В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В частности, в случае L2 (µ) имеем l(f ) = f g dµ для некоторого фиксированного g ∈ L2 (µ). Если v ∈ H и l(x) = (x, v), то |l(x) − l(y)| = |(x − y, v)| 6 kx − yk · kvk по неравенству Коши–Буняковского,откуда следует непрерывность l.Обратно, пусть l — непрерывная функция на H. Если l ≡ 0, то можно взять v = 0. Пусть l 6≡ 0. Тогдаположим L = Ker l. Очевидно, что L — замкнутое подпространство.
Возьмём элемент a, такой что l(a) = 1a−h(такой элемент существует, ибо l 6≡ 0). Пусть h — проекция элемента a на пространство L. Пусть v = ka−hk2.11Рассмотрим линейную функцию l0 (x) = (x, v). Имеем l0 (v) = (v, v) = ka−hk2 . Кроме того, l(v) = ka−hk2 , так какl(h) = 0. Значит, l0 (v) = l(v). Если x ∈ L, то l(x) = 0 и l0 (x) = 0, причём последнее следует из того, что v ⊥ L.Отсюда получаем, что l ≡ l0 , ибо любой элемент x ∈ L представим в виде x = λv + z, где z ∈ L. Действительно,x = (x − l(x)(a − h)) + l(x)(a − h), причём l(x − l(x)(a − h)) = l(x) − l(x)l(a) = 0 и l(x)(a − h) ∈ hvi. 3.4.
Теорема Радона–НикодимаОпределение. Пусть µ, ν — неотрицательные меры на σ-алгебре A . Говорят, что мера ν абсолютно непрерывна относительно меры µ, если ν(A) = 0 для всякого множества A ∈ A , такого что µ(A) = 0.Обозначение. ν ≪ µ.21Определение. Говорят, что меры µ и ν взаимно сингулярны, если существуют множества X1 , X2 ∈ A , такиечто X1 ∩ X2 = ∅, X1 ∪ X2 = X, а µ(X2 ) = ν(X1 ) = 0.Обозначение. µ ⊥ ν.Это означает, что меры µ и ν сосредоточены на непересекающихся множествах.RПример 3.1. Пусть ρ — неотрицательная µ-интегрируемая функция.
Положим ν(A) = ρ(x) dµ. Тогда ν —Aмера на A и ν ≪ µ.Если множества Ai дизъюнктны и A =По теореме Лебега ν(A) =RχA ρ dµ = limR∞F∞Pn=1i=1NPN →∞ X n=1XAi , то χA =χAn . При этомχAn ρ dµ = lim ν(N →∞NFn=1An ) =∞PNPn=1χAn 6 1 при любом N ∈ N.ν(An ), что и требовалось.
n=1Пример 3.2. Пусть µ — мера Лебега на [0, 1], а ν — мера Дирака в нуле: ν(A) =(1, 0 ∈ A,Тогда µ ⊥ ν,0, 0 ∈/ A.можно взять X1 = (0, 1] и X2 = {0}.Теорема 3.17 (Радон–Никодим). Пусть ν, µ — неотрицательные меры наR σ-алгебре A и ν ≪ µ. Тогдасуществует такая неотрицательная µ-интегрируемая функция ρ, что ν(A) = ρ dµ для любого A ∈ A .AЗамечание. Функция ρ называется плотностью Радона–Никодима меры ν.dν.dµRРассмотрим пространство L2 (µ + ν). На нём есть линейная функция l(ϕ) = ϕ dν, где ϕ ∈ L2 (µ +Обозначение.
ρ =X+ ν). Эта функция определена корректно, поскольку если функция ϕ измерима относительно меры µ + ν, тоона измерима относительно ν, причём если ϕ = ϕe п.в. относительно µ + ν, тоe п.в. ϕ = ϕ относительно ν.RRЛинейность функции l очевидна. Покажем, что l непрерывна: |l(ϕ) − l(ψ)| = (ϕ − ψ) dν 6 |ϕ − ψ| dν 6XpR6 |ϕ − ψ| d(µ + ν) 6 (неравенство Коши–Буняковского) 6 kϕ − ψkL2 (µ+ν) · k1kL2 (µ+ν)= (µ + ν)(X) · kϕ −R− ψkL2 (µ+ν) . По следствию 3.4 существует функция g ∈ L2 (µ + ν), такая что l(ϕ) = ϕg d(µ + ν) для любойXRRRRфункции ϕ ∈ L2 (µ + ν). Получаем ϕ dν = ϕg dν + ϕg dµ для любой ϕ ∈ L2 (µ + ν). Отсюда ϕ(1 − g) dν =Rg= ϕg dµ.
Покажем, что в качестве ρ можно взять функцию ρ :=. Подставим в последнее равенство1−gфункцию ϕ = χ{x:g(x)=1} . Слева получим ноль, поэтому и справа ноль, откуда µ({x : g(x) = 1}) = 0, т.е. g 6= 1µ-почти всюду. Теперь подставив в то же равенство ϕ = χ{x:g(x)>1} , получим слева неположительное значение,а справа неотрицательное, поэтому оба этих значения — нули и µ({x : g(x) > 1}) = 0, т.е. g < 1 µ-почтивсюду. Теперь подставим в то же равенство ϕ = χ{x:g(x)<0} . Слева получим неотрицательное значение, справа —неположительное, откуда µ({x : g(x) < 0}) = 0, т.е.
g > 0 µ-почти всюду. Итак, функция ρ определена µ-почтивсюду, µ-измерима как отношение µ-измеримых функций и неотрицательна.RRχXnПусть Xn := {x : g(x) 6 1 − n1 }. Тогда возьмём функцию ϕn =. Имеем ϕn g dµ = ϕn (1 − g) dν =1−gRR= χXn dν 6 ν(X). По теореме Фату функция ρ является µ-интегрируемой и ρ dµ 6 ν(X).
Далее, χXn (x) → 1R XR1µ-почти всюду и потому χXn (x) → 1 ν-почти всюду. Поэтому ν(A) = lim χXn dν = lim χA · χXn · 1−g· (1 −n→∞ An→∞ XRRRg− g) dν = lim χA ·χXn · 1−gdµ = lim χXn ·ρ dµ = ρ dµ, где последнее равенство следует из теоремы Лебега,n→∞ Xn→∞ Aтак как функция ρ µ-интегрируема.
AЗамечание. Доказательство теоремы Радона–Никодима даёт большее: пусть µ, ν — неотрицательные мерына A , но теперь мы не требуем абсолютной непрерывности. Тогда существует функция ρ ∈ L1 (µ) и неотрицательная мера µ0 на A , такие что ν = ρ · µ + µ0 , причём µ0 ⊥ µ.Задача 3.9. Доказать это, используя аналогичные рассуждения, как и в доказательстве теоремы Радона–Никодима.Пример 3.3.
Пусть λ — мера Лебега на [0, 1], δ — мера Дирака в нуле. Тогда λ + δ = 1 · λ + δ.Замечание. В случае борелевских мер на R всякая мера ν может быть записана в виде ν = ρ · λ + ν0 , где λ —мера Лебега, ρ — λ-интегрируемая функция и ν0 ⊥ λ. Кроме того, мера ν0 имеет не более чем счётное множествоточек tn , для которых ν0 (tn ) > 0 (для каждого k количество точек меры больше 1/k конечно, так как мера всего22пространства конечна). Поэтому ν0 = νc +∞Pcn δtn , где δt — мера Дирака в точке t и νc ⊥ λ, причём мера νc неn=1имеет точек положительной меры. Это мера является чисто непрерывной сингулярной компонентой меры ν.3.5.
Теорема Фубини и смежные вопросы3.5.1. Произведение мерПусть (X, A , µ) и (Y, B, ν) — измеримые пространства с конечными неотрицательными мерами. При A ∈ Aи B ∈ B положим (µ × ν)(A × B) = µ(A)ν(B). Такие множества A × B называются измеримыми прямоугольниками. Они не образуют алгебру, но A ⊗ B — σ-алгебра, порождённая измеримыми прямоугольниками, —достойна нашего рассмотрения. Алгебра, порождённая измеримыми прямоугольниками, состоит из дизъюнктNFных конечных объединенийAn × Bn , где An ∈ A , Bn ∈ B. На такие множества мера µ × ν естественноn=1продолжается: (µ × ν)[NFAn × Bn ] =n=1NPµ(An )ν(Bn ).
Докажем счётную аддитивность этой меры.n=1Теорема 3.18. Мера µ × ν счётно-аддитивна на алгебре, порождённой измеримыми прямоугольниками.∞F Пусть сначала C =Cn , где C = A × B и Ci = Ai × Bi ; A, Ai ∈ A , B, Bi ∈ B. Введём функцииn=1(∞Pν(Bn ), x ∈ An ,fn : X → R следующим образом: fn (x) =Ясно (проверьте!), чтоfn = ν(B) на множестве0,x∈/ An .n=1∞ RRRPA. По теореме Б. Левиfn dµ = ν(B) dµ = µ(A)ν(B). Но fn dµ = ν(Bn )µ(An ) = (µ × ν)(Cn ), и тем самымn=1 AAAв частном случае счётная аддитивность доказана.MN∞FnFFDn,i , n = 1, 2, . .
.,Пусть теперь C =Cj , где Cj — измеримые прямоугольники, и C =Dn , где Dn =n=1j=1i=1и Dn,i — измеримые прямоугольники. Пусть Dn,i,j = Dn,i ∩ Cj . Тогда множества Dn,i,j дизъюнктны и Cj =NN∞ M∞ MPnPFnFPFµ(Dn,i,j ), µ(Dn,i ) =µ(Dn,i,j ) иDn,i,j , Dn,i =Dn,i,j . По уже доказанному имеем µ(Cj ) ==n=1 i=1NPµ(C) =j=1n=1 i=1j=1µ(Cj ), µ(Dn ) =MPnj=1∞Pµ(Dn,i ). Ввиду абсолютной сходимости всех рядов получаем µ(C) =µ(Dn ). n=1i=1σ-Алгебра, порождённая прямоугольниками, обозначается через A ⊗ B. По доказанному (теорема 2.12) мераµ ⊗ ν с алгебры, порождённой измеримыми прямоугольниками, продолжается до счётно-аддитивной меры наA ⊗ B. Далее, эту меру можно продлить на лебегово пополнение L (A ⊗ B) := Lµ×ν .Пополненная счётно-аддитивная мера на лебеговом пополнении L (A ⊗ B) обозначается через µ ⊗ ν и называется произведением мер µ и ν.Определение.
Мера µ на σ-алгебре E называется полной, если для любого множества E ∈ E с условиемµ(E) = 0 и любого подмножества D ⊂ E имеем D ∈ E (и тогда µ(D) = 0).По построению µ ⊗ ν — полная мера, даже если меры µ и/или ν не были полными.Замечание. При построении счётно-аддитивной меры, продолженной с алгебры на σ-алгебру всех измеримых множеств, получается полная мера.На A ⊗ B мера µ ⊗ ν не обязана быть полной.Пример 3.1. Пусть µ = ν = λ — мера Лебега на σ-алгебре A = B = L всех измеримых по Лебегу множествна отрезке [0, 1].
Тогда σ-алгебра L ⊗ L меньше, чем σ-алгебра L2 всех измеримых множеств в [0, 1]2 .Лемма 3.19. Пусть (X, A ) и (Y, B) — измеримые пространства. Тогда для любого множества E ∈ A ⊗Bи любого y ∈ Y имеем Ey ∈ A , где Ey := {x ∈ X : (x, y) ∈ E}.Замечание. Множества Ey и аналогичные им множества Ex := {y ∈ Y : (x, y) ∈ E} называются сечениямимножества E. Если E = A × B, где A ∈ A , B ∈ B, то это очевидно. Обозначим через E класс всех множествE ∈ A ⊗ B, для которых это верно. Утверждается, что E — σ-алгебра. Действительно, (X × Y )\E ∈ E, ибо∞∞∞SSS((X × Y )\E)y = X\Ey .
Далее, если En ∈ E, тоEn ∈ E, потому что (En )y =(En )y . Так как E содержитn=1n=1σ-алгебру, порождённую измеримыми прямоугольниками, то E = A ⊗ B. n=1Следствие 3.5. Если N — неизмеримое по Борелю подмножество на отрезке [0, 1], то оно будет неизмеримо по Борелю и в квадрате [0, 1]2 . При этом множество N измеримо по Лебегу в квадрате и имеет мерунуль.233.5.2. Замечание о бесконечных мерах+Можно рассматривать счётно-аддитивные меры µ : A → R . В этом случае счётная аддитивность опреде∞∞FPляется так же, как и для пространств с конечными мерами: µ((An )) =µ(An ) ∈ R. Но в этом случае естьn=1n=1одно нововведение: обязательным требованием является µ(∅) = 0 (в пространствах с конечными мерами этовыполняется автоматически).Пример 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
