В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Она обозначается через σ(F ).T Положим σ(F ) =E, где пересечение берётся по всем σ-алгебрам E, содержащим F . Покажем, чтоF ⊂Eмножество σ(F ) является σ-алгеброй. Если A ∈ σ(F ), то для любой σ-алгебры E, содержащей семейство F ,3имеем A ∈ E, поэтому X\A ∈ E и, значит, X\A ∈ σ(F ). Аналогично показываем, что из A1 , A2 , . . . ∈ σ(F )∞∞STследуетAn ∈ σ(F ) иAn ∈ σ(F ). n=1n=12.1.1. Борелевская σ-алгебраОпределение.
Борелевской σ-алгеброй пространства Rn (или его подмножества) называется σ-алгебра,порождённая всеми открытыми множествами.Замечание. Поскольку дополнение к открытому множеству замкнуто, можно считать, что борелевскаяσ-алгебра порождена всеми замкнутыми множествами.Обозначение для борелевской σ-алгебры: B(Rn ) или B(X), где X ⊂ Rn .Утверждение 2.2. Всякое открытое в Rn множество есть не более чем счётное объединение открытыхшаров в Rn с рациональными центрами и рациональными радиусами. Любое открытое множество на прямой— это конечное или счётное объединение попарно непересекающихся (дизъюнктных) интервалов и лучей. Пусть U ⊂ Rn — открытое множество. Для каждой рациональной точки p ∈ U берём все открытыешары V (p, r) рационального радиуса r, такие что V (p, r) ⊂ U . Множество всех таких шаров счётно.
Осталосьпоказать, что объединение этих шаров есть всё U . Если точка x ∈ U рациональна, то доказывать нечего. Еслиже x не является рациональной, то рассмотрим шар B ⊂ U с центром в точке x. Поскольку сколь угодно близкок точке x имеются рациональные точки, существует шар с центром в рациональной точке и рациональнымрадиусом, содержащий x и содержащийся в B.Для одномерного случая из приведённого выше рассуждения следует, что любая связная компонента множества U — либо луч, либо интервал, либо вся прямая R.
Замечание. Для R2 это уже не так.Задача 2.1. Доказать, что открытый квадрат нельзя представить в виде счётного объединения непересекающихся открытых кругов.Задача 2.2. Не существует паркета из замкнутых кругов для R2 , если запретить пересечения внутренностей.Теорема 2.3. σ-алгебра B(R) порождается каждым из следующих классов:1) лучи (−∞, r), где r ∈ Q;2) лучи (−∞, r], где r ∈ Q;3) промежутки вида (a, b], где a, b ∈ Q;4) промежутки вида [a, b], где a, b ∈ Q;5) промежутки вида (a, b), где a, b ∈ Q.Доказательство этой теоремы несложное и следует из второй части утверждения 2.2.2.2. Измеримые функцииПусть X — измеримое пространство (т.е. пространство X с σ-алгеброй A его подмножеств).Определение.
Функция f : X −→ R1 называется измеримой относительно A , если для всякого множества1−1B ∈ B(R ) имеем f (B) ∈ A .Теорема 2.4. Функция f измерима относительно A тогда и только тогда, когда {x : f (x) < c} ∈ A длявсякого c ∈ R. Указанное множество есть f −1 (E), где E = (−∞, c). Значит, если f измерима относительно A , то−1f (E) ∈ A . Обратно, если для всякого c ∈ R имеем f −1 (E) ∈ A , то класс E = {E ⊂ R : f −1 (E) ∈ A } содержитвсе открытые лучи вида (−∞, c).
Далее, E является σ-алгеброй (докажите!), поэтому σ({(−∞, c) : c ∈ R}) ⊂ E.Отсюда по теореме 2.3 получаем B(R) ⊂ E, что и требовалось. Пусть функция f : Rn −→ R1 измерима относительно борелевской σ-алгебры. Тогда f называется измеримойпо Борелю или борелевской.Если (X, A ) и (Y, B) — измеримые пространства, то отображение f : X −→ Y называют (A , B)-измеримым,если f −1 (B) ∈ A для любого B ∈ B.Замечание. Непрерывная функция является борелевской, так как множество {x : f (x) < c} открыто длялюбого c ∈ R.Теорема 2.5.
Пусть функции fn измеримы относительно σ-алгебры A . Тогда:1) α1 f1 + α2 f2 есть A -измеримая функция для любых α1 , α2 ∈ R;2) f1 · f2 — A -измеримая функция;3) f1 /f2 — A -измеримая функция, если f2 6= 0;44) Если ϕ : R −→ R — борелевская функция, то функция ϕ ◦ f1 является A -измеримой;5) Если fn −→ f при n −→ ∞, то f измерима относительно A ;6) max{f1 , f2 }, min{f1 , f2 } — A -измеримые функции.
1) Если α ∈ R, то функция α · f является A -измеримой, так как при α 6= 0 имеем (α · f )−1 (−∞, c) == f −1 (−∞, c/α) ∈ A . Осталось доказать, что сумма f1 + f2 является A -измеримой. Это следует из цепочки∞Sравенств {x : (f1 + f2 )(x) < c} = {x : f1 (x) < c − f2 (x)} =({x : f1 (x) < rn } ∩ {x : rn < c − f2 (x)}), где Q = {rn }.n=1Ясно, что последнее объединение входит в A .2),3) Следуют из п. 4).4) Если B ∈ B(R), то ϕ−1 (B) ∈ B(R), поэтому (ϕ ◦ f1 )−1 (B) = f1−1 (ϕ−1 (B)) ∈ A .
Значит, функция ϕ ◦ f1 A измерима. В частности, если f — A -измеримая функция, то функции f 2 и 1/f (при f 6= 0) также A -измеримы.1f1Теперь из равенства f · g = ((f + g)2 − f 2 − g 2 ) следует пункт 2), а пункт 3) — из равенства = f · .2gg∞ S∞ T∞S{x : fm (x) < c − k1 }, что означает, что f (x) < c5) Пусть f = lim fn . Тогда {x : f (x) < c} =n→∞k=1 n=1 m>nтогда и только тогда, когда существуют числа k, n ∈ N, такие что для любого m > n выполнено неравенствоfm (x) < c − k1 . Так как для любых m, k ∈ N множество {x : fm (x) < c − k1 } лежит в A , то и множество{x : f (x) < c} лежит в A .6) Оставляется в качестве упражнения. Следствие 2.1.
Если начать с непрерывных функций и применять к ним операции сложения, вычитания,умножения, деления и взятия предельных переходов, то будут получаться B-измеримые, т.е. борелевскиефункции.Замечание. Пусть B0 — класс всех непрерывных функций. При n = 1, 2, . . . определим класс Bn как множество всех функций, не лежащих в классах B0 , B1 , . . .
, Bn−1 , но являющихся поточечными пределами последовательностей функций из этих классов. Множества Bn называются классами Бэра (Baire). Их объединениепо n от нуля до бесконечности ещё не даёт всего класса борелевских функций.2.3. Меры и их продолжения2.3.1. МерыНапомним, что если два множества A и B не пересекаются, то их объединение может быть также обозначено через A ⊔ B.
Такое объединение называется дизъюнктным. Символ ⊔ подчёркивает, что пересечениеобъединяемых им множеств пусто.Определение. Пусть A — алгебра множеств в пространстве X. Функция m : A −→ R называется аддитивной, если m(A ⊔ B) = m(A) + m(B) для любых непересекающихся множеств A, B ∈ A .∞FОпределение. Функция µ : A −→ R называется счётно-аддитивной (или σ-аддитивной), если µ(An ) ==∞Pµ(An ) при условии, чтоn=1∞Fn=1An ∈ A (Если A — σ-алгебра, то последнее условие излишне).n=1Замечание. Это важно. Такие счётно-аддитивные функции мы будем называть мерами.Примеры:1◦ . Пусть A = {A ⊂ N : либо A, либо N\A конечно}. Положим µ(n) = 2−n .
Тогда будем иметьµ({n1 , . . . , nk }) = 2−n1 + . . . + 2−nkи µ(N) = 2. Получили, что µ — счётно-аддитивная функция на алгебре A .2◦ . Рассмотрим множество X, счётное подмножество {xn } ⊂ X и последовательность чисел αn > 0, таких∞∞PPчтоαn = 1. Положим A = 2X . Определим функцию µ : A −→ R формулой µ =αn δxn , гдеn=1δxn (A) =(n=11, если xn ∈ A,0, если xn ∈/ A.Функция δxn называется мерой Дирака в точке xn . Таким образом, µ(A) =Pn:xn ∈Aпроверить, что функция µ счётно-аддитивна.3◦ . Пусть A = {A ⊂ [0, 1] : либо |A| 6 ℵ0 , либо |[0, 1]\A| 6 ℵ0 }.
Положим(1, если |[0, 1]\A| 6 ℵ0 ,µ(A) =0, если |A| 6 ℵ0 .5αn для любого A ∈ A . МожноОчевидно, что µ — счётно-аддитивная мера.4◦ . A — алгебра элементарных множеств на отрезке [0,1]. Напомним, что A состоит из конечных объединенийпромежутков вида (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]. Пусть λ — функция длины промежутков. Аддитивность этой функцииочевидна. Чтобы доказать её счётную аддитивность, нам потребуется ввести одно понятие.2.3.2. Компактные классыОпределение.
Система K подмножеств в X называется компактным классом, если из условия∞TKn =n=1= ∅ (Kn ∈ K ) следует, что существует N ∈ N, такое чтоNTKn = ∅.n=1Иными словами, если каждое конечное пересечение непусто, то и счётное непусто.Основной пример компактных классов даётся следующей леммой.Лемма 2.6. Если любое множество K ∈ K является компактом, то K — компактный класс.NNTT Пусть Kn ∈ K иKn 6= ∅ для любого N ∈ N. Тогда существует точка xN ∈Kn .
Если последоваn=1n=1тельность {xn } стабилизируется на элементе x, то x — это общий элемент всех Kn . Иначе последовательность{xn } имеет предельную точку x, эта точка лежит во всех Kn . Теорема 2.7. Пусть µ — неотрицательная аддитивная функция на алгебре A и существует компактныйкласс K ⊂ A , такой что для всякого множества A ∈ A имеем µ(A) = sup{µ(K) : K ⊂ A, K ∈ K }.
Тогдафункция µ счётно-аддитивна.Прежде чем доказывать эту теорему, установим два вспомогательных результата.NSПредложение 2.8. Для любой неотрицательной аддитивной функции µ на алгебре A имеем µ(An ) 6n=1NP6µ(An ), где A1 , . . . , AN — произвольные множества из A .n=1µ(k+1Sn=1ем µ(Индукция по N . Для N = 1 доказывать нечего. Пусть для N = k > 1 утверждение доказано.
ТогдаkkkkSSSSAn ) = µ((An ) ⊔ (Ak+1 \An )) = µ(An ) + µ(Ak+1 \An ). По предположению индукции имеkSAn ) 6n=1µ(Ak+1 \n=1kPn=1n=1n=1n=1kSkSµ(An ). Кроме того, из равенства Ak+1 = (Ak+1 \An ) 6 µ(Ak+1 ). Отсюда окончательно имеем µ(n=1k+1SAn ) 6n=1An ) ⊔ (Ak+1 ∩n=1k+1PkSAn ) следует, чтоn=1µ(An ). n=1Предложение 2.9. Аддитивная функция µ на алгебре A счётно-аддитивна тогда и только тогда, когда∞Tlim µ(An ) = 0 при An ↓ ∅ (т.е. An+1 ⊂ An иAn = ∅, это свойство называется непрерывностью функции µn→∞n=1в нуле).
Пусть есть непрерывность в нуле. Рассмотрим семейство множеств Bn ∈ A , причём Bi ∩ Bj = ∅∞∞SSn→∞при i 6= j. Пусть B =Bn ∈ A . Положив Cn =Bi , имеем Cn ↓ ∅. Поэтому µ(Cn ) −−−−→ 0. Отсюдаn=1n−1Fµ(B) − µ(n→∞i=nn−1FBi ) −−−−→ 0. Так как µ(i=1Bi ) =i=1n−1Pi=1Обратно. Имеем A1 = (A1 \A2 ) ⊔ (A2 \A3 ) ⊔ ..., поэтому сходится ряд∞Pµ(An \An+1 ) → 0 при N → ∞. Ноn=Nпри n → ∞. Теперь докажем теорему 2.7.∞P∞Pµ(Bi ), то получаем µ(B) =∞Pµ(Bi ).i=1µ(An \An+1 ), откудаn=1µ(An \An+1 ) = µ(AN ), ибо AN =n=N∞F(An \An+1 ).
Значит, µ(An ) → 0n=NВоспользуемся предложением 2.9. Пусть {An } ∈ A , An+1 ⊂ An и∞Tn→∞An = ∅. Докажем, что µ(An ) −−−−→n=1n→∞−−−−→ 0, это и даст нам счётную аддитивность функции µ. В самом деле, если µ(An ) 9 0 при n → ∞, тосуществует ε > 0, такое что µ(An ) > ε при любом n, поскольку µ(An+1 ) 6 µ(An ). Далее, существует множество∞∞∞TTTKn ⊂An = ∅, т.е.Kn = ∅. ПоэтомуKn ∈ K , такое что Kn ⊂ An и µ(An ) 6 µ(Kn ) + 2εn . Заметим, чтоn=1в силу компактности класса существует N ∈ N, такое чтоNTn=16n=1n=1Kn = ∅. Теперь заметим, что AN =NTn=1An ⊂⊂NS(An \Kn ). В самом деле, пусть x ∈ AN .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
