В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу (1117927), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Сходимость по мереПусть f1 , f2 , . . . и f — µ-измеримые функции. Последовательность {fn }∞n=1 называется фундаментальной помере, если для всяких c, ε > 0 существует nε ∈ N, такое что µ({x : |fn (x) − fm (x)| > c}) < ε для всех n, m > nε .Другими словами, для каждого c > 0 имеем µ({x : |fn (x) − fm (x)| > c}) → 0 при n, m → ∞.µОпределение. Последовательность функций f1 , f2 , . . . сходится к функции f по мере (обозначение: fn −→ f ),если для каждого c > 0 имеем µ({x : |fn (x) − f (x)| > c}) → 0 при n → ∞.Зададимся вопросом: как эта сходимость влияет на остальные виды сходимости?Предложение 2.15.
Пусть {fn } — последовательность функций. Тогда:µI. Если fn −→ f при n → ∞, то последовательность {fn } фундаментальна по мере.µп.в.II. Если fn −−→ f , то fn −→ f.I. Пусть c > 0. Имеем {x : |fn (x) − fm (x)| > c} ⊂ {x : |fn (x) − f (x)| > 2c } ∪ {x : |fm (x) − f (x)| > 2c }, так как|fn (x) − fm (x)| 6 |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)|. Отсюда всё и следует.II. Пусть c > 0. Рассмотрим при N ∈ N множества AN = {x : |fn (x) − f (x)| < c при любом n > N }.
Имеем∞SAN ⊂ AN +1 и, с учётом условия, X =AN с точностью до множества меры нуль, поэтому µ(AN ) → µ(X)n=1при N → ∞. Поэтому µ(X\AN ) → 0 при N → ∞, откуда µ({x : |fn (x) − f (x)| > c}) → 0 при n → ∞. Примеры.1◦ . Пусть fn = n1 на [0, 1], тогда fn → 0 поточечно и по мере. Имеем λ({x : |fn (x)| > 0}) = 1 при любом n ∈ N.Таким образом, в определении сходимости по мере условие c > 0 существенно.112◦ . Построим последовательность {fn } на отрезке [0, 1]но сходящуюся по мере к нулю.
Положим f0 ≡ 1. На n-мI1 , . . . , I2n и при k = 1, . . . , 2n положим(1,fn,k (x) =0,с мерой Лебега λ, не сходящуюся ни в одной точке,шаге разобьём отрезок [0, 1] на 2n равных отрезковx ∈ Ik ,x∈/ Ik .Затем расположим полученные функции fn,k в одну последовательность f0 , f11 , f12 , f21 , f22 , f23 , f24 , f31 , . . .. Этапоследовательность не сходится ни в одной точке, однако она сходится по мере к нулю.2.5.2.
Теорема РиссаЧастичное обращение импликации «сходимость п.в.», ⇒ «сходимость по мере» даёт теорема Рисса.Теорема 2.16.µп.в.I. (Рисс) Пусть fn −→ f . Тогда существует подпоследовательность {fnk }, такая что fnk −−→ f приk → ∞.II. Если последовательность {fn } фундаментальна по мере, то существует µ-измеримая функция f , таµкая что fn −→ f. Пусть последовательность {fn } фундаментальна по мере (в I это следует из условия, в II это дано). Тогдадля любого k ∈ N существует Nk ∈ N, такое что µ({x : |fn (x)−fm (x)| > 2−k }) < 2−k при всех n, m > Nk . Ясно, чтоможно считать Nk < Nk+1 . Теперь покажем, что последовательность {fNk } сходится п.в., т.е.
фундаментальна1п.в. Действительно, пусть Ek = {x : |fNk (x) − fNk+1 (x)| > 21k }. Тогда µ(Ek ∪ Ek+1 ∪ . . .) 6 21k + 2k+1+ ... 6∞ S∞∞TS26 2k → 0 при k → ∞. Поэтому µ(M )=0, где M =Em . Если x ∈/ M , то x ∈/Em при некоторомk=1 m=km=kk. Значит, при любом m > k выполнено неравенство |fNm (x) − fNm+1 (x)| < 21m . Отсюда получаем, что при1любых i > j > k справедливо неравенство |fNi (x) − fNj (x)| < 2j−1, откуда и следует фундаментальностьпоследовательности {fNk (x)} при x ∈/ M .
Тем самым доказано I. Теперь докажем II. Положим f (x) = lim fNk (x)k→∞при x ∈/ M . Тогда функция f (x) является µ-измеримой как предел сходящейся почти всюду последовательностиµµ→ f из предложения 2.15, II. Выведем теперь, что fn −→ f.измеримых функций (теорема 2.5, п.5)). Далее, fNk −Зафиксируем c > 0 и ε > 0.
Тогда по условию существует число N ∈ N, такое что для всех m, n > N выполненонеравенство µ({x : |fm (x)−fn (x)| > 2c }) < ε2 . Можно также считать, что при всех Nk > N выполнено неравенствоµ({x : |fNk (x)−f (x)| > 2c }) < 2ε .
Тогда при всех n > N имеем µ({x : |fn (x)−f (x)| > c}) 6 µ({x : |fn (x)−fNk (x)| >> 2c } ∪ {x : |fn (x) − f (x)| > 2c }) 6 µ({x : |fn (x) − fNk (x)| > 2c }) + µ({x : |fn (x) − f (x)| > 2c }) 6 2ε + 2ε = ε. Это иµозначает, что fn −→ f при n → ∞. Задача 2.10. Доказать, что сходимость по мере можно задать метрикой, т.е. существует метрика ρна множестве классов измеримых функций (по отношению эквивалентности, задаваемому равенством почтиµвсюду), такая что fn −→ f ⇔ ρ(f, fn ) → 0.Задача 2.11. Сходимость почти всюду нельзя задать метрикой даже на множестве непрерывных функций.Замечание.
Эту сходимость нельзя задать даже топологией.2.5.3. Теорема ЕгороваТеорема 2.17 (Егоров). Пусть µ(X) < ∞ и последовательность {fn } µ-измеримых функций сходитсяпочти всюду на X к функции f . Тогда для всякого ε > 0 существует измеримое множество Xε ⊂ X, такоечто µ(X\Xε ) < ε и fn ⇒ f на Xε .T Функция f является µ-измеримой по теореме 2.5, п.
5). Рассмотрим множества Xnm ={x : |fi (x) −i>n1− f (x)| < m}. Имеем X1m ⊂ X2m ⊂ . . . при любом m, и все множества Xnm являются µ-измеримыми. Положим∞S mmXm =Xn . Для любого m существует такое k(m), что µ(X m \Xk(m)) < 2εm (это следует из счётной аддиn=1тивности меры µ). Положим Xε == µ(X\∞Tm=1mXk(m)) = µ(∞S∞Tm=1mXk(m). Покажем, что это и есть искомое множество. Имеем µ(X\Xε ) =m(X\Xk(m))) 6m=1∞Pm=1mµ(X\Xk(m)).
Заметим, что µ(X\X m) = 0 при любом m, ибо изсходимости почти всюду следует, что для почти всех x ∈ X существует n = n(x), такое что при всех i > n1, поэтому x ∈ Xnm ⊂ X m . Итак, множества X и X m отличаются навыполнено неравенство |fi (x) − f (x)| < mmmмножество меры нуль при любом m, поэтому множества X\Xk(m)и X m \Xk(m)также отличаются на множе-12ство меры нуль. Поэтому µ(X\Xε ) 6∞Pm=1Xεmµ(X\Xk(m))=∞Pm=1mµ(X m \Xk(m))<∞Pε · 2−m = ε. Теперь проверим,m=11что fn ⇒ f . Действительно, при x ∈ Xε для любого m получаем |fi (x) − f (x)| < mпри всех i > k(m), ибоmXε ⊂ Xk(m) . Это и означает равномерную сходимость последовательности {fn } на Xε . Замечание.
В теореме Егорова нельзя взять ε = 0. Действительно, пусть X = (0, 1) с мерой Лебега. Положим fn (x) = xn . Тогда fn → 0 на (0, 1) неравномерно, и потому нет множества Z меры нуль, такого что xn ⇒ 0на (0, 1)\Z.2.5.4. Теорема ЛузинаТеорема 2.18 (Лузин). Пусть f — измеримая функция на отрезке [0, 1] с мерой Лебега. Тогда для всякогоε > 0 существует функция fε ∈ C[0, 1], такая что λ({x : f 6= fε }) < ε.
Заметим, что достаточно доказать следующее: для любого ε > 0 существует компакт Kε , такой чтоλ([0, 1]\Kε ) < ε и функция f |Kε непрерывна. Если это сделано, то сужение функции f на Kε можно доопределить по непрерывности. Множество [0, 1]\Kε открыто и потому есть объединение попарно непересекающихся∞Fинтервалов: [0, 1]\Kε =(αn , βn ). На каждом интервале (αn , βn ) возьмём линейную интерполяцию нашейn=1функции f , и этого будет достаточно. Далее, можно считать, что функция f ограниченна, так как иначе вместоf можно рассмотреть функцию fe = arctg f . Итак, пусть |f | 6 c.
Заметим, что существует последовательность{fn } измеримых функций с конечными множествами значений, равномерно сходящаяся к f . Действительно,делим отрезок [−c, c] на kn равных частей длины 6 n1 и положим fn равным середине j-го промежутка Ij намножестве f −1 (Ij ). Тогда имеем |f − fn | 6 n1 . Ясно, что множества Aj = f −1 (Ij ) измеримы и дизъюнктны. В нихkkSnSn−nвпишем компакты Sj ⊂ Aj , такие что λ(Aj \Sj ) < ε2kn .
Тогда λ([0, 1]\Sj ) < ε2−n . На множестве Kn =Sjj=1функция fn непрерывна. Пусть Kε =∞TKn , тогда λ([0, 1]\Kε ) 6n=1∞Pε2−nj=1= ε. При этом имеем fn ∈ C(Kε ) приn=1любом n и fn ⇒ f на Kε , поэтому функция f |Kε непрерывна. Замечание. Хотя функция f |Kε непрерывна, f может не иметь точек непрерывности на [0, 1].
Пример тому— функция Дирихле D(x) на [0, 1].Задача 2.12. Доказать аналог теоремы Лузина для произвольной борелевской меры на [0, 1].Следствие 2.3 (вытекающее из доказательства теоремы Лузина). Пусть f — ограниченная A измеримая функция на измеримом пространстве (X, A ). Тогда существует последовательность {fn } A измеримых функций с конечными множествами значений, равномерно сходящаяся к f . Пусть |f | < c. Как и в доказательстве теоремы Лузина, делим отрезок [−c, c] на промежутки I1n , .
. . , Iknnдлины менее n1 . Положим Anj = f −1 (Ijn ) и fn |An = cnj , где cnj — середина промежутка Ijn . Тогда |f − fn | < n1 , т.е.jfn ⇒ f при n → ∞. Замечание. Вообще говоря, функции fn не являются ступенчатыми, потому что прообразы промежутковIjn могут быть плохими.2.5.5. Связь µ-измеримых функций с A -измеримымиПредложение 2.19.
Пусть (X, A , µ) — пространство с мерой, f — µ-измеримая функция на X. Тогдасуществует A -измеримая функция g, такая что f = g почти всюду на X. В частности, всякая измеримаяпо Лебегу функция на [0, 1] почти всюду равна некоторой борелевской функции. На множестве меры нуль, где функция f не была определена или была бесконечна, мы определим еёнулём, поэтому без ограничения общности можно считать, что f всюду определена и конечна. Перейдя к arctg f ,можно считать, что f ограниченна. В силу предыдущего факта существует последовательность Aµ -измеримыхфункций fn с конечными множествами значений, равномерно сходящаяся к f . Пусть fn = c1 , . .
. , ck(n) надизъюнктных множествах A1 , . . . , Ak(n) ∈ Aµ . Тогда существуют множества Bj ⊂ Aj , такие что Bj ∈ A иµ(Bj ) = µ(Aj ) (см. предложение 2.14). Положим gn = cj на Bj при всех j = 1, . . . , k(n), а во всех остальныхточках положим gn = 0. Тогда имеем gn = fn почти всюду и, кроме того, функции gn A -измеримы. При этом∞Tgn (x) → f (x) на множестве B =(B1 ∪ . . . ∪ Bk(n) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
