В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Связь интеграла и производной3.8.1. Функции ограниченной вариацииОпределение. Функция f на отрезке [a, b] называется функцией ограниченной вариации, если конечна велиnPчина (называемая вариацией функции f на отрезке [a, b]) V[a,b] (f ) = sup|f (ai ) − f (ai−1 )|, где T — разбиениеTi=1отрезка на n = n(T ) частей точками a = a0 < a1 < . . . < an−1 < an = b.Обозначение. f ∈ V B([a, b]) или просто f ∈ V B, когда ясно, о каком отрезке идёт речь.Задача 3.17.
Вариация линейна, т.е. если a 6 c 6 b, то V[a,b] (f ) = V[a,c] (f ) + V[c,b] (f ).Задача 3.18. Если f ∈ V B([a, b]), то f есть разность двух монотонных функций.Теорема 3.25 (Лебег, без доказательства). Любая функция f ограниченной вариации п.в. дифференцируема, и функция f ′ интегрируема.RbМожно задаться вопросом: верно ли в этом случае, что f (b) − f (a) = f ′ dx? Ответ: вообще говоря, нет.a(0, x ∈ [0, 12 ],В качестве примера можно взять на отрезке [0, 1] функцию k(x) =Ясно, что k ′ (x) = 0 п.в.,1, x ∈ ( 12 , 1].26но формула Ньютона–Лейбница неверна. На самом деле это, вообще говоря, неверно даже для непрерывныхфункций.3.8.2. Абсолютно непрерывные функции и формула Ньютона–ЛейбницаОпределение. Функция f называется абсолютно непрерывной на отрезке [a, b], если для всякого ε > 0nPсуществует δ > 0, такое что|f (bi ) − f (ai )| < ε для всякого конечного набора дизъюнктных интервалов{(ai , bi )} с условиемnPi=1|bi − ai | < δ.i=1Обозначение.
f ∈ AC([a, b]).Непосредственно из определения следуетУтверждение 3.26. Если f ∈ AC([a, b]), то f ∈ C([a, b]).1, n1 ]Замечание. Обратное неверно. Пример — функция f на отрезке [0, 1], на каждом из отрезков [ n+1заданная следующим образом: от левого конца отрезка до его середины она линейно возрастает от нуля до n1 ,от середины до правого конца — линейно убывает от n1 до нуля; кроме того, f (0) = 0. Несложно проверить, чтоf не является ни функцией ограниченной вариации, ни абсолютно непрерывной функцией.Утверждение 3.27. Если f ∈ AC([a, b]), то f ∈ V B([a, b]).
Для ε = 1 найдётся соответствующее δ из определения абсолютной непрерывной функции. Пусть n ∈ Nтаково, что b−an < δ. Тогда нетрудно убедиться, что V[a,b] (f ) 6 n. Теперь докажем основную теорему.Теорема 3.28. Пусть функция f задана на отрезке [a, b]. Тогда f ∈ AC([a, b]) ⇔ существует функцияRxg ∈ L 1 ([a, b]), такая что f (x) = f (a) + g(t) dt. При этом функция f п.в. дифференцируема и f ′ = g п.в. Вa′1частности, f (x) ∈ L ([a, b]) и f (x) − f (a) =Rxf ′ (t) dt.aЗамечание. Эта теорема даёт альтернативную классификацию абсолютно непрерывных функций.Rx (Частичное доказательство) Пусть g ∈ L 1 ([a, b]).
Докажем, что функция f (x) = g(t) dt абсолютноaнепрерывна. Пусть ε > 0 —R произвольное число. Тогда в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега существует δ > 0, такое что |g| dt < ε для всякого множества E с λ(E) < δ. Пусть {(ai , bi )} — дизъюнктный наборEинтервалов на [a, b] с суммой длин меньше ε. ТогдаP|f (bi ) − f (ai )| =i P RbiRP Rbi|g| dt = S g dt 6i aii ai|g| dt < ε.(ai ,bi )iПусть f ∈ AC([a, b]).
Можно считать, что f (a) = 0. Из утверждения 3.27 следует, что f ∈ V B([a, b]), значит, позадаче 3.18 f представима в виде разности двух монотонных функций f1 и f2 . Достаточно доказать требуемоеутверждение для каждой из функций f1 , f2 , поэтому можно считать, что f монотонна и не убывает. Тогдасуществует неотрицательная мера µ на B([a, b]), такая что f (x) = µ([a, x)) (ср. с примером 2.1).R Докажем, чтоµ ≪ λ. Тогда по теореме Радона–Никодима получим функцию g ∈ L1 ([a, b]), такую что µ(B) = g dt для любогомножества B ∈ B([a, b]). В частности, µ([a, x)) =RxBg dt.
Осталось проверить, что µ ≪ λ. Пусть B ∈ B([a, b]) —aмножество с λ(B) = 0. Покажем, что µ(B) = 0. Зафиксируем произвольное ε > 0 и найдём соответствующее емуδ > 0 из определения абсолютной непрерывности функции f . Из определения множества нулевой меры следует,что существует не более чем счётное множество интервалов {(αi , βi )} суммарной длины меньше δ, покрывающихмножество B. Можно считать, что эти интервалы дизъюнктны (см.
утверждение 2.2). Тогда для любого N ∈ NNNN∞PPPPимеем(βi − αi ) < δ, поэтому(f (βi ) − f (αi )) =µ((αi , βi )) < ε. Значит,µ((αi , βi )) 6 ε, т.е. µ∗ (B) 6 ε,i=1i=1i=1i=1откуда получаем µ(B) = 0 в силу произвольности выбора ε > 0.Утверждение о дифференцируемости функции f почти всюду и интегрируемости f ′ следует из теоремы 3.25,доказательство которой можно прочитать в книге лектора «Основы теории меры». Замечание. Если f — произвольная абсолютно непрерывная функция, то в качестве монотонно неубывающих функций f1 , f2 , таких что f = f1 − f2 , можно взять f1 (x) := V[a,x] (f ) и f2 (x) := V[a,x] (f ) − f .Задача 3.19. Доказать, что функция V[a,x] (f ) является абсолютно непрерывной.Следствие 3.8 (Формула интегрирования по частям). Пусть f, g ∈ AC([a, b]).
Тогда верна следующая27формула:Rbaf ′ g dt = f g|ba −Rbf g ′ dt.a Функция f g является абсолютно непрерывной (упражнение). Тогда по недоказанной теореме 3.28 существуют п.в. функции (f g)′ , f ′ и g ′ . Поэтому п.в. функции f и g одновременно дифференцируемы и (f g)′ == f ′ g + f g ′ . Проинтегрировав это равенство от a до b, получим требуемое. 3.8.3. Несколько заключительных замечанийЧерез D([a, b]) обозначается множество функций, определённых на отрезке [a, b] и всюду дифференцируемыхна нём.Rx(1) Функция g(t) dt НЕ обязана быть дифференцируемой всюду.
Пример: разрывная функция g(t).aRx′Rx(2) Равенствоg(t) dt = g(x) не обязано выполняться во всех точках, где функция f = g(t) dt диффеaaренцируема, ибо g можно исправить на множестве меры нуль, а интеграл этого не заметит.(3) Из того, что f ∈ D([0, 1]), вообще говоря, не следует, что f ∈ AC([0, 1]). Может оказаться, что f ′ ∈/∈/ L 1 ([0, 1]). Пример: f (x) = x2 sin x12 , f (0) = 0. Упражнение: проверить, что f ′ ∈/ L 1 ([a, b]). При этом f ′интегрируема в несобственном смысле по Риману.(4) Задача: если f ∈ D([a, b]) и f ′ ∈ L 1 ([a, b]), то f ∈ AC([a, b]).28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
