В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Имеем µ(B) = µ(X), ибо µ(X\(B1 ∪ . . . ∪ Bk(n) )) = 0. Тогдаn=1функция f является A -измеримой на множестве B как поточечный предел A -измеримых функций. Полагаяg = f на B и g = 0 вне B, получаем, что f = g п.в. и функция g A -измерима. 133. Интеграл Лебега3.1. Определение Интеграла Лебега3.1.1. Простые функцииПусть (X, A , µ) — пространство с конечной неотрицательной мерой.→ R1 , такая что χA (x) =(Напомним, что индикатором множества A ⊂ X называется функция χA : X −1, если x ∈ A;=0, если x ∈/ A.Определение. Простой функцией на X называется A -измеримая функция с конечным числом значений.nPОна имеет вид f =ci χAi , где Ai ∈ A , а ci ∈ R.i=1Замечание. Без ограничения общности можно считать, что множества Ai дизъюнктны.nPОпределение.
Если f — простая функция вида f =ci χAi , то её интегралом Лебега по пространствуX называется величинаRf dµ =nPi=1ci µ(Ai ) (иногда пишут простоi=1XRf dµ).Замечание. Это определение корректно в силу аддитивности меры µ, т.е. не зависит от представления fmPуказанным способом. Действительно, пусть f =dj χBj . Тогдаj=1Zf dµ =mXdj µ(Bj ) =j=1XmXdj µ(j=1nG(Bj ∩ Ai )) =i=1mXdjj=1nXµ(Bj ∩ Ai ) =i=1n XmXci µ(Ai ∩ Bj ) =i=1 j=1nXci µ(Ai ),i=1поскольку ci = dj на множестве Ai ∩ Bj .3.1.2. Свойства интеграла на простых функцияхПредложение 3.1.R Пусть f, g — простые функции.
Тогда:1) если f > 0, тоR f dµ > 0;RR2) (линейность)(αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ при любых α, β ∈ R; RR3) f dµ 6 |f | dµ 6 sup f · µ(X). 1) Ясно из определения.2) Из определенияясно,R что постоянныймножитель можно вынести за знак интеграла. Поэтому осталосьRRдоказать, что (f +g) dµ = f dµ+ g dµ. Во-первых, покажем, что функция f +g тоже простая. Действительно,пусть функция f принимает значения a1 , . . . , an на дизъюнктных множествах A1 , . . . , An , функция g принимаетзначения b1 , . . . , bm на дизъюнктных множествахB1 , . .
. Bm . Тогда функция f + g принимает значение ai + bjRPна множестве Ai ∩ Bj . По определению, (f + g) dµ =(ai + bj )µ(Ai ∩ Bj ), а при фиксированном i имеемi,jmPai µ(Ai ∩Bj ) = ai µ(Ai ) в силу условия X = B1 ⊔. . .⊔Bm . Аналогично, при фиксированном j имеемj=1∩ Bj ) = bj µ(Bj ). Отсюда+mPbj µ(Bj ) =j=1RRf dµ +RP(ai + bj )µ(Ai ∩ Bj ) =i,jn PmPai µ(Ai ∩ Bj ) +i=1 j=1g dµ.m PnPbj µ(Ai ∩ Bj ) =j=1 i=1nPbj µ(Ai ∩i=1nPai µ(Ai ) +i=1nnRRPP3) Очевидно, что функция |f | простая. Имеем | f dµ| = |ai µ(Ai )| 6|ai |µ(Ai ) = |f | dµ.
Далее,|f | dµ =nP|ai |µ(Ai ) 6 max |ai |ii=1nPi=1i=1µ(Ai ) = max f · µ(X). i=1Определение. Последовательность{fn } называется фундаментальной в среднем, если для всякого ε > 0Rсуществует N ∈ N, такое что |fi − fj | dµ < ε для всех i, j > N .RЗамечание. Если последовательность {fj } фундаментальна в среднем, то последовательностьfj dµсходится, поскольку для неё выполнен критерий Коши.Лемма 3.2. Пусть последовательностьR {fn } простых функций фундаментальна в среднем.
Тогда для всякого ε > 0 существует δ > 0, такое что |fn | dµ < ε для любого множества A ∈ A с µ(A) < δ и любого n.ARRЗдесь f dµ := f · χA dµ, A ∈ A (если f простая, то и f · χA тоже простая).AX14Пусть задано произвольное ε > 0. Берём N ∈ N, такое чтоR|fn − fk | dµ <Xε2для любых n, k > N .εмножество A таково,RВозьмём CR= max{|f1 |, . . . ,R|fN |} + 1. ПустьRR что µ(A) < δ,ε где δ = 2C , и n > N . Имеем|fn | dµ 6 |fn − fN | dµ + |fN | dµ 6 |fn − fN | dµ + max |fN | · χA dµ < 2ε + 2C· C = ε, что и требовалось. AAAXСледствие 3.1.
В условиях предыдущей леммы имеемRXA= {x : fn (x) > 0}, A− = {x : fn (x) < 0}.R|fn | dµ =fn dµ −A∩A+Rfn dµ < ε, где A+ =A∩A−3.1.3. Общее определение интеграла ЛебегаПусть (X, A , µ) — пространство с конечной неотрицательной мерой. Пусть f — µ-измеримая функция, т.е. область определения D(f ) функции f содержит множество X0 , такое что µ(X\X0 ) = 0, и функция f |X0 измеримаотносительно Aµ ∩ X0 (вне X0 функция f может принимать какие угодно значения).Определение.
Функция f называется интегрируемой по Лебегу по мере µ (µ-интегрируемой), если существует последовательность {fn } простых функций, которая фундаментальнаRR в среднем и почти всюду сходитсяк f . Интегралом (Лебега) функции f называется величина f dµ = lim fn dµ.Xn→∞X1Множество µ-интегрируемых функций будем обозначать через L (µ) или через L 1 (X), когда ясно, о какоймере идёт речь.RПокажем, что определение интеграла корректно, т.е. другого предела нет и быть не может ( f dµ определёнXоднозначно). В самом деле, пусть {gn } — другая фундаментальнаяв среднемпоследовательность простыхRRфункций, почти всюду сходящаяся к f . Докажем, что fn dµ − gn dµ → 0 при n → ∞.
Пусть ε > 0 —XXRRε произвольное число. Тогда по лемме 3.2 существует δ > 0, такое что fn dµ < 4 , gn dµ < 4ε для любогоAAмножества A c µ(A) < δ. По теореме Егорова существует множество A с мерой меньше δ, такое что fn |X\A ⇒⇒ f |X\A и gn |X\A ⇒ f |X\A . Тогда существует N ∈ N, такое что при любом n > N справедливо неравенство RR Rεsup |fn − gn | < 4(µ(X)+1) . Отсюда при n > N имеем (fn − gn ) dµ 6 (fn − gn ) dµ + (fn − gn ) dµ 6x∈X\AXAX\A R RRRRεµ(X\A)6 fn dµ + gn dµ +|fn − gn | dµ < 4ε + 4ε + 4(µ(X)+1)< ε. Таким образом, lim fn dµ = lim gn dµ иAAn→∞ XX\An→∞ Xтем самым интеграл Лебега функции f определён корректно.Замечание.
Пусть A ∈ A и функция f µ-измерима. Если функция f ·χA µ-интегрируема,RRто будем говорить,что функция f µ-интегрируема на множестве A, и писать f ∈ L 1 (A, µ). Положим f dµ = f · χA dµ.AXПример 3.1. Всякая ограниченная A -измеримая функция f является µ-интегрируемой. Действительно,было доказано (следствие 2.3), что f есть равномерный предел последовательности простых функций, а такаяпоследовательность фундаментальна в среднем. В частности, любая ограниченная борелевская функция (илихотя бы ограниченная и измеримая по Лебегу функция) на отрезке интегрируема относительно меры Лебега.Простейшие свойства общего интеграла Лебега даёт следующаяТеорема 3.3.R(1) Если f ∈ L 1 (µ) и f > 0, то f dµ > 0.RR11(2)R Если f, g ∈ L (µ), то при любых α, β ∈ R имеем αf + βg ∈ L (µ), причём (αf + βg) dµ = α f dµ ++ β g dµ.
RR(3) Если f ∈ L 1 (µ), то |f | ∈ L 1 (µ) и f dµ 6 |f | dµ.R(4) Если f — ограниченная A -измеримая функция, то f ∈ L 1 (µ) и f dµ 6 sup |f | · µ(X).X (1) По определению интегрируемости существует последовательность {fn } простых функций, сходяп.в.щаяся к f почти всюду на X и фундаментальная в среднем. Тогда все функции |fn | простые и |fn | −−→п.в.−−→ |f | = f. При этомв Rсреднем. Действительно, последовательностьR {|fn |} фундаментальнаRRсправедливонеравенство |fn | − |fk | 6 |fn − fk |, откуда |fn | − |fk | dµ → 0. Отсюда |fn | dµ → f dµ > 0, ибо |fn | dµ > 0.(3) В этом случае доказательство аналогично случаю (1).
Если последовательность {fn } интегрируемыхп.в.простых функций сходится почти всюду к f , причём {fn } фундаментальна в среднем, то |fn | −−→ |f |, и тогдафункции{|fRn |} фундаментальна в среднем.R |fn | простыеR и последовательностьRR Значит,Rфункция |f | интегрируема и |f | dµ = lim |fn | dµ > lim fn dµ = f dµ.
Аналогично получаем |f | dµ > f dµ.n→∞n→∞(2) Очевидно, что константу можно выносить из-под знака интеграла. Осталось доказать требуемое при15п.в.п.в.α = β = 1. Далее, пусть fn −−→ f и gn −−→ g, где обе последовательности {fn } и {gn } состоят из простыхп.в.функций и фундаментальны в среднем. Все функции fn + gn являютсяR простыми, причём fn +R gn −−→ f + g.Последовательность{fn + gn } фундаментальнавR среднем,R так как |fn R+ gn − fRk − gk | dµRRR 6 |fn − fk | dµ ++ |gn − gk | dµ.
Отсюда, так как (fn + gn ) dµ = fn dµ + gn dµ, имеем f dµ + g dµ =R (f + g) dµ.(4) Интегрируемостьфункции f уже пояснялась, а поскольку |f | − sup |f | 6 0, имеем (|f | − sup |f |) dµ 6 0,RRоткуда |f | dµ 6 sup |f | dµ = sup |f | · µ(X). Следствие 3.2 (признак сравнения). Пусть f, g — µ-измеримые функции, причём |f − g| 6 C п.в. наX. Тогда функции f и g µ-интегрируемы либо µ-неинтегрируемы одновременно. Функция f − g является µ-измеримой, поэтому по предложению 2.19 существует A -измеримая функцияh, такая что f − g = h п.в. на X, причём h также можно считать ограниченной (переопределив h нулём намножестве {x : |h(x)| > C} ∈ A ).
По п. (4) предыдущей теоремы функция h является µ-интегрируемой. Тогдасуществует фундаментальная в среднем последовательность {hn } простых функций, сходящаяся п.в. к h. Ноп.в.тогда hn −−→ f − g, ибо h = f − g п.в., поэтому функция f − g является µ-интегрируемой. Теперь доказываемоеутверждение следует из п. (2) предыдущей теоремы, так как f = g + (f − g), g = f − (f − g). Пусть A — µ-измеримое множество и f — µ-интегрируемая функция.
Тогда функция χA · f тоже µ-интегрируема. Покажем это. Во-первых, по предложению 2.14 существует множество A0 ∈ A , такое что χA (x) = χA0 (x)п.в. Во-вторых, если {fn } — фундаментальная в среднем последовательность простых функций, почти всюдусходящаяся к f , то функция χA · f есть п.в. предел простых функций χA0 · fn .
При этом последовательность{χA0 · f } фундаментальна в среднем, такR как |χAR0 · fn − χA0 · fk | 6 |fn − fk |. Значит, по определению функцияχA · f µ-интегрируема. Тогда положим f dµ := χA · f dµ.AXRRRИз определения ясно, что если A ∩ B = ∅, то f dµ + f dµ =f dµ.ABA⊔BПример 3.2. Пусть множества An образуют покрытие множества X и дизъюнктны. Пусть f (x) = ck приx ∈ Ak .
Тогда функция f является A -измеримой. При этом f µ-интегрируема тогда и только тогда, когда∞∞RPP|cn |µ(An ) < ∞. В этом случае f dµ =cn µ(An ).n=1n=11Если f ∈ L (µ), то пустьnf (x) при x ∈ S Ak ,fn (x) =k=10иначе.n∞RRRPPТогда |fn | 6 |f | и поэтому |fn | dµ 6 |f | dµ при любом n, но |fn | =|ck |µ(Ak ), значит,|ck |µ(Ak ) 6k=1k=1R6 |f | dµ.∞PОбратно, если|ck |µ(Ak ) < ∞, то последовательность {fn } фундаментальна в среднем, причём она схоk=1дится к f почти всюду. Все функции fn являются простыми и интегрируемы, при этомОтсюда следует, что f ∈ L 1 (µ) иRf dµ =∞Pck µ(Ak ). Rfn =nPck µ(Ak ).k=1k=1Замечание.
Лебег так определял интегралRf dµ: пусть при некотором ε > 0 сходится ряд S(ε) =+∞P(εk ×k=−∞× µ({x : εk 6 f < ε(k + 1)})), то есть сходятся по отдельности ряды при k > 0 и k < 0. Тогда такой ряд сходитсяпри любом ε > 0 и существует предел S(f ) = lim S(ε). Этот предел и называется интегралом Лебега.ε→0Покажем, что это то же самое, т.е. определение Лебега равносильно нашему определению интеграла. Рассмотрим функцию fε , равную εk при тех значениях x, для которых εk 6 f (x) < ε(k + 1).
В силу примера 3.2имеем fε ∈ L 1 (µ) ⇔ ряд S(ε) сходится. Так как |fε −f | 6 ε, то по признаку сравнения из интегрируемостиRR функцииfследуетинтегрируемостьфункцииfиобратно.Приэтомвслучаеинтегрируемостиfdµ−f dµ 6ε RεRR6 |fε − f | dµ 6 ε · µ(X), откуда f dµ = lim fε dµ = lim S(ε) = S(f ), что и доказывает эквивалентность двухε→0ε→0определений интеграла.3.2. Свойства интеграла Лебега3.2.1. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега и неравенство ЧебышёваТеорема 3.4 (абсолютная непрерывность интеграла Лебега). Пусть f — µ-интегрируемая функция.Тогда для всякого ε > 0 существует δ > 0, такое что для любого множества A ∈ Aµ с условием µ(A) < δ16выполнено неравенствоR|f | dµ < ε.A Пусть задано произвольное ε > 0. По определению интегрируемости существуют неотрицательные проп.в.стые функции fn , такие что fn −−→ |f |, причём последовательность{fn } фундаментальна в среднем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
