В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций подействительному анализуЛектор — Владимир Игоревич БогачёвII курс, 4 семестр, отделение математикиМосква 2008От наборщикаЭтот документ представляет собой записки лекций, читавшихся весной 2004-го года, и основывается наконспекте (отсканированные лекции в формате djvu), доступном на сайте http://dmvn.mexmat.net с 2005-гогода. По сравнению с упомянутым конспектом в данном варианте исправлены неточности и дописаны некоторыедоказательства.Весь текст прочитан и одобрен лектором.О замечаниях, предложениях, а также найденных неточностях или опечатках можете писать на адресsuselr@yandex.ru.Данный документ набран с использованием стилевого пакета dmvn.Роман АвдеевОт (в)редакцииБыли внесены косметические правки в исходные тексты.
Сообщения об ошибках и опечатках мы с радостьюпередадим автору для исправления! В заключение добавим, что djvu-версия скорее всего будет убрана с сайтав пользу этой, более качественной версии.Последняя компиляция: 4 мая 2012 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1Оглавление1.2.3.Введение3Основные понятия теории меры2.1. Алгебры и σ-алгебры множеств . . . .
. . . . . . . . . . . . .2.1.1. Борелевская σ-алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Измеримые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Меры и их продолжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Меры . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Компактные классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3. Эквивалентные условия счётной аддитивности меры2.4. Внешняя мера и продолжение мер . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Внешняя мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .2.4.2. Основная теорема о продолжении меры . . . . . . . .2.4.3. Применения основной теоремы . . . . . . . . . . . . .2.4.4. Свойства меры Лебега в Rn . . . . . . . . . . . . . . .2.4.5. Описание измеримых множеств . . . . . . . . . . . . .2.5. Измеримые функции на пространствах с мерами . . . . . . .2.5.1. Сходимость по мере . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .2.5.2. Теорема Рисса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.3. Теорема Егорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.4. Теорема Лузина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.5. Связь µ-измеримых функций с A -измеримыми . . .....................................................................................................................................................................................................................................3344556777891011111112121313Интеграл Лебега3.1. Определение Интеграла Лебега . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Простые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Свойства интеграла на простых функциях . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.3. Общее определение интеграла Лебега . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .3.2. Свойства интеграла Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега и неравенство Чебышёва3.2.2. Критерий интегрируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.3.2.3. Предельный переход в интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4. Связь интегралов Лебега и Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Пространства L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .3.3.1. Пространство L 1 (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2. Неравенства Гёльдера и Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.3. Пространство L p (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .3.3.4. Связь разных видов сходимости измеримых функций . . . . . . . . . . .3.3.5. О пространстве L∞ (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.6. Пространство L2 (µ) и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Теорема Радона–Никодима . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Теорема Фубини и смежные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.1. Произведение мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.2. Замечание о бесконечных мерах . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .3.5.3. Теорема Фубини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. О замене переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7. Свёртки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .3.8. Связь интеграла и производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8.1. Функции ограниченной вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8.2. Абсолютно непрерывные функции и формула Ньютона–Лейбница . .
.3.8.3. Несколько заключительных замечаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................141414141516161717181919202020212121232324242526262627282..............................................................................................................................................................................................1.
ВведениеСия теория создана А. Лебегом. Суть: новая теория меры и интеграла, призванная расширить как классизмеримых множеств, так и класс интегрируемых функций.Исходными объектами теории меры являются элементарные множества: на прямой R1 это конечные объединения промежутков вида [α, β], (α, β), (α, β], [α, β); на плоскости R2 и в Rn — произведения таковых. Наэлементарных множествах естественным образом задаётся мера: в R1 это длина промежутка, в R2 и в Rn —соответственно площадь и n-мерный объём. Далее нужно продолжить меру на более широкий класс множествтак, чтобы выполнялось свойство аддитивности меры: если A ∩ B = ∅, то мера множества A ∪ B равняетсясумме мер множеств A и B.
Значительных результатов в этом направлении достиг Жордан.Определение. Фигура E измерима по Жордану, если для любого ε > 0 существуют элементарные множества A, B, такие что A ⊂ E ⊂ B и λ(B\A) < ε. Здесь λ — мера.У этого определения есть один недостаток: класс измеримых по Жордану множеств не замкнут относительно счётного объединения. В частности, множество Q ∩ [0, 1] неизмеримо по Жордану. Поэтому потребовалосьуточнить понятие измеримости множества, и это было сделано Лебегом.
Для каждого множества E ⊂ [0, 1]n∞∞PSопределяется его внешняя мера: λ∗ (E) = inf{λ(Ek ) : Ek — элементарные и E ⊂Ek }. Эта функция неk=1k=1является мерой на классе всех подмножеств куба [0, 1]n , так как она, вообще говоря, неаддитивна. Тогда сужаякласс рассматриваемых множеств (с внешней мерой), мы приходим к понятию измеримости по Лебегу.Определение. Множество E измеримо по Лебегу, если для любого ε > 0 найдётся элементарное множествоEε , такое что λ∗ (E△Eε ) < ε, где E△Eε = (E ∪ Eε )\(E ∩ Eε ).Класс измеримых по Лебегу множеств значительно шире класса множеств, измеримых по Жордану, и замкнут относительно счётного объединения.Используя созданную им теорию меры, Лебег придумал совершенно новую конструкцию интеграла, отличную от конструкции Римана. Оказывается, что все интегрируемые по Риману функции интегрируемы и поЛебегу, но при этом класс интегрируемых по Лебегу функций намного шире.Но это было введение.
Теперь мы приступаем к систематическому изложению теории, содержащей анонсированные и многие другие результаты.2. Основные понятия теории меры2.1. Алгебры и σ-алгебры множествОпределение. Пусть X — основное пространство. Класс A подмножеств множества X называется алгеброй,если ∅, X ∈ A и A замкнуто относительно конечных теоретико-множественных операций. Алгебра называетсяσ-алгеброй, если допускаются счётные операции.Замечание.
В этом определении можно требовать замкнутости класса A относительно некоторых операций, через которые можно выразить все остальные. Например, в определении σ-алгебрыTдостаточноS требовать замкнутости относительно разности и счётных объединений. В самом деле, имеем X\( An ) = (X\An ),nnSTX\( An ) = (X\An ).nnПримеры:1◦ . A = {∅, X} — тривиальная σ-алгебра.2◦ .
A = 2X — дискретная σ-алгебра (алгебра всех подмножеств множества X).3◦ . Элементарные множества на отрезке [0, 1] образуют алгебру, но не σ-алгебру.4◦ . A = {Af⊂ N : либо Afконечно, либо N\Afконечно} — тоже алгебра, но не σ-алгебра.5◦ . A = {E ⊂ X : либо |E| 6 ℵ0 ; либо |(X\E)| 6 ℵ0 } является σ-алгеброй (ℵ0 — мощность множества∞Sнатуральных чисел). Докажем это. Если E ∈ A , то X\E ∈ A по определению. А если En ∈ A , тоEn ∈ A .В самом деле, если для всех En выполнено неравенство |En | 6 ℵ0 , то |имеем |X\En | 6 ℵ0 , то получаем |X\∞S∞Sn=1En | 6 ℵ0 ; а если для одного из Enn=1En | 6 ℵ0 .n=1Теорема 2.1. Если F — семейство подмножеств множества X, то существует наименьшая σ-алгебра,содержащая F .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
