В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Положим µ(∅) = 0, µ(A) = ∞ для любого множества A 6= ∅. Тогда µ — счётно-аддитивнаябесконечная мера.Пример 3.3. Множество A ⊂ Rn называется измеримым по Лебегу, если для всякого куба K ⊂ Rn множествоA ∩ K измеримо. Разделим Rn на кубосетку, образованную всевозможными сдвигами куба I = [−1, 1]n на∞Pцелочисленные векторы с чётными координатами. Положим λn (A) =λn (A ∩ Ij ) для любого измеримогоj=1n+nмножества A ⊂ R . Получена счётно-аддитивная мера на R со значениями в R .∞F+Определение. Мера µ : X → R называется σ-конечной, если X =Xn , где Xn ∈ A и µ(Xn ) < ∞ длявсякого n ∈ N.
В этом случае µ(A) =∞Pn=1µ(A ∩ Xn ) для всякого A ∈ A .n=1nВ частности, мера Лебега λn на R является σ-конечной.Интеграл Лебега для множеств с бесконечными мерами определяется так же, как и для множеств с коnPнечными мерами, только теперь функция f называется простой, если f =ci χAi , где µ(Ai ) < ∞ при ci 6= 0.i=1Основное определение интеграла Лебега остаётся без изменений (полагаем при этом, что ci µ(Ai ) = 0, если ci = 0,µ(Ai ) = ∞). Если мера µ σ-конечна, то интеграл Лебега сводится к случаю конечной меры следующим образом.∞RRP1µ(Xn ∩ A). Пусть ρ(X) := 2n (1 + µ(Xn )) при x ∈ Xn .
Тогда f dµ = f ρ dν.Положим ν(A) :=2−n 1+µ(Xn)n=1XXЗадача 3.10. Случай интеграла по бесконечной мере µ сводится к случаю σ-конечной меры, так как еслиf — µ-интегрируемая функция, то мера µ является σ-конечной на множестве {x : f (x) 6= 0}.Для бесконечных мер верны теоремы Лебега, Б. Леви, Фату, Гёльдера, о полноте пространств Lp . ТеоремаРадона-Никодима верна только для σ-конечных мер.∞∞FFXn , Y =Yk ,Если µ и ν — σ-конечные меры, то меру µ ⊗ ν можно определить так. Пусть X =n=1k=1Pµ(Xn ) < ∞, ν(Yk ) < ∞.
Тогда положим µ ⊗ ν :=µ|Xn ⊗ ν|Yk .n,k3.5.3. Теорема ФубиниТеорема 3.20. Пусть множество A ⊂ X × Y измеримо относительно меры µ ⊗ ν, где µ, ν — меры наX, Y соответственно. Положим Ax = {y : (x, y) ∈ A} ⊂ Y , Ay = {x : (x, y) ∈ A} ⊂ X. Тогда для µ-почти всехx множество Ax ν-измеримо и функция x 7→ ν(Ax ) µ-измерима. Далее,для ν-почтивсех y множество AyRRµ-измеримо и функция y 7→ µ(Ay ) ν-измерима, причём (µ ⊗ ν)(A) = ν(Ax ) dµ = µ(Ay ) dν.XYR Достаточно доказать, что (µ ⊗ ν)(A) = ϕA dµ, где ϕA (x) = ν(Ax ). Второе равенство доказываетсяXаналогично.
Для прямоугольников доказываемое верно, поэтому верно и для конечных объединений прямоугольников. Пусть A — произвольное (µ ⊗ ν)-измеримое множество. Тогда из конструкции измеримых множествсуществует множество B ∈ A ⊗ B, такое что B ⊃ A и (µ ⊗ ν)(A) = (µ ⊗ ν)(B) (см. предложение 2.14). При∞∞TSэтом B =Bn , где Bn ⊃ Bn+1 , Bn =Bn,k , Bn,k — конечное объединение дизъюнктных измеримых прямоn=1k=1угольников и A ⊂ Bn для любого n ∈ N (ср. с доказательством предложения 2.14). Докажем наше утверждениеNSдля множества B. Для каждого из множеств Bn,k оно верно; для конечных объединений видаBn,k =: Cn,Nk=1тоже верно, поскольку такие множества представимы в виде дизъюнктного объединения измеримых прямоугольников. Далее, последовательность функций ϕCn,N возрастает и стремится к ϕBn при N → ∞.
По теоремеБ. Леви о монотонной сходимости доказываемое утверждение верно для множеств Bn . Последовательность ϕBnубывает и стремится к функции ϕB при n → ∞, поэтому утверждение теоремы верно для множества B сновапо теореме Б. Леви (если множества Ek убывают или возрастают к множеству E, то их сечения возрастаютили убывают к сечению E). Осталось доказать наше утверждение для множества C = B\A, которое имеетe ∈ A ⊗ B такого же вида, как и B, такое что C ⊂ Be и (µ ⊗ ν)(B)e = 0.(µ ⊗ ν)-меру нуль. Существует множество Bex для любого x ∈ X. Для множества Be утверждение теоремы верно (уже доказано), поэтомуПри этом Cx ⊂ B24e =0 = (µ ⊗ ν)(B)RXex ) dµ.
Отсюда ν(Bex ) = 0 µ-п.в. и потому ν(Cx ) = 0 µ-п.в. Таким образом, утверждениеν(Bверно для множества C, а значит, верно и для A. Следствие 3.6. Пусть µ — конечная мера, f > 0 — µ-интегрируемая функция на X. Пусть Y = R1 смеройЛебега λ. Пусть A — подграфик функции f , т.е. множество {(x, y) ∈ X × Y : 0 6 y 6 f (x)}. ТогдаRf dµ = (µ ⊗ λ)(A).X Имеем λ(Ax ) = f (x) для любого x ∈ X.
По предыдущей теореме получаем требуемое, если проверитьизмеримость множества A. Проверим её. Так как функция f A -измерима, то множество {(x, t) : 0 6 f (x) 6 t} == {(x, t) : f (x) 6 t} входит в σ-алгебру A ⊗ B(R1 ), поскольку функция g(x, t) = f (x) − t измерима относительноэтой σ-алгебры (как сумма двух измеримых функций). Теорема 3.21 (Фубини). Пусть функция f : X × YR → R интегрируема по мере µ ⊗ ν. Тогда для νп.в. y функция f (x, y) µ-интегрируема и функция y →7f (x, y) dµ является ν-интегрируемой.
Далее, дляXRµ-п.в. x функция f (x, y) ν-интегрируема и функция x 7→ f (x, y) dν является µ-интегрируемой. При этомYRR RR Rf d(µ ⊗ ν) =f dµ dν =f dν dµ.X×YY XX Y Достаточно доказать утверждение для неотрицательной функции f . Рассмотрим пространство X×Y ×R1с Rмерой µ ⊗ ν ⊗ λ, где λ — мера Лебега. Пусть A = {(x, y, t) : 0 6 t 6 f (x, y)}.R По следствию 3.6 получаемf d(µ ⊗ ν) = (µ ⊗ ν ⊗ ⊗λ)(A), а эта величина по теореме 3.20 равняется (ν ⊗ λ)(Ax ) dµ, а это, в своюX×YXR Rочередь, по следствию 3.6 равноf dν dµ, что и требовалось доказать. X YЗамечание. Если f измерима относительно пополненной σ-алгебры L (A ⊗B), то при ν-п.в.
y ∈ Y функцияx 7→ f (x, y) µ-измерима. Это следует из того, что при фиксированном r множество {(x, y) : f (x, y) < r} является(µ ⊗ ν)-измеримым, откуда по теореме 3.20 множество {x : f (x, y) < r} является µ-измеримым при ν-п.в. y ∈ Y .Замечание. В доказательстве теоремы Фубини можно иметь дело с ограниченными функциями, так какпотом легко перейти к неограниченным с помощью теоремы Б. Леви, рассматривая срезки fn := min{f, n}(считаем f > 0).3.22 (Тонелли).
Пусть неотрицательная функция f измерима относительно меры µ⊗ν. ПустьR RТеоремаf dµ dν < ∞. Тогда функция f является (µ ⊗ ν)-интегрируемой.Y XПусть fn = min{f, n}. Тогда каждая из функций fn (µ ⊗ ν)-интегрируема и по теореме ФубиниZZ ZZ Zfn d(µ ⊗ ν) =fn dµ dν 6f dµ dν.X×YYXYXОтсюда по теореме Фату функция f (µ ⊗ ν)-интегрируема. Задача 3.11. Построить пример функции, не являющейся неотрицательной, для которой теорема Тонелли неверна.Задача 3.12. Привести примерфункции f : X × Y → R, которая не интегрируемаR R неотрицательнойотносительно меры (µ × ν), ноf dµ dν существует.Y XЗадача 3.13.
Привести пример функции f : X × Y → R, такой чтоR RY Xявляется (µ ⊗ ν)-интегрируемой.Задача 3.14. Привести пример функции f : X × Y → R, такой чтоR RY XR Rf dµ dν =f dν dµ, но f неX YR Rf dµ dν 6=f dν dµ.X Y3.6. О замене переменныхПусть (X, A , µ) — пространство с конечной мерой и f : (X, A ) → (Y, B) функция, являющаяся (A , B)измеримой. Тогда определена мера B 7→ (µ ◦ f −1 )(B) := µ(f −1 (B)) для любого множества B ∈ B.Определение.
Мера µ ◦ f −1 называется образом меры µ при отображении f .Ясно, что мера µ ◦ f −1 счётно-аддитивна.RRЗадача 3.15. Пусть ϕ — ограниченная B-измеримая функция на Y . Тогда ϕ(y) d(µ ◦ f −1 ) = ϕ ◦ f dµ.YУказание. Сначала доказать это для характеристических функций.25XЕсли µ — мера Лебега на Rn и f : Rn → Rn , то можно поинтересоваться, когда мера µ ◦ f −1 задаётсяплотностью. Достаточным условием для этого является дифференцируемость f и невырожденность якобианаf ′ (x) почти всюду. Пусть Ω1 и Ω2 — открытые множества в Rn , а f — диффеоморфизм Ω1 → Ω2 . Тогда дляRR1dy.любой ограниченной измеримой функции ϕ : Ω2 → R имеем ϕ ◦ f dx = ϕ(y)′ (f −1 (y))||DetfΩ1Ω2Лемма 3.23.
Пусть µ — борелевская мера на кубе K ⊂ Rn , причём µ(B + h) = µ(B) для любых B ∈ B(Rn )и h ∈ Rn . Тогда µ = k · λn , где k ∈ R, λn — мера Лебега на Rn . Иными словами, с точностью до нормировкимера Лебега — единственная мера на Rn , сохраняемая при сдвигах. Достаточно это доказать для n-мерных параллелепипедов вида (α1 , β1 ] × (α2 , β2 ] × . . . × (αn , βn ] ⊂ K,поскольку они порождают σ-алгебру B(Rn ). Более того, достаточно ограничиться теми параллелепипедами, длякоторых αi , βj ∈ Q (ср. с теоремой 2.3).
А для любых двух таких параллелепипедов P1 , P2 найдётся натуральноечисло n, такое что каждое из множеств P1 и P2 можно разбить на целое число непересекающихся кубиковразмера ( n1 , n1 ] × ( n1 , n1 ] × . . . × ( n1 , n1 ]. Из этого получаем, что µ(P1 )λn (P2 ) = µ(P2 )λn (P1 ), откуда и следуетдоказываемое утверждение. Следствие 3.7. Если T — ортогональный линейный оператор, то λn ◦ T −1 = λn . Из предыдущей леммы следует, что λn ◦ T −1 = k · λn . Но эти две меры совпадают на любом шаре,поэтому k = 1. 3.7. СвёрткиОпределение. Пусть f, g — функциина Rn , интегрируемые по мере Лебега. Тогда свёрткой функций f иRg называется функция (f ∗ g)(x) := f (x − y)g(y) dy.
Если функция f ограниченна, то свёртка определена дляRnпочти всех x.Теорема 3.24. Пусть f, g ∈ L1 (Rn ). Тогда свёртка f ∗ g определена для почти всех x, причёмkf ∗ gkL1 6 kf kL1 · kgkL1 . Рассмотрим функцию ge(x, y) := f (x) · g(y). Имеем ge(x, y) ∈ L1 (R2n ) по теореме Б. Леви, ибо |eg| == lim min{|f |, k}χ{|x|6k} · min{|g|, k}χ{|y|6k} , а интеграл от правой части по Rn по теореме Фубини не преk→∞(RRu = x + y,восходит|f | dx ·|g| dy = kf kL1 · kgkL1 .
Делаем заменуТогда ge(u, v) = f (u − v)g(v) наnnv = y.RRR2n . По теореме Фубини при почти всех u ∈ Rn функция v 7→ f (u − v)g(v) интегрируема по v, а её интеграл интегрируем Rпо Ru. Значит, функцияf ∗R g Rопределена при почтивсех u и интегрируема на Rn . На|f (u − v)g(v)| dv du = (формула замены переменных) =f (u − v)g(v) dv du 6конец, kf ∗ gkL1 =Rn RnRRn Rn RR R|f (x)g(y)| dy dx = |f | dx · |g| dy = kf kL1 · kgkL1 . =Rn RnRnRnpnЗадача 3.16. Если f ∈ L (R ), g ∈ L1 (Rn ), то f ∗ g ∈ Lp (Rn ).3.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
