В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда невозможно корректно определить, например, сумму двухфункций, не определённых в одной и той же точке. Поэтому обычно рассматривают факторпространствоL1 (µ) = L 1 (µ)/ ∼, где ∼ — отношение эквивалентности, f ∼ g ⇔ f = g п.в. Ясно, что пространство L1 (µ)является линейным пространством.RВ пространстве L1 (µ) определяется норма функции f по формуле kf kL1 (µ) = |f | dµ (иногда индекс L1 (µ)Xу нормы будем опускать, когда ясно, о какой норме идёт речь).
Очевидно, что норма корректно определена,поскольку от изменения значений функции на множестве нулевой меры результат не поменяется.Введённая норма действительно является нормой, поскольку для неё справедливы все свойства нормы:1) kf k > 0; причём kf k = 0 ⇔ f = 0 ∈ L1 (µ);2) kαf k = |α| · kf k при любом α ∈ R;3) kf + gk 6 kf k + kgk.Справедливость свойств 1)–3) очевидно следует из свойств интеграла Лебега.Таким образом, пространство L1 (µ) является нормированным линейным пространством.Теорема 3.12.
Пространство L1 (µ) полно, т.е. оно ещё и банахово пространство. Пространство полно тогда и только тогда, когда любая фундаментальная последовательность в нёмсходится. Пусть последовательность {fn } фундаментальна. Тогда она фундаментальна по мере: µ({x : |fn (x) −− fm (x)| > c}) →R 0 при n, m → ∞ для любого c > 0. Это ясно из неравенства Чебышёва: µ({x : |fn (x) −|fn − fm | dµ 1= c kfn − fm k. Поэтому существует подпоследовательность fnk , сходящаяся п.в.− fm (x)| > c}) 6cк функции f . Пусть задано произвольное ε > 0.
Тогда существует N , такое что для всех n, m > N выполненоп.в.|fn0 − fnk | −−→ |fn0 − f |. По теореме ФатуRнеравенство kfn − fm k < ε. При любом фиксированном n0 > N имеем|fn0 − f | dµ < ε. Тогда kf k 6 kfn0 − f k + kfn k < ∞, поэтому f ∈ L1 (µ) и kfn − f k → 0 при n → ∞. Задача 3.3. Доказать, что пространство функций, абсолютно интегрируемых на [0, 1] по Риману, непол-но.193.3.2. Неравенства Гёльдера и Минковскогоp.Теорема 3.13 (неравенство Гёльдера (Hölder)). Пусть p > 1 и q таково, что p1 + q1 = 1, т.е.
q = p−1pqПусть функции f, g µ-измеримы, причём функции |f | , |g| µ-интегрируемы. Тогда функция f g является µ1/pRR q 1/qинтегрируемой и kf gk 6 kf kp · kgkq (kf kp =|f |p dµ, kgkq =|g| dµ).qpДля любых неотрицательных чисел a, b справедливо неравенство ab 6 ap + bq (доказать в качестве|f ||g|1 |f |p1 |g|qзадачи!). Поэтому·6 ··(естественно, мы предполагаем, что нормы kf kp и kgkqp +kf kp kgkqp kf kpq kgkqqненулевые, иначе утверждение очевидно). Отсюда сразу следует интегрируемость функции f g.этоR Домножив1|f |p dµнеравенство на kf kp · kgkq и затем проинтегрировав по множеству X, получим kf gk 6 ·· kgkq +p kf kp−1pR q 1 1|g| dµ1+· kf kp · kgkq = kf kp · kgkq .
+ ··kfk=pq kgkq−1p qqТеорема 3.14 (неравенство Минковского). Пусть p > 1, а функции f, g µ-измеримы, причём |f |p , |g|p ∈∈ L 1 (µ). Тогда |f + g|p ∈ L 1 (µ) и kf + gkp 6 kf kp + kgkp , где обозначение k · kp означает то же самое, что ив неравенстве Гёльдера.p При p = 1 доказывать нечего. Пусть p > 1. Возьмём q = p−1. Заметим, что |f + g|p 6 2p (|f |p + |g|p ),ибо при любом x ∈ X справедливо неравенство |f (x) + g(x)| 6 2 max{|f (x)|, |g(x)|}. Отсюда |f + g|p ∈ L 1 (µ).p−1Далее, имеем |f + g|p 6 |f + g|p−1 · |f | + |f +· |g|.
Заметим, что|f + Rg|p−1 интегрируема вR g|R функцияp−1p1/qстепениq. Поэтому поГёльдера· ( |f |p )1/p , аналогичноRR неравенствуR p 1/p |f + g| R · |f | dµp 6 ( |fR + g| dµ)p−1p1/qp 1/q|f + g|· |g| dµ 6 ( |f + g| dµ) · ( |g| ) . Значит, |f + g| dµ 6 ( |f + g| ) · (kf kp + kgkp ).
ОсталосьRRp(1− 1 )p/qзаметить, что |f + g|p dµ = kf + gkpp , ( |f + g|p dµ)1/q = kf + gkp = kf + gkp p = kf + gkp−1и разделитьpнеравенство на kf + gkp−1.p3.3.3. Пространство L p (µ)По определению пространство L p (µ) — множество µ-измеримых функций, таких что |f |p ∈ L 1 (µ). Как ив L 1 -случае, вводим факторпространство Lp (µ) = L p (µ)/ ∼.
Из неравенства Минковскогоследует, что Lp (µ)R— линейное пространство. Теперь честно заведём Lp -норму: kf kp := kf kLp = ( |f |p dµ)1/p . Это действительнонорма, потому что все свойства 1)–3) (см. п. 3.3.1) для k · kp справедливы.Теорема 3.15. Пространство Lp (µ) полно. Рассуждения аналогичны рассуждениям при доказательстве теоремы 3.12.
Пусть последовательность{fn } ⊂ Lp (µ) фундаментальна по норме k · kp . Тогда она фундаментальна по мере, так как по неравенствуЧебышёва имеем µ({x : |fn (x) − fm (x)| > c}) = µ({x : |fn (x) − fm (x)|p > cp }) 6 c1p kfn − fm kpp → 0 при m, n → ∞.По теореме 2.16 последовательность {fn } содержит подпоследовательность fnk , сходящуюся п.в. к некоторойфункции f .
Пусть ε > 0 — произвольное число. Тогда существует N ∈ N, такое что kfn − fm kp < ε при любыхп.в.n, m > N . При любом фиксированном n0 > N имеем |fn0 − fnk |p −−→ |fn0 − f |p , откуда по теореме Фатуkfn0 − f kp 6 ε. Далее по неравенству Минковского имеем kf kp 6 kfn0 − f kp + kfn0 kp < ∞, поэтому f ∈ Lp (µ).Наконец, при любом n > N имеем kf − fn kp 6 kf − fn0 kp + kfn0 − fn kp < ε + ε = 2ε, откуда kf − fn kp → 0 приn → ∞. 3.3.4. Связь разных видов сходимости измеримых функцийЭта связь может быть проиллюстрирована следующей схемой:+3 сходимость Lp⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥✤ ✎ поточечная⑥⑥⑥⑥⑥⑥✴⑥⑥⑥⑥⑥❃⑥⑥⑥⑥⑥■⑥⑥⑥⑥z+3 по мере ksпочти всюдусходимостьL1i❯ ❩ ❴ ❞ ✐равномерная✉9Егоров(на множествепочти полноймеры)Рисс(подпоследовательность)Нуждается в пояснении только импликация «сходимость Lp ⇒ сходимость L1 ».
Она следует из неравенстваpГёльдера: kf k1 = kf · 1k1 6 kf kp · k1kq = (µ(X))1/q · kf kp , где q = p−1.L1µЗадача 3.4. Если fn −→ f и |fn | 6 Φ, где Φ — µ-интегрируемая функция, то fn −−→ f .20п.в.Задача 3.5 (теорема Витали–Фихтенгольца–Юнга (Young)). Пусть fn −−→ f .
Пусть функции fn иRRL1f µ-интегрируемы. Тогда fn −−→ f ⇔ |fn | dµ → |f | dµ.3.3.5. О пространстве L∞ (µ)Пусть L∞ (µ) — это множество классов эквивалентных функций, которые обладают ограниченной модификацией, т.е. любую такую функцию f можно переопределить почти нигде (= на множестве меры нуль) и получитьограниченную функцию. Норма вводится по формуле kf k∞ = kf kL∞ := inf sup |fe(x)|.Задача 3.6. Проверить, что это норма, и доказать полноту L∞ .Задача 3.7. Доказать, что f ∈ L∞ (µ) ⇔fe∼f x∈Xsup kf kp < ∞, т.е.
f ∈ Lp (µ) для любого p > 1; и привести16p<∞пример недостаточности только принадлежности функции f всем Lp без равномерной ограниченности kf kp .3.3.6. Пространство L2 (µ) и его свойстваRЭто пространство со скалярным произведением (f, g) = f g dµ.
Все свойства скалярного произведения очевидны. Полное евклидово пространство по определению называется гильбертовым пространством, поэтомупространство L2 (µ) гильбертово.Задача 3.8. Доказать, что в L2 (µ) выполняется неравенство Коши–Буняковского: |(f, g)| 6 kf k2 · kgk2 .Предложение 3.16. Пусть H — гильбертово пространство и L ⊂ H — замкнутое линейное подпространство в нём. Пусть a ∈/ L, тогда существует единственный элемент h ∈ L, такой что ka − hk2 == inf{kx − ak2 : x ∈ L}. Единственность. Пусть есть ещё один элемент eh ∈ L,eh 6= h, удовлетворяющий условию теоремы.Тогда рассмотрим (не более чем трёхмерное) подпространство a, h, eh .
В нём минимум расстояния от a доподпространства h, eh достигается в единственной точке, поэтому h = eh.Существование. Пусть d := inf{kx − ak2 : x ∈ L}. Тогда существует последовательностьэлементов xn ∈∈ L, такая что kxn − ak22 6 d2 + n1 . РассмотримпространствоS=S=a,x,xиортогональноспроn,knkектируем элемент a на плоскость xn , xk . Обозначим полученный элемент через p. Тогда, используя конечномерность пространства S, получаем цепочку неравенств d2 6 ka − pk22 6 ka − xn k2 6 d2 + n1 .
Аналогичноd2 6 ka − pk22 6 ka − xk k2 6 d2 + k1 . Тогда kxn − xk k2 6 kxn − pk2 + kxk − pk2 = (теорема Пифагора) =pp= ka − xn k22 − ka − pk22 + ka − xk k22 − ka − pk22 6 √1n + √1k . Следовательно, последовательность {xn } фундаментальна. Так как пространство H полно, а подпространство L замкнуто, то существует элемент h ∈ L, такойчто xn → h ∈ Lqпри n → ∞. Покажем, что h — искомый вектор. Действительно, имеем ka − hk2 6 ka − xn k2 ++ kxn − hk2 6 d2 + n1 + kxn − hk2 . Переходя к пределу при n → ∞, получим ka − hk2 6 d, т.е. ka − hk2 = d.В частности, утверждение теоремы верно и для L2 (µ).Следствие 3.4. Пусть H — гильбертово пространство, l — непрерывная линейная функция на H. Тогдасуществует единственный элемент v ∈ H, такой что l(x) = (x, v), и обратно:при любом v ∈ H линейнаяRфункция l(x) = (x, v) непрерывна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
