 ) = µ(A). ТогдаR ясно, чтоεh dµ = h dµ. Поскольку |f | dµ = lim fn dµ, получаем |f | dµ 6 2 < ε, что и требовалось доказать.
A0An→∞ AAAТеорема 3.5 (неравенствоЧебышёва). Пусть функция f µ-интегрируема. Тогда для любого R > 0R|f | dµимеем µ({x : |f (x)| > R}) 6 X R .RRRRR Пусть G = {x : |f (x)| > R}, L = {x : |f (x)| < R}. Тогда |f | dµ = |f | dµ + |f | dµ > |f | dµ > dµ =XGLGR= R · µ(G), что и требовалось доказать. 3.2.2. Критерий интегрируемостиТеорема 3.6 (критерий интегрируемости). Пусть f — µ-измеримая функция. Тогда f ∈ L 1 (µ) ⇔⇔+∞Pµ({x : |f (x)| > n}) — сходящийся ряд.n=1 Рассмотрим функцию g(x), равную n на множестве {x : n 6 |f (x)| < n + 1} при любом n > 0.
Этафункция имеет счётное множество значений. Кроме того, имеем g 6 |f (x)| < g + 1. Поэтому функцииg иR|f (x)| одновременно интегрируемы или неинтегрируемы по признаку сравнения (следствие 3.2). Но g dµ =∞∞PPn · µ({x : n 6 |f (x)| 6 n + 1}) — сходящийся ряд. Но=n · µ({x : n 6 |f (x)| 6 n + 1}). Значит, f ∈ L 1 (µ) ⇔n=1n=0µ({x : |f (x)| > n}) =∞Pµ({x : k 6 |f (x)| < k + 1}), поэтому+∞Pµ({x : |f (x)| > n}) =n=1k=n< n + 1}), откуда всё и следует. ∞Pn · µ({x : n 6 |f (x)| <n=1Следствие 3.3.
Пусть f, g — µ-измеримые функции, g ∈ L 1 (µ) и |f | 6 g п.в. Тогда f ∈ L 1 (µ).+∞P По критерию интегрируемости рядµ({x : g(x) > n}) сходится. Осталось заметить, что {x : |f (x)| >n=1> n} ⊂ {x : g(x) > n} при любом n ∈ N, и воспользоваться критерием интегрируемости для f . Пример 3.1. Функция f (x) = ln x на отрезке [0, 1] интегрируема по Лебегу.
Действительно, {x : | ln x| > n} =∞P= (0, e−n ], а рядe−n сходится.n=13.2.3. Предельный переход в интегралеТеорема 3.7 (Лебег). Пусть последовательность {fn } µ-измеримых функций почти всюду сходится кфункции f . Пусть Rтакже существуетµ-интегрируемаяфункция Φ, такая что |fn | 6 Φ п.в. при любом n.RRТогда f ∈ L 1 (µ) и f dµ = lim fn dµ. Кроме того, |f − fn | dµ → 0.n→∞ Изµ-интегрируемой по следствию 3.3. ПоR условия |fR| 6 Φ п.в., поэтому функция f являетсяR имеемRскольку f dµ − fn dµ 6 |f − fn | dµ, осталось доказать, что |f − fn | dµ → 0 при n → ∞. Заметим, что|f − fn | 6 2Φ п.в.
Пусть ε >R 0 — произвольное число. В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебегасуществует δ > 0, такое что Φ dµ < 4ε для любого множества A ∈ Aµ с µ(A) < δ. По теореме Егорова сущеAствует множество Xδ , такое что µ(X\Xδ ) < δ и |f − fn | ⇒ 0 на Xδ . Поэтому существуетN ∈ N, Rтакое что дляRεлюбого n > N выполнено неравенство |f − fn | 6 2(µ(X)+1)на множестве Xδ .
Тогда |f − fn | dµ = |f − fn | dµ +XXδRRε+|f − fn | dµ 6 2(µ(X)+1)µ(X) +2Φ dµ < 2ε + 2ε = ε, откуда следует требуемое. X\XδX\XδПример 3.2. Пусть fn = n на [0, n1 ] и fn = 0 вне [0, n1 ]. Тогда fn → 0 п.в., ноRfn dµ = 1 6= 0, поскольку у[0,1]функций fn нет общей мажоранты.Эту теорему называют также теоремой о мажорируемой сходимости.Теорема 3.8 (Беппо Леви, о монотонной сходимости). Пусть функцииfn µ-интегрируемы, причёмRпоследовательность {fn (x)} монотонна для почти всех x ∈ X. Пусть sup fn dµ < ∞.
Тогда функция f :=n XRR= lim fn почти всюду конечна, µ-интегрируема и f dµ = lim fn dµ.n→∞n→∞17 Без ограниченияR общности можно считать, что последовательность {fn (x)} монотонна при всех x ∈ X.Последовательность { fn dµ} возрастает и ограниченна, поэтому она фундаментальна.R Значит, последовательRность{f}фундаментальнавсреднем,таккакприn>kимеемf>f,откуда|fn − fk | dµ = fn dµ −nnkR− fk dµ → 0 при n, k → ∞. Из неравенстваR Чебышёва следует, что последовательность {fn } фундаментальнапо мере: µ({x : |fn (x) − fk (x)| > c}) 6 1c |fn − fk | dµ → 0 при n, k → ∞ при любом c > 0. По теореме РиссаX(теорема 2.16, I) последовательность {fn } содержит подпоследовательность, сходящуюся п.в.
к конечной измеримой функции. Но тогда к этой функции сходится п.в. вся последовательность {fn } в силу её монотонностип.в.Покажем, что f ∈ L 1 (µ). В самом деле, применим критерий интегрируемости(теорема 3.6). Перейдя кRфункциям вида fn − f1 , можно считать, что fn > 0 при любом n ∈ N.
Пусть fn dµ 6 C для любого n ∈ N. ПриNNPPлюбом фиксированном N имеемµ({x : f (x) > n}) = limµ({x : fk (x) > n}), так как {x : fk (x) > n} ⊂ {x :fk+1 (x) > n} при любом k и∞Sk→∞ n=1n=1{x : fk (x) > n} = {x : f (x) > n}, т.е. µ({x : f (x) > n}) = lim µ({x : fk (x) > n}).k→∞k=1Далее,NPµ({x : fk (x) > n}) 6n=1NP∞Pµ({x : fk (x) > n}) =n=1∞Pn · µ({x : n 6 fk (x) < n + 1}) 6n=1µ({x : f (x) > n}) 6 C при любом N , поэтому сходится рядn=1∞Pµ({x : f (x) > n}), а потому f ∈ L 1 (µ). Теперьn=1Rfn dµ →R∞PRfk dµ 6 C.
Поэтомуµ({x : f (x) > n}), поэтому сходится и рядn=1f dµ по теореме Лебега. Теорема 3.9 (Фату). Пусть {fn } — последовательность µ-интегрируемых функций и fn > 0. ПредполоRRRп.в.жим, что fn −−→ f и sup fn dµ < ∞. Тогда f ∈ L 1 (µ) и f dµ 6 sup fn dµ.nSnВведём функции gn (x) = inf fk (x). Тогда все они µ-измеримы по теореме 2.4, ибо {x : gn (x) < c} =k>n{x : fk (x) < c} ∈ Aµ при любом c ∈ R. При этом 0 6 gn 6 fn и gn 6 gn+1 .
По теореме Б. Леви почти всюдуk>nRRRсуществует функция g = lim gn и она является µ-интегрируемой, причём g dµ 6 sup fn dµ, ибо gn dµ 6n→∞nR6 fn dµ. Осталось заметить, что g(x) = f (x) почти всюду. =3.2.4. Связь интегралов Лебега и РиманаЕсли функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то будем писать f ∈ R[a, b].RbRТеорема 3.10. Пусть f ∈ R[a, b], тогда f ∈ L 1 ([a, b]) и f dx = f dµ.aВведём обозначения (R)Rbaf dx и (L)Rf dµ для интегралов Римана и Лебега соответственно от функции[a,b]f по отрезку [a, b].Без ограничения общности будем считать, что [a, b] = [0, 1]. При любом n ∈ N разделим отрезок [0, 1] точками вида 2kn на 2n отрезков Jn,1 , .
. . , Jn,2n . Рассмотрим функции (они будут ступенчатыми) fn и gn , такие чтоfn (x) := inf f (y) при x ∈ Jn,k , gn (x) := sup f (y) при x ∈ Jn,k . Такое определение корректно, посколькуy∈Jn,ky∈Jn,k1Rлюбая интегрируемая по Риману функция ограниченна. Последовательностьfn dx возрастает и стремится0111RRRкf dx при n → ∞, аналогично последовательностьgn dx убывает и стремится кf dx .
При этом000fn 6 f 6 gn и fn 6 fn+1 , gn > gn+1 (при измельчении разбиения отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя сумма Дарбу не увеличивается). Положим f ∗ := lim fn , g ∗ := lim gn . Функции f ∗ и g ∗n→∞n→∞измеримы и ограниченны как поточечные пределы ступенчатых функций. По теореме Б. Леви функции f ∗ иR ∗RR1R ∗g ∗ являются µ-интегрируемыми, причём (L)f dµ = lim (L)fn dµ = lim (R) fn dµ и (L)g dµ =n→∞[0,1]RR1R[a,b]Rn→∞0[0,1]R1gn dµ = lim (R) gn dµ. Отсюда (L)f ∗ dµ = (L)g ∗ dµ = (R) f dx, поэтому f ∗ = g ∗ п.в.,n→∞00[0,1][0,1][0,1]RRтак как g ∗ −f ∗ > 0 и(g ∗ −f ∗ ) dµ = 0, а по неравенству Чебышёва µ({x : g ∗ (x)−f ∗ (x) > k1 }) 6 k(g ∗ −f ∗ ) dµ.= lim (L)n→∞[0,1][0,1]Отсюда f = f ∗ = g ∗ п.в.
Задача 3.1. Доказать, что f ∈ R[a, b] тогда и только тогда, когда f — ограниченная функция и множе18ство её точек разрыва имеет лебегову меру нуль.Замечание. Существуют несобственно интегрируемые по Риману функции, которые не интегрируемы поЛебегу. Пример: f (x) = x1 sin x1 на [0, 1].Теорема 3.11. Пусть функция f задана на интервале (a, b) и f ∈ R[a + ε, b − ε] при любом ε > 0. Тогдаe b) ⇔ f ∈ L 1 ([a, b]) (R(a,e b) — класс функций, интегрируемых на (a, b) по Риману в несобственном|f | ∈ R(a,bRRсмысле). При этом |f | dx =|f | dµ, где интеграл слева — несобственный интеграл Римана.a[a,b]e b), то существует предел limЕсли |f | ∈ R(a,n→∞= f (x) · χ[a+ n1 ,b− n1 ] интегрируемы по Лебегу и (R)1b−Rn|f | dx. По предыдущей теореме функции fn (x) :=1a+ n1b−Rnfn dx = (L)1a+ nRfn dµ при любом n ∈ N. Далее,11[a+ n,b− n]Rfn → f для любого x ∈ (a, b).
Поскольку sup |fn | dµ < ∞, по теореме Фату получаем f ∈ L 1 ([a, b]). Теперь поnтеореме Лебега имеемR[a,b]f dµ = limn→∞R[a,b]fn dµ = limn→∞1b−Rn1a+ n|f | dx =Rb|f | dx.aОбратно, пусть f ∈ L 1 ([a, b]). Тогда для тех же функций fn получаемR|fn | dµ 6[a,b]функция |f | несобственно интегрируема по Риману. R|f | dµ, поэтому[a,b]Задача 3.2.
Привести пример компакта K ⊂ [0, 1], такого что функция χK не может быть равна почтивсюду интегрируемой по Риману функции.3.3. Пространства L p3.3.1. Пространство L 1 (µ)Пусть опять (X, A , µ) — пространство с конечной неотрицательной мерой. Напомним, что L 1 (µ) — этопространство всех µ-интегрируемых функций на X.Замечание. Пространство L 1 (µ) не является линейным пространством, потому что мы допускаем функции, не определённые в некоторых точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
