В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда x ∈ A1 , . . . , AN −1 , AN . Если x ∈/n=1при каждом n 6 N . Но тогда x ∈ Kn для каждого n 6 N , откуда x ∈NTNS(An \Kn ), то x ∈/ An \Knn=1Kn = ∅. Противоречие. Теперь имеемn=1µ(AN ) 6 µ(NS(An \Kn )) 6n=1NPµ(An \Kn ) < ε. Противоречие. n=1Теперь вернёмся к примеру 4◦ п. 2.3.1. Пусть λ — функция длины на алгебре A элементарных множеств.Тогда λ счётно-аддитивна. В самом деле, в качестве компактного класса K можно взять конечные объединенияотрезков.Аналогично обстоит дело в R2 (RN ) с функцией площади (n-мерного объёма) λ на алгебре элементарныхмножеств.Замечание.
Условия теоремы 2.7 не являются необходимыми для счётной аддитивности, но в практическихситуациях они выполняются.Задача 2.3. Пусть µ — непрерывная мера на B(Rn ). Тогда для любого множества B ∈ B(Rn ) и любогоε > 0 найдутся компактное множество Kε ⊂ B и открытое множество Uε ⊃ B, такие что µ(Uε \Kε ) < ε.Замечание.
Это же верно для любого полного сепарабельного метрического пространства.Итак, аддитивность, вообще говоря, не означает счётную аддитивность, однако влечёт её при некоторыхдополнительных условиях (например, наличие компактных классов). Однако есть и условия, которые являютсяи необходимыми, и достаточными.2.3.3. Эквивалентные условия счётной аддитивности мерыПредложение 2.10. Пусть неотрицательная функция µ аддитивна на алгебре A . Тогда следующие условия равносильны:1◦ . Функция µ счётно-аддитивна.2◦ .
Функция µ непрерывна в нуле (т.е. µ(An ) → 0 при n → ∞, если An ↓ ∅; An ∈ A ).∞Sn→∞3◦ . Если Bn ∈ A и Bn ↑ B ∈ A (т.е. Bn ⊂ Bn+1 иBn = B), то µ(Bn ) −−−−→ µ(B).◦4 . Если An ∈ A и∞SAn ∈ A , то µ(n=1∞Sn=1∞PAn ) 6n=1µ(An ) (это свойство функции µ называется счётнойn=1полуаддитивностью). Равносильность 1◦ ⇔ 2◦ уже доказана (см. предложение 2.9).2◦ ⇔ 3◦ , ибо если An ↓ ∅, то X\An ↑ X; кроме того, Bn ↑ B ⇔ (B\Bn ) ↓ ∅.Осталось доказать равносильность пунктов 1◦ , 2◦ , 3◦ пункту 4◦ . Пусть An ∈ A иBn =6nPnS∞SAk ∈ A .
Имеем Bn ↑k=1µ(Ak ). Отсюда µ(Bn ) 6k=1An , поэтому µ(n=1∞P∞S∞SAn ∈ A . Положимn=1An ) = lim µ(Bn ). Далее, по лемме 2.8 получаем µ(Bn ) 6n→∞n=1µ(Ak ). Переходя к пределу при n → ∞, получаем µ(k=1∞SAk ) 6k=1Обратно, пусть выполнено условие пункта 4◦ . Рассмотрим множества An ∈ A , такие чтосилу счётной полуаддитивности функции µ имеем µ(тельности функции µ имеем µ(>∞P∞FAn ) > µ(n=1kFn=1An ) =∞Fn=1kPAn ) 6∞P∞Pk=1∞Fµ(Ak ).An ∈ A . Вn=1µ(An ).
С другой стороны, в силу неотрица-n=1µ(An ) при любом натуральном k. Значит, µ(n=1µ(An ), что и доказывает счётную аддитивность функции µ. ∞FAn ) >n=1n=1Как строить счётно-аддитивные меры на σ-алгебрах? Оказывается, что счётно-аддитивная мера на алгебреA продолжается до счётно-аддитивной меры на σ(A ).2.4. Внешняя мера и продолжение мер2.4.1. Внешняя мера∗Определим внешнюю меру µ для неотрицательной σ-аддитивной меры µ на алгебре A .Определение. Пусть E — любое множество из 2X .
Внешней мерой множества E называется величина∞∞PSµ∗ (E) = inf{µ(An ) : An ∈ A ; E ⊂An }.n=1n=17Покрывать есть чем, поэтому 0 6 µ∗ (E) 6 µ(X). Вообще говоря, внешняя мера неаддитивна на классе всехмножеств.Лемма 2.11.1◦ . |µ∗ (A) − µ∗ (B)| 6 µ∗ (A△B) для любых A, B ∈ 2X .2◦ . Функция µ∗ обладает свойством счётной полуаддитивности на 2X .
1◦ . Покажем, что µ∗ (A) 6 µ∗ (B)+ µ∗ (A△B). Имеем: A ⊂ B ∪(A△B), поэтому достаточно проверить, чтовнешняя мера полуаддитивна, т.е. µ∗ (E1 ∪ E2 ) 6 µ∗ (E1 ) + µ∗ (E2 ) для любых E1 , E2 ∈ 2X . В самом деле, пусть∞∞∞∞∞SSPPSE1 ⊂A′n и E2 ⊂A′′n , причём µ∗ (E1 ) >µ(A′n )−ε и µ∗ (E2 ) >µ(A′′n )−ε. Тогда E1 ∪E2 ⊂(A′n ∪A′′n )n=1∗и µ (E1 ∪ E2 ) 6◦2 . Пусть∞Pn=1An ⊂множеств {Pnk }∞k=1∗µ (∞Sn=1An ) 6∞ P∞Pn=1µ(A′n∪A′′n )6∞Pn=1µ(A′n )n=1∞P+n=1n=1µ(A′′n )∗n=1∗6 µ (E1 ) + µ (E2 ) + 2ε. Осталось устремить ε к нулю.X, n ∈ N.
Пусть ε > 0 — произвольное число. Для каждого n ∈ N существует набор∞∞ S∞∞∞SSSPAn ⊂Pnk , откуда⊂ A , такой что An ⊂Pnk иµ(Pnk ) 6 µ∗ (An ) + 2εn . Тогдаµ(Pnk ) 6n=1 k=1∞Pk=1k=1∗∗µ (An ) + ε. В силу произвольности ε получаем µ (n=1требовалось.
n=1∞Sn=1 k=1∞P∗µ (An ), что иAn ) 6n=1n=1Определение. Обозначим через Lµ класс таких множеств E ⊂ X, что для любого ε > 0 существуетмножество Aε ∈ A , удовлетворяющее условию µ∗ (E△Aε ) < ε. Множества из Lµ называются измеримыми поЛебегу относительно меры µ (или просто µ-измеримыми).2.4.2. Основная теорема о продолжении мерыТеорема 2.12. Пусть µ — счётно-аддитивная неотрицательная мера на алгебре A . Тогда:1◦ . Внешняя мера µ∗ совпадает с µ на A .2◦ . Множество Lµ является σ-алгеброй, содержащей σ(A ), и функция µ∗ счётно-аддитивна на Lµ .
Вчастности, µ∗ даёт счётно-аддитивное продолжение меры µ на σ(A ).Замечание. Это самая трудная теорема в курсе.1◦ . Пусть E ∈ A . Тогда µ∗ (E) 6 µ(E), ибо E себя покрывает. С другой стороны, если E ⊂An ∈ A , то µ(E) = µ(∞S∞P(An ∩ E)) 6n=1µ(An ∩ E) 6n=1∞P∞SAn ,n=1µ(An ), откуда µ(E) 6 µ∗ (E). Таким образом,n=1µ(E) = µ∗ (E) и A ⊂ Lµ .◦h2 . Если A ∈ iLµ , то X\A ∈ Lµ , ибо для любого E ∈ A имеем (X\A)△(X\E)) = A△E, и потомуµ∗ (X\A)△(X\E) = µ∗ (A△E), т.е. класс Lµ замкнут относительно дополнений.Теперь пусть A, B ∈ Lµ .
Покажем, что A ∪ B ∈ Lµ . Возьмём произвольное ε > 0. Тогда существуют∗∗множества E1 , E2 ∈1 ) < ε и µ (A△E2 ) < ε. Поскольку (A ∪ B)△(E1 ∪ E2 ) ⊂ (A△E1 ) ∪h A , такие что µ (A△Ei(B△E2 ), имеем µ∗ (A ∪ B)△(E1 ∪ E2 ) 6 µ∗ (A△E1 ) + µ∗ (B△E2 ) < 2ε по лемме 2.11.Раз множество Lµ замкнуто относительно операций \ и ∪, следовательно, Lµ является алгеброй.Теперь докажем аддитивность функции µ∗ .
Пусть A, B ∈ Lµ и A ∩ B = ∅. Нужно показать, что µ∗ (A ⊔ B) == µ∗ (A) + µ∗ (B). Неравенство µ∗ (A ⊔ B) 6 µ∗ (A) + µ∗ (B) следует из леммы 2.11. Пусть ε > 0 — произвольное∗∗число. Существуют множестваh E1 , E2 ∈ A , такиеi что µ (A△E1 ) < ε и µ (A△E2 ) <h ε. По лемме 2.11 iимеемµ∗ (A ∪ B) > µ∗ (E1 ∪ E2 ) − µ∗ (A ∪ B)△(E1 ∪ E2 ) .
Далее, выше было показано, что µ∗ (A ∪ B)△(E1 ∪ E2 ) < 2ε.Поскольку E1 , E2 ∈ A , с учётом пункта 1◦ имеем µ∗ (E1 ∪ E2 ) = µ(E1 ∪ E2 ) = µ(E1 ) + µ(E2 ) − µ(E1 ∩ E2 ) 66 (лемма 2.11) 6 µ∗ (A) − ε + µ∗ (B) − ε − µ(E1 ∩ E2 ). При этом E1 ∩ E2 ⊂ (A△E1 ) ∪ (B△E2 ), откуда µ(E1 ∩ E2 ) 66 ε + ε = 2ε. Итак, µ(E1 ∪ E2 ) > µ∗ (A) + µ∗ (B) − 4ε и поэтому µ∗ (A ∪ B) > µ∗ (A) + µ∗ (B) − 6ε. Так как ε > 0произвольно, то µ∗ (A ∪ B) > µ∗ (A) + µ∗ (B), что и доказывает аддитивность функции µ∗ .В силу счётной полуаддитивности функции µ∗ на алгебре Lµ (лемма 2.11) из предложения 2.10 следуетсчётная аддитивность µ∗ на Lµ .∞SОсталось доказать, что Lµ — это σ-алгебра. Пусть {An } ⊂ Lµ . Надо доказать, чтоAn ∈ Lµ .
Делоe1 = A1 , Ae2 = A2 \A1 , . . ., Aen = An \сводится к дизъюнктному объединению, если взять Aen ∈ Lµ при любом n ∈ N и чтоAДля любого n ∈ N имеемnPk=1∞SAn =n=1µ∗ (Ak ) = µ∗ (∞Sn=1nFk=1n=1n−1SAk , . . .. Ясно, чтоk=1en . Теперь считаем, что множества An попарно не пересекаются.AAk ) 6 µ∗ (∞Fk=18Ak ). Поэтому ряд∞Pk=1µ∗ (Ak ) сходится, а значит, длявсякого ε > 0 существует N ∈ N, такое чтоPµ∗ (Ak ) < ε. По уже доказанному имеем A1 ⊔ . . . ⊔ AN ∈ Lµ .k>NЗначит, существует множество E ∈ A , такое что µ∗ (E△(аппроксимирует и множество∗6 ε+µ (Fk>NAk ) 6 ε +P∞FAk .
Имеем (k=1∗∞FNFAk )) < ε. Покажем, что множество E хорошоk=1NFAk )△E ⊂ ((k=1Ak )△E) ∪ (k=1µ (Ak ) < 2ε. Таким образом, множествоk>N∞SFk>Nh Fi∞Ak ). Тогда µ∗ (Ak )△E 6k=1Ak по определению принадлежит Lµ ,k=1поэтому Lµ — σ-алгебра. Так как A ⊂ Lµ , то σ(A ) ⊂ Lµ . Замечание. Более общую конструкцию Каратеодори см. в книжке В.И.
Богачёва «Основы теории меры».Следствие 2.2. Неотрицательная счётно-аддитивная мера на алгебре A продолжается на Lµ и на σ(A )однозначно (с требованием счётной аддитивности). Пусть A ∈ Lµ и λ > 0 — какое-нибудь счётно-аддитивное продолжение µ на σ-алгебру, содержащуюмножество A. Зафиксируем произвольное ε > 0. Тогда по определению измеримости существует множество∞SB ∈ A , такое что µ∗ (A△B) < ε. Это означает, что существуют множества Cn ∈ A , такие что A△B ⊂Cn и∞Pn=1µ(Cn ) < ε. Тогда имеем λ(A△B) 6∞Pn=1λ(Cn ) =∞Pn=1µ(Cn ) < ε, поскольку µ ≡ λ на A .
Отсюда следует, чтоn=1|λ(A) − λ(B)| 6 λ(A△B) < ε. С другой стороны, также справедливо неравенство |µ∗ (A) − µ∗ (B)| < ε. Учитывая,что λ(B) = µ(B) = µ∗ (B), получаем |λ(A) − µ∗ (A)| < 2ε, откуда в силу произвольности ε следует λ(A) = µ∗ (A).Задача 2.4. Пусть µ — счётно-аддитивная неотрицательная мера на σ-алгебре A и E ∈/ A . Тогда существует счётно-аддитивная неотрицательная мера ν на σ(A ∪ {E}), которая совпадает с µ на A .2.4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
